ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс

У задачах із молекулярної фізики є широко вживаними позасистемні одиниці такі, як (а.о.м.), (мм.рт.ст.) та (°С). Тому варто ще до початку розв'язування перевести числові дані в основні одиниці CІ, як це зроблено далі.

Задача 1.14.  У балоні об'ємом V = 1 л міститься m = 1,0 г невідомого окислу азоту N_xO_y  при температурі t = 27°C і тиску P = 32,8 кПа. Встановити  хімічну формулу сполуки (визначити x та y). Газова стала R = 8,31 Дж/(моль·К).

Задача 1.15. Балон із киснем при тиску P₁ = 1 МПа і температурі t₁ = 27 °C винесли надвір і підключили до газового пальника. Визначити, який відсоток η (%) кисню було витрачено, коли на кінець роботи тиск у балоні впав до P₂ = 600 кПа при температурі t₂ = –23 °C.

Задача 1.16. Відкачану посудину об'ємом V = 0,5 л, що містила m = 1 г кристалічного йоду I₂, нагріли до t = 1000°C, через що він випарувався і частково дисоціював на атоми. Визначити частку  молекул I₂ , що дисоціювали, якщо в посудині встановився тиск P = 700 мм.рт.ст. Атомна маса йоду A_r = 127.

Задача 1.17. Відкачаний балон, який на \( \eta=0,1 \) об'єму заповнено водою, вміщають у термостат із температурою t = 300°C. Визначити, чи розірветься балон, якщо він витримує максимальний тиск P₀ = 25 МПа.

Задача 1.18. У балоні об'ємом V = 10 л міститься газова суміш гелію і неону загальною масою m = 36 г при тиску \(P=10^{6}\) Па і температура t = 28°C. Визначити масу гелію m₁ і неону m₂ в суміші.

Задача 1.19.При електролізі (розкладанні молекул електричним струмом) із m = 1 кг води отримано V = 710 л кисню під тиском P = 10⁵ Па. Визначити  температуру газу t°С.

Задача 1.20. У кожній частині закритого вертикального циліндра із рухомим масивним поршнем заходиться по ν = 1 моль повітря. Визначити, за якої температури T₂ відношення об'ємів повітря дорівнюватиме η₂ = 3, якщо при температури T₁ = 320 K воно складає η₁ = 4.

Задача 1.21. Два однакові балони, один із газом при тиску P₁ = 1,0 атм і температурі t₁= 27°C, а інший порожній, є сполучені трубкою з клапаном, який починає пропускати при різниці тисків у балонах ΔР ≥ 1,1 атм. Визначити тиск P₂ у спочатку порожньому балоні після нагрівання системи до температури t₂ = 117°C.

Задача 1.22. Із рівняння Клапейрона отримати формулу густини газу \( \rho \)  та знайти масу повітря (M = 29 г/моль) у кімнаті площею S = 20 м² і висотою стелі h = 3 м при температурі t = 17 °C і атмосферному тиску P = 100 кПа.

Задача 1.23. По трубі перерізом S = 5 см² прокачують вуглекислий газ при температурі T = 290 K і тиску P = 150 кПа. Визначити швидкість руху газу v, якщо за час t = 5 хв по трубі проходить m = 2 кг газу.

Задача 1.24. Із заданою кількістю газу \(\nu \) проводять процес, у якому тиск змінюється з температурою як $P=\alpha \sqrt{T}$, де \(\alpha \) – задана стала. Визначити залежність об'єму газу від тиску V(P) та показати її на графіку.

Задача 1.25. Повітряна куля починає підійматися при нагріванні в ній повітря до температури t = 60°C. Визначити об'єм V оболонки кулі, якщо її маса разом з вантажем складає m = 300 кг, навколишня температура T₀ = 290 K і атмосферний тиск P₀ = 10⁵ Па. Молярна маса повітря M = 29 г/моль.

Задача 1.26. При підвищенні температури в повітряної кульці на k = 10 % її об'єм збільшується на n = 1 %. Визначити, на яку частку η (%) збільшується при цьому тиск повітря в кульці.

Задача 1.27. Тиск і об'єм гелію (M = 4 г/моль) масою m = 20 г лінійно змінюються від P₁ = 1,55 ГПа, V₁ = 12 дм³ до P₂ = 0,41 ГПа, V₂ = 32 дм³. Визначити максимальну температуру газу в процесі.

====================

Задача 1.14

У балоні об'ємом V = 1 л міститься m = 1 г невідомого окислу азоту N_xO_y  при температурі t = 27 °C і тиску P = 32,8 кПа. 

Встановити 

хімічну формулу сполуки (визначити x та y). Газова стала R = 8,31 Дж/(моль·К).

