ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

У задачах цього розділу переважно розглядаються зміни електростатичної енергії при зміні заряду  окремих провідників та конденсаторів. При цьому конденсатори розглядаються як пари абстрактних паралельних провідних поверхонь-обкладок, зазор між якими можна змінювати, а також подавати на них довільні за величиною й знаком заряди. Проте при зарядці за допомогою джерела напруги заряди подаються на конденсатор не іззовні, а переносяться з однієї обкладки на іншу, тож є різнойменними й однаковими за величиною.

Слід також сказати, що теоретично заряджання та перезаряджання конденсатора супроводжується електромагнітним випромінюванням, але для задач електростатики цей ефект є неістотним.

Задача 1.21. Три однакові точкові заряди q = 1 нКл розташовано у вершинах правильного трикутника зі стороною a = 20 см . Визначити роботу A, яку треба виконати, аби один із зарядів перенести на середину протилежної сторони трикутника.

Задача 1.22. Металеву кулю радіуса R = 10 см, яка містить заряд q = 100 нКл, з'єднують провідником із землею. Визначити кількість теплоти Q, що виділиться в провіднику.

Задача 1.23. Заряджений до напруги U = 100 В конденсатор C₁ = 10 мкФ з'єднують  із незарядженим конденсатором С₂ = 5 мкФ. Визначити, яка енергія ΔW виділяється при цьому.

Задача 1.24. У зарядженому від джерела напруги повітряному конденсаторі з енергією W₀  збільшують відстань між пластинами в n разів а) при відімкненому та б) при приєднаному джерелі. Визначити роботу А, що виконується в кожному випадку, та пояснити, за рахунок чого вона виконується.

Задача 1.25. Плоский конденсатор ємністю С = 1 нФ, обкладки котрого щільно прилягають до пластини діелектрика з проникністю ε = 5, підключено до джерела напруги U = 100 В. Визначити, яку роботу А треба виконати, аби витягти пластину з конденсатора, не відмикаючи його від джерела. Тертя відсутнє.

Задача 1.21

Три однакові точкові заряди q = 1 нКл розташовано у вершинах правильного трикутника зі стороною a = 20 см, рис. 21а.

Визначити

роботу A, яку треба виконати, аби один із зарядів перенести на середину протилежної сторони трикутника, рис. 21б.

Розв'язання

Шукана робота A дорівнює зміні (різниці кінцевого  W_к і початкового W_п значень) енергії взаємодії зарядів через зміну їхнього взаємного розташування (п. 1.3):

Величини W дорівнюють сумі енергій попарної взаємодії зарядів

які визначаються формулою (1.30). Тож, ураховуючи, що величини зарядів і відстані a між ними  в початковому положенні є однакові, маємо:

У кінцевому положенні відстань між крайніми зарядами дорівнює а, а між суміжними — b = (a/2). Тож, у виразі (1)

Відповідно, кінцева енергія системи

і шукана робота

Задача 1.22

Металеву кулю радіуса R = 10 см, яка містить заряд q = 100 нКл, з'єднали провідником із землею.

Визначити

кількість теплоти Q, що виділилась у провіднику.

Розв'язання

У зарядженому провіднику надлишковий заряд є зосереджений на поверхні й розподілений по ній так, що всі його точки мають однакові потенціали φ_i = φ (див. п. 1.5)). Тож, розглядаючи заряджений провідник як систему точкових зарядів,  для його електростатичної енергії за виразом (1.31)  маємо:

 \(W=\frac{1}{2}\varphi\sum\Delta{q}_{i}=\frac{1}{2}q\varphi\).

Потенціал провідної кулі із заданими радіусом і зарядом визначається формулою (1.18), отже її електростатична енергія дорівнює

\(W=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\).

У процесі розряджання кулі по заземлювальному провіднику протікає електричний струм, який супроводжується його нагріванням, тобто виділенням у провіднику тепла за рахунок електростатичної енергії. Тож за законом збереження енергії шукана кількість теплоти, що виділяється при повному розряджанні кулі, дорівнює її початковій електростатичній енергії:

 \(Q=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}\) = 4,5·10^–4 Дж = 0,45 мДж.

Примітка. Заради строгості слід сказати, що при розряджанні не вся електростатична енергія кулі йде на нагрівання – певна її частка втрачається через електромагнітне випромінювання заземлювального провідника, що виникає внаслідок зміни в ньому величини струму. Але такі втрати є неістотними.

 Задача 1.23

Заряджений до напруги U = 100 В конденсатор C₁ = 10 мкФ з’єднують із незарядженим конденсатором С₂ = 5 мкФ.

Визначити,

яка енергія \(\Delta{W}\) виділяється при цьому.

