ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс

Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V₁ = 10 л до V₂ = 4 л. Визначити температуру газу t°С.

Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від температури t₁= 7°С до t₂= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см². Визначити: 1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра. 2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря. 

 Задача 1.30. Показати, як зміниться ізотерма(графік залежності P(V) при T = const, якщо: а) при незмінній масі m відомого газу підвищити його температуру T; б) при  незмінній температурі T відомого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.

Задача 1.31. Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому газ на ділянці 1→2 нагрівається, а на ділянці 2→3 повертається до вихідної температури так, як показано на рис. 31 у розв'язанні. За заданою залежністю тиску від температури P(T) проаналізувати  зміну об'єму газу з температурою і знайти відношення його значень (V₁/V₃) у початковому та кінцевоому стані, якщо відношення тисків (P₁/P₃) = 2.

Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, який на діаграмі P-V зображується колом. Проаналізувати зміну температури газу в цьому процесі та позначити на графіку точки, що відповідають найнижчій T_min і найвищій T_max температурі газу..

Задача 1.33. Із газом у циліндрі під поршнем проведено заданий цикл 1→2→3→ 4→1 (рис. 33 у розв'язянні), в якому ділянки 2→3 і 4→1 є ізотермами, і об'єм в точках 1 і 3 має задану величину V₁ і V₃. Визначити об'єм газу V в точках 2, 4.

Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V₁ = 10 л до V₂ = 4 л.

Визначити

температуру газу t°С.

Розв'язання

Якщо позначити початковий тиск газу як P₁, а кінцевий – як P₂, то

P₂ = P₁ + ΔP.

Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16а)

${{P}_{1}}{{V}_{1}}=\left( {{P}_{1}}+\Delta P \right){{V}_{2}}\quad \Rightarrow \quad {{P}_{1}}=\frac{{{V}_{2}}\Delta P}{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}$.

Відтак підставимо цей вираз у рівняння Клапейрона (1.13) і одержимо відповідь:

$T=\frac{\Delta P{{V}_{1}}{{V}_{2}}}{\nu R\left( {{V}_{1}}-{{V}_{2}} \right)}$ ≈ 241 К $\Rightarrow $ t = –32°С.

Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від  температури t₁= 7°С до t₂= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см².

Визначити:

1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра.

2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря.

Розв'язання

1. З умови зрозуміло, що нагрівання повітря відбувається при сталому тиску P. Тому, відповідно до закону Гей-Люссака (1.17а),

де V₁, V₂ – початковий і кінцевий об'єми повітря, і відстані l₁ = l, l₂ = l + h. Отже,

$\frac{l+h}{l}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\quad \Rightarrow \quad h=l\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-1 \right)=6\text{см}\text{.}$

2. Покладена гиря створює додатковий тиск на поршень P′ = (mg/S), через що тиск і об'єм нагрітого повітря  ізотермічно змінюються відповідно від значень P і (l + h)S  до  (P₁ +P′) і (l S). Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16а),

${{P}}\left( {{l}}+h \right)=\left( {{P}}+\frac{mg}{S} \right){{l}}\quad \Rightarrow \quad m=\frac{{{P}}S}{g}\cdot \frac{h}{{{l}}}$  = 20 кг.м.====

Задача 1.30

Показати,

як зміниться графік залежності P(V) при T = const (ізотерма),  якщо: а) при незмінній масі m заданого газу підвищити його температуру T; б) при  незмінній температурі T заданого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.

Розв’язання

В ізотермічному процесі (ν = const, T = const) залежність P(V) між тиском і об'ємом газу визначається рівнянням (1.16):

\( P=\frac{a}{V},\)

де a = (mRT/M) = const. Отже, ізотерма має форму гіперболи, положення котрої відносно координатних осей визначається коефіцієнтом a: чим він більший, тим вище розташовується графік P(V). Це схематично показано на рис. 30, де в кожному випадку зеленим кольором зображено вихідну ізотерму, а червоним – ізотерму для зміненого значення указаного параметра стану газу.

Задача 1.31.

Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому газ на ділянці 1→2 нагрівається, а на ділянці 2→3 повертається до вихідної температури, як показано на рис. 31.  За заданою залежністю тиску від температури P(T)

проаналізувати  зміну об'єму газу з температурою і знайти відношення його значень (V₁/V₃) у початковому та кінцевому стані, якщо відношення тисків (P₁/P₃) = 2. 

Розв’язання

На кожній з ділянок заданого процесу об'єм газу неперервно змінюється. Тому для встановлення кількісного зв'язку між об'ємом і температурою слід було би спочатку для кожної ділянки графіка рис. 31 встановити математичну залежності P(T), а потім, підставивши її в рівняння (1.13), визначити залежність V(T) і знайти відношення (V₁/V₃).

Проте відповідь можна отримати простіше методом "ізоперетинів", котрий ґрунтується на об'єднаному газовому законі (1.15) й полягає в наступному. Коли графіки для якоїсь пари параметрів у двох процесах із однаковою кількістю газу перетинаються, то в точці перетину збігаються значення й третього параметра. Тож, якщо через відповідні точки заданого графіка P(T) провести ізохори (штрихові промені на рис. 31), то позаяк при переході 1 → 2 нахил ізохори стає меншим, а при переході 2→3 більшим, то об'єм газу, навпаки, спочатку зростає, а потім зменшується. При цьому за умовою Т₁= Т₃ і (P₁/P₃) = 2, тож, відповідно до рівняння (1.15), шукане відношення об'ємів складає

$\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}}=\frac{1}{2}$.

Але найпростіше знайти відповідь можна, врахувавши, що за умовою маємо під поршнем однакову кількість газу при однакових початковій та кінцевій температурі. Це означає, що точки 1 і 3 на рис. 31 належать одній ізотермі, тож за законом Бойля-Маріотта (1.16 б)

 $\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{3}}}=\frac{{{P}_{3}}}{{{P}_{1}}}=\frac{1}{2}$.

Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, який на діаграмі P-V зображується колом. Проаналізувати зміну температури в цьому процесі та

позначити на графіку точки,

що відповідають найнижчі1 T_min і найвищій T_max температурі газу.

Розв’язання

Ця задача розв'язується аналогічно до попередньої. Розсічемо графік заданого процесу сімейством ізотерм (a - d) так, аби крайні дотикалися до графіка P(V), рис. 32. Тоді, як випливає із закону Бойля-Маріотта (1.16), точки дотику відповідають мінімальній (1) та максимальній (2) температурі. Тож 

на ділянці 1→2 газ нагрівається, а на ділянці 2→3 охолоджується.

Задача 1.33. Із газом у циліндрі під поршнем проведено заданий цикл 1→2→3→ 4→1 (рис. 33), в якому ділянки 2→3 і 4→1 є ізотермами, і об'єм в точках 1 і 3 має задану величину V₁ і V₃. 

Визначити

об'єм газу V в точках 2, 4.

Розв’язання

Як видно із заданого графіка рис. 33,  V₂ = V₄ =V, тож можна записати

А за законом Бойля-Маріотта (1.16а)

Відтак, перемноживши ліві й праві частини рівнянь (1)-(4), дістанемо:

${{V}^{4}}={{\left( {{V}_{1}}{{V}_{3}} \right)}^{2}}\quad \Rightarrow \quad V=\sqrt{{{V}_{1}}{{V}_{3}}}$.

+