Розв’язання

За числовими даними з рівняння Клапейрона (1.14) знаходимо молярну масу газу

\({M}=\frac{mRT}{PV}=76\cdot {{10}^{-3}}\) кг/моль,

і, знаючи його узагальнену формулу та відносні атомні маси  Нітрогену A₁ = 14 і Оксигену A₂ = 16, складаємо числове рівняння:

\( {{M}}=x{{A}_{1}}+y{{A}_{2}}\)     \( \Rightarrow\)     76 =14x+16y,  або

7x + 8y = 38.

За змістом це рівняння має тільки цілочисельні розв'язки, котрі легко визначаються підбором: якщо прийняти x = 1, то y = (38 – 7)/8, чого не може бути. А ось при x = 2 маємо y = (38 – 14)/8 = 3.

Отже, шукана формула окислу — N₂O₃.

Задача 1.15 Балон із киснем при тиску P₁ = 1 МПа і температурі t₁ = 27 °C винесли надвір і підключили до газового пальника. 

Визначити, 

який відсоток η (%) кисню було витрачено, коли на кінець роботи тиск у балоні впав до P₂ = 600 кПа при температурі t₂ = –23 °C.

Розв’язання

Частина використаного газу:

де m₁ і m₂ – початкова та кінцева маси кисню в балоні, котрі визначаються з рівнянь Клапейрона (1.14).  Отже:

\( \begin{align} P_{1}V=\frac{m_{1}}{M}RT_{1} \\ P_{2}V=\frac{m_{2}}{M}RT_{2} \\ \end{align}\)       \( \Rightarrow \)      \( \frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{m_{2}T_{2}}{m_{1}T_{1}}\)       \( \Rightarrow \)        \( \frac{m_{2}}{m_{1}}=\frac{P_{2}T_{1}}{P_{1}T_{1}}\).

Підставивши знайдене відношення (m₁/m₂) у вираз (1), одержимо відповідь:

\( \eta=1-\frac{P_{2}T_{1}}{P_{1}T_{2}}\) =  0,28, або \( \eta \)  = 28 %.

Задача 1.16

Відкачану посудину об'ємом V = 0,5 л, що містила m = 1 г кристалічного йоду I₂, нагріли до t = 1000 °C, через що він випарувався і частково дисоціював на атоми.

Визначити

частку  молекул I₂ , що дисоціювали, якщо в посудині встановився тиск P = 700 мм.рт.ст. Атомна маса йоду A = 127.

Розв’язання

З умови задачі випливає, що в посудині міститься газова суміш  молекулярного (I₂) та атомарного йоду (I), тиск якої за законом Дальтона дорівнює сумі парціальних тисків компонент:

P = P₁ + P₂.

Величини P₁, P₂, згідно з рівнянням Клапейрона (1.13) визначається масами компонент, як

\( {{P}_{1}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{M}_{1}}}\frac{RT}{V};\ \ {{P}_{2}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{M}_{2}}}\frac{RT}{V}, \)

Шукана величина η дорівнює відношенню кількості N₁ та маси m₁ дисоційованих молекул до їхніх  початкових значень N,  m. Отже,

\( \frac{m_{1}}{m}=\eta \)       \( \Rightarrow \)       \( {m}_{1}=\eta{m}. \)

Відповідно, маса недисоційованих молекул

  m₂ = m – m₁       \( \Rightarrow \)       \( {m}_{2}=(1-\eta )m. \)   
   

Підставляючи вирази m₁ і m₂ в рівняння (1) і враховуючи, що M₂ = 2M₁  (M₁ = A·10^–3 = 127·10^–3 кг/моль – молярна маса атомарного йоду), одержуємо:

\( {P}=\frac{m}{M_{1}}\left(\eta+\frac{1-\eta}{2}\right)\frac{RT}{V} \),

звідки

\( \eta=\frac{2PV{{M}_{1}}}{mRT} \)–1.

Підставивши задані значення P, V, T  та табличні величини М₁, М₂ і R,  отримаємо числову відповідь:

\( \eta=12 \)%.

Задача 1.17. Відкачаний балон, який на \( \eta=0,1 \) об'єму заповнено водою, вміщають у термостат із температурою t = 300°C.

Визначити,

чи розірветься балон, якщо він витримує максимальний тиск P₀ = 25 МПа?

Розв’язання

Для відповіді на поставлене запитання необхідно визначити тиск P утвореної при нагріванні балона водяної пари та порівняти його з гранично допустимою величиною P₀. Тож, позначивши об'єм балона як V₀, згідно з рівнянням Клапейрона (1.14), запишемо:

Відтак, виразивши масу m водяної пари через густину ρ та об'єм V = ηV₀ як

$m=\rho \eta {{V}_{0}}$

і врахувавши молярну масу води M = 18·10^–3 кг/моль, одержимо відповідь:

\( {P}=\frac{\eta\rho{RT}}{M} \) = 26,4 МПа.