Розв'язання

Система конденсаторів є електрично ізольованою, тож при підключенні другого конденсатора ємність системи зростає, а заряд лишається незмінним. Тому, згідно з формулою (1.32а), електростатична енергія системи зменшується, отже якась її частка перетворюється на інші форми, в даному випадку – в тепло, що виділяється в з’єднувальних провідниках, – та в енергію випромінювання іскри, котра може утворитися при з’єднуванні конденсаторів.

Таким чином, шукана енергія W′ = W₁ –W₂ дорівнює спадові енергії системи й за формулою (1.32а) складає:

W′ = $\frac{{{q}^{2}}}{2}\left( \frac{1}{{{C}_{1}}}-\frac{1}{{{C}_{1}}+{{C}_{2}}} \right)=\frac{{{q}^{2}}{{C}_{2}}}{2{{C}_{1}}\left( {{C}_{1}}+{{C}_{2}} \right)}$.

Відтак, виразивши за формулою (1.23) заряд як q = С₁U, отримаємо остаточну відповідь:

W′ =  $\frac{{{C}_{1}}{{C}_{2}}}{2\left( {{C}_{1}}+{{C}_{2}} \right)}{{U}^{2}}$ = 16,7 мДж.

Задача 1.24.

У зарядженому від джерела напруги повітряному конденсаторі з енергією W₀  повільно збільшують відстань між пластинами в n разів а) при відімкненому та б) при приєднаному джерелі.

Визначити,

Визначити роботу А, що виконується в кожному випадку, та пояснити, за рахунок чого вона виконується.

Розв'язання

З механіки відомо (див. [І], п. 4.3), що робота, яка виконується над тілом, чи ним самим, дорівнює різниці кінцевого \(W\) та початкового \(W_{0}\) значень його повної механічної енергії:

Уданій задачі з умови зрозуміло, що кінетична енергія є неістотна, тож у виразі (1) фігурує лише кінцева \(W\) та початкова \(W_{0}\) електростатична енергія конденсатора, котра визначається формулами (1.32). При цьому безпосередньою причиною зміни енергії в кожному випадку є зменшення ємності конденсатора при збільшенні відстані між пластинами (див. формулу (1.26)) від якогось значення  \({C_0}\) до

\(C=\frac{C_0}{n}\).

Випадок а). При при розсуванні пластин у відключеному конденсаторі його заряд не не змінюється. Тож за формулою (1.32а) кінцева енергія складає

\(W=\frac{q^{2}n}{2C_0}=nW_{0}\),

і шукана робота дорівнює

\(A=(n-1)W_0\).

При розсуванні пластин у відключеному конденсаторі для подолання кулонівського притягання до них треба прикладати зовнішню силу, яка й виконує знайдену роботу й збільшує енергію конденсатора.

Випадок б). При збільшенні відстані між пластинами в підключеному конденсаторі, попри зменшення ємності, напруга лишається рівною

\(U=\E\),

де \(\E\) – ЕРС джерела (див. Розділ ІІ, п. 1.2). При цьому за формулою (1.32б) енергія конденсатора змінюється від значення \(W_{0}=C_{0}\E^2/2\) до  \(W=C_{0}\E^{2}/2n\), отже, згідно  з виразом (1),  виконується робота

\(A=-\frac{n-1}{n}W_{0}\).

Знак "–" у  відповіді означає, що у випадку б) шукана робота виконується за рахунок енергії конденсатора і йде на подолання електричного опору з'єднувальних провідників та самого джерела при переміщенні "зайвих" зарядів із однієї пластини конденсатора на іншу.

 Задача 1.25.

Плоский конденсатор ємністю С = 1 нФ, обкладки котрого щільно прилягають до пластини діелектрика з проникністю ε = 5, підключено до джерела напруги U = 100 В.

Визначити,

яку роботу А треба виконати, аби витягти пластину з конденсатора, не відмикаючи його від джерела. Тертя відсутнє.

Розв'язання

При вийманні діелектрика змінюються ємність С і енергія W конденсатора. Тож частина його заряду Δq = q₁ – q₂ перетікає через джерело з однієї обкладки на іншу, виконуючи відповідну роботу А_ст = Δq·U проти так званих ''сторонніх'' сил (див. Розділ ІІ, п. 1.1), що підтримують на полюсах постійну напругу U. Таке перезаряджання конденсатора відбувається за рахунок роботи А зовнішньої сили, котру слід прикладати до пластини для виймання з конденсатора. Отже,

А = W₂ – W₁ + А_ст

Далі, виразивши  енергії конденсатора та роботу проти сторонніх сил через заряд за формулами (1.32в) і (1.13), отримаємо:

\(A=\frac{\left( {{q}_{1}}-{{q}_{2}} \right)U}{2}\).

Нарешті врахуємо, що q₁ = CU  і  q₂ = (C/ε)U, і отримаємо наступну відповідь:

\(A=\frac{\varepsilon -1}{\varepsilon }\cdot C{{U}^{2}}\) = 8 мкДж.