Печатать эту главуПечатать эту главу

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс

2. Приклади розв'язування задач

Ізопроцеси (газові закони)

Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V1 = 10 л до V2 = 4 л. Визначити температуру газу С.

Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від температури t1= 7°С до t2= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см2. Визначити: 1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра. 2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря. 

 Задача 1.30. Показати, як зміниться ізотерма(графік залежності P(V) при T = const, якщо: а) при незмінній масі m відомого газу підвищити його температуру T; б) при  незмінній температурі відомого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.

Задача 1.31. Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому газ на ділянці 1→2 нагрівається, а на ділянці 2→3 повертається до вихідної температури так, як показано на рис. 31 у розв'язанні. За заданою залежністю тиску від температури P(T) проаналізувати  зміну об'єму газу з температурою і знайти відношення його значень (V1/V3) у початковому та кінцевоому стані, якщо відношення тисків (P1/P3) = 2.

Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, який на діаграмі P-V зображується колом. Проаналізувати зміну температури газу в цьому процесі та позначити на графіку точки, що відповідають найнижчій Tmin і найвищій Tmax температурі газу..

Задача 1.33. Із газом у циліндрі під поршнем проведено заданий цикл 123 41 (рис. 33 у розв'язянні), в якому ділянки 23 і 41 є ізотермами, і об'єм в точках 1 і 3 має задану величину V1 і V3. Визначити об'єм газу V в точках 2, 4.


Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V1 = 10 л до V2 = 4 л.

Визначити

температуру газу С.

Дано:

ν = 1 моль

V1 = 10–2 м3

V2 = 4·10–3 м3

ΔP =3·105 Па

t - ?

Розв'язання

Якщо позначити початковий тиск газу як P1, а кінцевий – як P2, то

P2 = P1 + ΔP.

Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16а)

P1V1=(P1+ΔP)V2P1=V2ΔPV1V2.

Відтак підставимо цей вираз у рівняння Клапейрона (1.13) і одержимо відповідь:

T=ΔPV1V2νR(V1V2) ≈ 241 К t = –32°С.

Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від  температури t1= 7°С до t2= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см2.

Визначити:

1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра.

2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря.

Дано:

Т1= 280 К

Т2= 336 К

P = 105 Па

S = 10–2 м2

l = 0,3 м

h - ?, m -?

Розв'язання

1. З умови зрозуміло, що нагрівання повітря відбувається при сталому тиску P. Тому, відповідно до закону Гей-Люссака (1.17а),

V2V1=T2T1l2l1=T2T1,

 

де V1, V2 – початковий і кінцевий об'єми повітря, і відстані l1 = l, l2 = l + h. Отже,

l+hl=T2T1h=l(T2T11)=6см.

 

2. Покладена гиря створює додатковий тиск на поршень P′ = (mg/S), через що тиск і об'єм нагрітого повітря  ізотермічно змінюються відповідно від значень P і (l + h)S  до  (P1 +P) і (l S). Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16а),

P(l+h)=(P+mgS)lm=PSghl  = 20 кг.м.====


 

Задача 1.30

Показати,

як зміниться графік залежності P(V) при T = const (ізотерма),  якщо: а) при незмінній масі m заданого газу підвищити його температуру T; б) при  незмінній температурі T заданого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.

Розв’язання

В ізотермічному процесі (ν = const, T = const) залежність P(V) між тиском і об'ємом газу визначається рівнянням (1.16):

P=aV,

де a = (mRT/M) = const. Отже, ізотерма має форму гіперболи, положення котрої відносно координатних осей визначається коефіцієнтом a: чим він більший, тим вище розташовується графік P(V). Це схематично показано на рис. 30, де в кожному випадку зеленим кольором зображено вихідну ізотерму, а червоним – ізотерму для зміненого значення указаного параметра стану газу.

 

Задача 1.31.

Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому газ на ділянці 1→2 нагрівається, а на ділянці 2→3 повертається до вихідної температури, як показано на рис. 31.  За заданою залежністю тиску від температури P(T)

проаналізувати  зміну об'єму газу з температурою і знайти відношення його значень (V1/V3) у початковому та кінцевому стані, якщо відношення тисків (P1/P3) = 2. 

Дано:

(P1/P3) = 2

(V1/V3) -?

Розв’язання

Рис. 1.31
Рис. 31

На кожній з ділянок заданого процесу об'єм газу неперервно змінюється. Тому для встановлення кількісного зв'язку між об'ємом і температурою слід було би спочатку для кожної ділянки графіка рис. 31 встановити математичну залежності P(T), а потім, підставивши її в рівняння (1.13), визначити залежність V(T) і знайти відношення (V1/V3).

Проте відповідь можна отримати простіше методом "ізоперетинів", котрий ґрунтується на об'єднаному газовому законі (1.15) й полягає в наступному. Коли графіки для якоїсь пари параметрів у двох процесах із однаковою кількістю газу перетинаються, то в точці перетину збігаються значення й третього параметра. Тож, якщо через відповідні точки заданого графіка P(T) провести ізохори (штрихові промені на рис. 31), то позаяк при переході 1 → 2 нахил ізохори стає меншим, а при переході 2→3 більшим, то об'єм газу, навпаки, спочатку зростає, а потім зменшується. При цьому за умовою Т1= Т3 і (P1/P3) = 2, тож, відповідно до рівняння (1.15), шукане відношення об'ємів складає

V1V3=12.

Але найпростіше знайти відповідь можна, врахувавши, що за умовою маємо під поршнем однакову кількість газу при однакових початковій та кінцевій температурі. Це означає, що точки 1 і 3 на рис. 31 належать одній ізотермі, тож за законом Бойля-Маріотта (1.16 б)

 V1V3=P3P1=12.

Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, який на діаграмі P-V зображується колом. Проаналізувати зміну температури в цьому процесі та

позначити на графіку точки,

що відповідають найнижчі1 Tmin і найвищій Tmax температурі газу.

Розв’язання

Ця задача розв'язується аналогічно до попередньої. Розсічемо графік заданого процесу сімейством ізотерм (a - d) так, аби крайні дотикалися до графіка P(V), рис. 32. Тоді, як випливає із закону Бойля-Маріотта (1.16), точки дотику відповідають мінімальній (1) та максимальній (2) температурі. Тож 

на ділянці 1→2 газ нагрівається, а на ділянці 2→3 охолоджується.


Задача 1.33. Із газом у циліндрі під поршнем проведено заданий цикл 123 41 (рис. 33), в якому ділянки 23 і 41 є ізотермами, і об'єм в точках 1 і 3 має задану величину V1 і V3

Визначити

об'єм газу V в точках 2, 4.

Дано:

V1 ,V3

V -?

Розв’язання

Як видно із заданого графіка рис. 33,  V2 = V4 =V, тож можна записати

P1P2=V1VP1V=P2V1,

(1)

P4P3=VV3P3V=P4V3.

(2)

А за законом Бойля-Маріотта (1.16а)

                                                                                                                   P4V=P1V1,

(3)

                                                                                                                    P2V=P3V3.

(4)

Відтак, перемноживши ліві й праві частини рівнянь (1)-(4), дістанемо:

V4=(V1V3)2V=V1V3.

 

+