Як бачимо, P > P₀, тож  балон розірветься.

==============

Задача 1.18.

У балоні об'ємом V = 10 л міститься газова суміш гелію і неону загальною масою m = 36 г при тиску P = 10⁶ Па і температура t = 28°C.

Визначити 

масу гелію m₁ і неону m₂ в суміші.

Розв’язання

Відповідно до закону Дальтона (1.12)

P = P₁ + P₂,

де P – заданий тиск суміші, P₁ і P₂ – парціальні тиски гелію та неону, відповідно.

За рівнянням Клапейрона (1.13)

\( {P}_{1}=\frac{m_{1}}{M_{1}}RT, \)   \( {P}_{2}=\frac{m_{2}}{M_{2}}RT, \)

тож для суміші:

Позаяк маса суміші є задана, масу якоїсь із компонент в рівнянні (1) можна виразити через масу іншої, приміром,

Підставивши цей вираз у рівняння (1), отримаємо:

і  після нескладних перетворень

\( {{m}_{1}}=\left( \frac{PV}{RT}-\frac{m}{{{M}_{2}}} \right)\cdot \frac{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}{{{M}_{2}}-{{M}_{1}}}. \)

Відтак, урахувавши молярні маси гелію M₁ = 4 г/моль і неону  M₂ = 20 г/моль, після обчислень дістанемо

m₁  =  11 г

і за співвідношенням (2)

m₂  =  25 г.

Задача 1.19

При електролізі (розкладанні молекул електричним струмом) із m = 1 кг води отримано V = 710 л кисню під тиском P = 10⁵ Па. 

Визначити 

температуру газу t°С.

Розв’язання

За рівнянням Клапейрона (1.13) можна записати:

де \( {{\nu }_{1}}\) – кількість кисню, що утворився. При розкладанні однієї молекули H₂O утворюється один атом кисню, тобто "половина молекули" O₂. Таким чином, кількість кисню \( {{\nu }_{1}}\), що утворився, дорівнює половині кількості води \( \nu \), що прореагувала:

де m – маса води, M = 18·10^-3 кг/моль – її молярна маса. Підставивши вираз (2) в (1), одержимо відповідь:

\( {T}=\frac{2MPV}{mR}=308 \) K  = 35 °C.

Задача 1.20

У кожній частині закритого вертикального циліндра із рухомим масивним поршнем заходиться по ν = 1 моль повітря.

Визначити,

за якої температури T₂ відношення об'ємів повітря дорівнюватиме η₂ = 3, якщо при температури T₁ = 320 K воно складає η₁ = 4.

Розв’язання

 Положення поршня та сили тяжіння та тиску повітря, що діють на нього, показано на рис. 20: а) при температурі T₁ і б) при шуканій температурі T₂. 

У кожному випадку вага поршня при рівновазі компенсується різницею сил тиску повітря  F = PS (S – площа поршня) по обидва боки. Отже,

Виразивши в цьому співвідношенні тиски через температуру та об'єм за рівнянням Клапейрона (1.13) і  врахувавши, що ${{V}_{2}}=\eta {{V}_{1}}$ і \({{{V}'}_{2}}={\eta }'{{{V}'}_{1}}\), після елементарних викладок отримаємо:

Звідси

Залишається визначити величину $\left( {{V}_{1}}^{\prime }/{{V}_{1}} \right)$, що легко зробити, позаяк сумарний об'єм повітря в циліндрі не змінюється:

\( {V}_{1}+{V}_{2}=V'_{1}+V_{2}^{\prime }\)     \( \Rightarrow  \)     \({{V}_{1}}\left( \eta +1 \right)={{V}_{1}}^{\prime }\left( {\eta }'+1 \right)\)      \( \Rightarrow  \) $\frac{{{V}_{1}}^{\prime }}{{{V}_{1}}}=\frac{\eta +1}{{\eta }'+1}$.

Відтак підставимо цей результат вираз (2) і отримуємо відповідь задачі:

${T}'=T\cdot \frac{{\eta }'\left( {{\eta }^{2}}-1 \right)}{\eta \left( {{{{\eta }'}}^{2}}-1 \right)}=450\ \text{K}$.

Задача 1.21

Два однакові балони, один із газом при тиску P₁ = 1,0 атм і температурі t₁= 27°C, а інший порожній, є сполучені трубкою з клапаном, який починає пропускати при різниці тисків у балонах ΔР ≥ 1,1 атм.

