ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс
2. Приклади розв'язування задач
Ізопроцеси (газові закони)
Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V1 = 10 л до V2 = 4 л. Визначити температуру газу t°С.
Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від температури t1= 7°С до t2= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см2. Визначити: 1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра. 2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря.
Задача 1.30. Показати, як зміниться ізотерма(графік залежності P(V) при T = const, якщо: а) при незмінній масі m відомого газу підвищити його температуру T; б) при незмінній температурі T відомого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.
Задача 1.31. Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому газ на ділянці 1→2 нагрівається, а на ділянці 2→3 повертається до вихідної температури так, як показано на рис. 31 у розв'язанні. За заданою залежністю тиску від температури P(T) проаналізувати зміну об'єму газу з температурою і знайти відношення його значень (V1/V3) у початковому та кінцевоому стані, якщо відношення тисків (P1/P3) = 2.
Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, який на діаграмі P-V зображується колом. Проаналізувати зміну температури газу в цьому процесі та позначити на графіку точки, що відповідають найнижчій Tmin і найвищій Tmax температурі газу..
Задача 1.33. Із газом у циліндрі під поршнем проведено заданий цикл 1→2→3→ 4→1 (рис. 33 у розв'язянні), в якому ділянки 2→3 і 4→1 є ізотермами, і об'єм в точках 1 і 3 має задану величину V1 і V3. Визначити об'єм газу V в точках 2, 4.
Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V1 = 10 л до V2 = 4 л.
Визначити
температуру газу t°С.
Дано: ν = 1 моль V1 = 10–2 м3 V2 = 4·10–3 м3 ΔP =3·105 Па |
t - ? |
Розв'язання
Якщо позначити початковий тиск газу як P1, а кінцевий – як P2, то
P2 = P1 + ΔP.
Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16а)
P1V1=(P1+ΔP)V2⇒P1=V2ΔPV1−V2.
Відтак підставимо цей вираз у рівняння Клапейрона (1.13) і одержимо відповідь:
T=ΔPV1V2νR(V1−V2) ≈ 241 К ⇒ t = –32°С.
Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від температури t1= 7°С до t2= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см2.
Визначити:
1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра.
2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря.
Дано: Т1= 280 К Т2= 336 К P = 105 Па S = 10–2 м2 l = 0,3 м |
h - ?, m -? |
Розв'язання
1. З умови зрозуміло, що нагрівання повітря відбувається при сталому тиску P. Тому, відповідно до закону Гей-Люссака (1.17а),
V2V1=T2T1⇒l2l1=T2T1, |
|
де V1, V2 – початковий і кінцевий об'єми повітря, і відстані l1 = l, l2 = l + h. Отже,
l+hl=T2T1⇒h=l(T2T1−1)=6см.
2. Покладена гиря створює додатковий тиск на поршень P′ = (mg/S), через що тиск і об'єм нагрітого повітря ізотермічно змінюються відповідно від значень P і (l + h)S до (P1 +P′) і (l S). Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16а),
P(l+h)=(P+mgS)l⇒m=PSg⋅hl = 20 кг.м.====
Показати,
як зміниться графік залежності P(V) при T = const (ізотерма), якщо: а) при незмінній масі m заданого газу підвищити його температуру T; б) при незмінній температурі T заданого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.
Розв’язання
В ізотермічному процесі (ν = const, T = const) залежність P(V) між тиском і об'ємом газу визначається рівнянням (1.16):
P=aV,
де a = (mRT/M) = const. Отже, ізотерма має форму гіперболи, положення котрої відносно координатних осей визначається коефіцієнтом a: чим він більший, тим вище розташовується графік P(V). Це схематично показано на рис. 30, де в кожному випадку зеленим кольором зображено вихідну ізотерму, а червоним – ізотерму для зміненого значення указаного параметра стану газу.
Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому газ на ділянці 1→2 нагрівається, а на ділянці 2→3 повертається до вихідної температури, як показано на рис. 31. За заданою залежністю тиску від температури P(T)
проаналізувати зміну об'єму газу з температурою і знайти відношення його значень (V1/V3) у початковому та кінцевому стані, якщо відношення тисків (P1/P3) = 2.
Дано: (P1/P3) = 2 |
(V1/V3) -? |
Розв’язання

На кожній з ділянок заданого процесу об'єм газу неперервно змінюється. Тому для встановлення кількісного зв'язку між об'ємом і температурою слід було би спочатку для кожної ділянки графіка рис. 31 встановити математичну залежності P(T), а потім, підставивши її в рівняння (1.13), визначити залежність V(T) і знайти відношення (V1/V3).
Проте відповідь можна отримати простіше методом "ізоперетинів", котрий ґрунтується на об'єднаному газовому законі (1.15) й полягає в наступному. Коли графіки для якоїсь пари параметрів у двох процесах із однаковою кількістю газу перетинаються, то в точці перетину збігаються значення й третього параметра. Тож, якщо через відповідні точки заданого графіка P(T) провести ізохори (штрихові промені на рис. 31), то позаяк при переході 1 → 2 нахил ізохори стає меншим, а при переході 2→3 більшим, то об'єм газу, навпаки, спочатку зростає, а потім зменшується. При цьому за умовою Т1= Т3 і (P1/P3) = 2, тож, відповідно до рівняння (1.15), шукане відношення об'ємів складає
V1V3=12.
Але найпростіше знайти відповідь можна, врахувавши, що за умовою маємо під поршнем однакову кількість газу при однакових початковій та кінцевій температурі. Це означає, що точки 1 і 3 на рис. 31 належать одній ізотермі, тож за законом Бойля-Маріотта (1.16 б)
V1V3=P3P1=12.
Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, який на діаграмі P-V зображується колом. Проаналізувати зміну температури в цьому процесі та
позначити на графіку точки,
що відповідають найнижчі1 Tmin і найвищій Tmax температурі газу.
Розв’язання
Ця задача розв'язується аналогічно до попередньої. Розсічемо графік заданого процесу сімейством ізотерм (a - d) так, аби крайні дотикалися до графіка P(V), рис. 32. Тоді, як випливає із закону Бойля-Маріотта (1.16), точки дотику відповідають мінімальній (1) та максимальній (2) температурі. Тож
на ділянці 1→2 газ нагрівається, а на ділянці 2→3 охолоджується.
Задача 1.33. Із газом у циліндрі під поршнем проведено заданий цикл 1→2→3→ 4→1 (рис. 33), в якому ділянки 2→3 і 4→1 є ізотермами, і об'єм в точках 1 і 3 має задану величину V1 і V3.
Визначити
об'єм газу V в точках 2, 4.
Дано: V1 ,V3 |
V -? |
Розв’язання
Як видно із заданого графіка рис. 33, V2 = V4 =V, тож можна записати
P1P2=V1V⇒P1V=P2V1, |
(1) |
P4P3=VV3⇒P3V=P4V3. |
(2) |
А за законом Бойля-Маріотта (1.16а)
P4V=P1V1, |
(3) |
P2V=P3V3. |
(4) |
Відтак, перемноживши ліві й праві частини рівнянь (1)-(4), дістанемо:
V4=(V1V3)2⇒V=√V1V3.
+