ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Задача 1.1. Три нерухомі точкові заряди q₁ = 2 нКл, q₂ = 5 нКл, q₃ = –3 нКл закріплен0  у вершинах правильного трикутника зі стороною a = 10 см. Визначити сили F₁, F₂, F₃, що діють на кожен із зарядів з боку двох інших.

Задача 1.2. Коли дві заряджені металеві кульки одного розміру дотикнули одну до одної й розвели на вдвічі більшу відстань r, сила взаємодії F між  ними стала вдвічі меншою. Визначити відношення зарядів кульок (q₁/q₂).

Задача 1.3. Дві однакові металеві кульки, що підвішені в одній точці на нитках однакові довжини, занурюють у рідину з густиною в n = 3 рази меншою, ніж у кульок. Визначити  діелектричну проникність ε рідини, якщо при зануренні кульок кут розходження ниток не змінився.

Задача 1.4. За уявленнями класичної механіки електрони в атомах рухаються навколо ядер по визначених орбітах, як планети навколо Сонця. Виходячи з цього, знайти швидкість v руху електрона в атомі Гідрогену, якщо радіус його колової орбіти r = 53 пм.

Задача 1.1

Три нерухомі точкові заряди q₁ = 2 нКл, q₂ = 5 нКл, q₃ = –3 нКл закріплено  у вершинах правильного трикутника зі стороною a = 10 см.

Визначити

сили F₁, F₂, F₃, що діють на кожен із зарядів з боку двох інших.

 Розв'язання

Шукані сили є рівнодійними сил, що діють на кожний заряд з боку двох інших (рис. 1) і визначаються формулою (1.3). Тож, позаяк напрями складових сил відомі, для розрахунків доцільно використати теорему косинусів. Тоді маємо:

 ${{F}_{1}}=\frac{k{{q}_{1}}}{{{a}^{2}}}\sqrt{q_{2}^{2}+q_{3}^{2}+{{q}_{2}}\left| {{q}_{3}} \right|\cos {{\alpha }_{1}}}$,

де \(\alpha_{1}=120{}^\circ \) – кут між векторами \(\vec{F}_{12}\) і \(\vec{F}_{13}\) сил, які діють на заряд q₁ з боку q₂ і q₃.

Аналогічно виражається й решта сил.

Далі, задля зручності позначвши величину зарядів як q = Q·10^–9 Кл, де  Q₁ = 2,  Q₂ = 5,  Q₃ = –3, та врахувавши числові значення k = 4π·10^–9 Ф/м, a²= 10^–2 м², cosα₁ = cosα₂ = –0,5, cosα₃= 0,5, отримаємо наступні відповіді:

F₁ = 1,8Q₁·$\sqrt{Q_{2}^{2}+Q_{3}^{2}-{{Q}_{2}}\left| {{Q}_{3}} \right|}$ (мкН) = 7,85 мкН;

F₂ = 1,8Q₂·$\sqrt{Q_{1}^{1}+Q_{3}^{2}-{{Q}_{1}}\left| {{Q}_{3}} \right|}$ (мкН) = 11,9 мкН;

F₃ = 1,8Q₁·$\sqrt{Q_{1}^{2}+Q_{2}^{2}+{{Q}_{1}} {{Q}_{2}} }$ (мкН) = 33,7 мкН.

 Задача 1.2

Коли дві заряджені металеві кульки одного розміру дотикнули одну до одної й розвели на вдвічі більшу відстань r, сила взаємодії F між  ними стала вдвічі меншою.  

Визначити

початкове відношення зарядів кульок (q₁/q₂).

Розв'язання

Позаяк кульки металеві й однакові за розміром, після дотикання вони матимуть однакові за знаком заряди величиною

де знак ”–“ стосується випадку q₁q₂ < 0 (заряди різнойменні). Отже, виразивши сили взаємодії між кульками за формулою (1.3), отримаємо:

$\frac{{{F}_{1}}}{{{F}_{2}}}=\frac{4{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{\left( {{q}_{1}}\pm {{q}_{2}} \right)}^{2}}}\cdot {{\left( \frac{{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}} \right)}^{2}}$.

Звідси, увівши позначення (q₁/q₂) = x і врахувавши задані співвідношення сил та відстаней, отримаємо такі можливі рівняння для визначення відношення величин зарядів x:

Не важко знайти, що перше рівняння не має дійсних розв'язків, а корені другого складають:

x₁ = 2;           x₂ = $\frac{1}{2}$.

Це означає що,

заряди кульок мають різні знаки й удвічі відрізняються за величиною.

Наявність двох можливих значень величини x може справити хибне враження, що відповідь є неоднозначною. Але наявність у рівняння (2) двох дійсних коренів відображує лише те, що будь-яку з кульок можна розглядати і як першу, і як другу.

Задача 1.3

Дві однакові металеві кульки, що підвішені в одній точці на нитках однакові довжини, занурюють у рідину з густиною в n = 3 рази меншою, ніж у кульок.

Визначити  

діелектричну проникність ε рідини, якщо при зануренні кульок кут розходження ниток не змінився.

Розв'язання

За означенням (формула (1.4)) діелектрична проникність дорівнює відношенню сил кулонівської взаємодії кульок у повітрі F₁ та у рідині F₂ (рис. 3):

Для визначення величини ε візьмемо до уваги, що кульки перебувають у рівновазі, тобто всі сили, що діють на кожну кульку, в сумі дорівнюють нулю. У повітрі це сила кулонівського відштовхування \(\vec{F}_{1}\), сила тяжіння \(m\vec{g}\) та сила натягу нитки \(\vec{T}_{1}\) , отже

і, як зрозуміло з рис 3а,

При зануренні в рідину крім зазначених сил з’являється ще й  виштовхувальна сила Архімеда (рис.3б) \(\vec{F}_{A}\) ([1], п. 6.2). Тож по аналогії з попереднім для сили \(\vec{F}_{2}\) можна записати:

$m\vec{g}+{{\vec{T}}_{2}}+{{\vec{F}}_{2}}+{{\vec{F}}_{A}}=0$ 

і

Відтак, підставивши сили (2) і (3) у формулу (1) та виразивши їх через густини рідини ρ₀ та кульки ρ = nρ₀, отримаємо відповідь:

$\varepsilon =\frac{\rho Vg}{\rho Vg-{{\rho }_{0}}Vg}=\frac{n}{n-1}$ = 1,5.

Задача 1.4.

За уявленнями класичної механіки електрони в атомах рухаються навколо ядер по визначених орбітах, як планети навколо Сонця. Виходячи з цього,

знайти

швидкість v руху електрона в атомі Гідрогену, якщо радіус його колової орбіти r = 53 пм.

Розв'язання

Кулонівська сила (1.3а), під дією якої електрон рухається по коловій орбіті, є доцентровою ([І], формули (1.28), (2.17)), тож за другим законом Ньютона

\(\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}=\frac{mv^{2}}{r}\),

і

Урахувавши величину заряду e = 1,6·10^-19 Кл і маси m = 9,1·10^-31 кг електрона та знаяення ε₀ = 8,85·10^–12 Ф/м, отримаємо

 v = 2,18·10⁶ м/с.