Визначити 

тиск P₂ у спочатку порожньому балоні після нагрівання системи до температури t₂ = 117°C.

Розв’язання

Тиск газу в закритій посудині є прямо пропорційний температурі (рівняння (1.18)). При цьому за умовою температура збільшується в 1,3 раза (від 300 K  до 390 K), а граничний тиск, який витримує клапан, є більший за початковий тільки в 1,1 раза. Тож при підвищенні температури клапан у якийсь момент відкриється, і газ буде перетікати, аж поки в балонах не встановиться критична різниця тисків \( \Delta{P}\). Отже, кінцеві тиски в балонах співвідносяться, як

Очевидним є й зв'язок між кількостями газу – початковою в першому ν та кінцевими в першому й другому ν₁, ν₂, відповідно:

Тож, визначивши ці величини через параметри стану газу за рівнянням Клапейрона (1.13) і врахувавши співвідношення (1), дістанемо:

і після нескладних перетворень – відповідь задачі:

\( {{P}_{2}}=\frac{1}{2}\left( P\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-\Delta P \right)=\frac{P}{2}\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-\frac{\Delta P}{P} \right)  \) = 0,1 атм.

(Примітка. Доданок ΔP/P в дужках є безрозмірним, тож при обчисленнях немає потреби переводити значення тисків у Па).

Задача 1.22. Із рівняння Клапейрона

отримати формулу густини газу \( \rho \)  та

знайти масу повітря (M = 29 г/моль) у кімнаті площею S = 20 м² і висотою стелі h = 3 м при температурі t = 17 °C і атмосферному тиску P = 100 кПа.

Розв’язання

Густина ρ = (m/V), отже, згідно з рівнянням Клапейрона (1.14), вона визначається формулою:

 \(\rho=\frac{PM}{RT}\)

і за даними задачі для повітря 

ρ = 1,2кг/м³.

Тож маса повітря в кімнаті

\( {m}=\rho V=\rho Sh=72 \) кг.

Справляє враження, що, здавалося б "невагоме", повітря навіть у невеликій кімнаті має значну масу. Але, як мовиться, все пізнається в порівнянні – маса води в басейні таких самих розмірів становить 60 т !

=====

Задача 1.23.===

По трубі поперечним перерізом S = 5 см² прокачують вуглекислий газ при температурі T = 290 K  і тиску P = 150 кПа.

Визначити 

швидкість руху газу v, якщо за час t = 5 хв по трубі проходить m = 2 кг газу.

Розв’язання

 Виділимо в трубі подумки ділянку  певної довжини l, яка вміщує масу газу m, рис. 23. При швидкості руху v весь цей газ пройде крізь передній край ділянки за час t = (l/v). Отож довжина ділянки та  об'єм газу в ній складають l = vt і V = lS = Svt. Відтак, підставивши цей вираз у рівняння Клапейрона (1.14), знайдемо відповідь:

\( {PSvt}=\frac{m}{M}RT \)       \( \Rightarrow \)       \( {v}=\frac{mRT}{tPSM}. \)

Молярна маса вуглекислого газу (CO₂) M = 44·10 ^–3 кг/моль, тож числова відповідь

\( {v}\approx{5}\) м/с.

====

Задача 1.24.

Із заданою кількістю газу \(\nu \) проводять процес, у якому тиск змінюється з температурою як \(P=\alpha {{T}^{1/2}}\), де \(\alpha \) – задана стала. 

Визначити

залежність об'єму газу від тиску V(P) та показати її на графіку.

Розв’язання

Шукану залежність об'єму газу від тиску V(P) отримаємо з рівняння Клапейрона (1.13), виразивши в ньому температуру T через тиск P , відповідно до умови задачі:

$PV=\nu R\cdot {{\left( {P}/{\alpha }\; \right)}^{2}}\quad \Rightarrow \quad V=\beta P,\quad \beta =\left( {\nu R}/{{{\alpha }^{2}}}\; \right)$.

Графік V(P) показано на рис. 24.

Отже, виходить, що при стисненні газ розширюється. Але цей "парадокс" є удаваним, бо стиснення (збільшення тиску) забезпечується не рухом поршня, а нагріванням газу.

 =====

Задача 1.25.

Повітряна куля починає підійматися при нагріванні в ній повітря до температури  t = 60 °C.  

Визначити 

об'єм V оболонки кулі, якщо її маса разом з вантажем складає m = 300 кг, навколишня температура T₀ = 290 K і атмосферний тиск P₀ = 10⁵ Па. Молярна маса повітря M = 29 г/моль.

Розв’язання

Підйом кулі почнеться, коли виштовхувальна сила F_A навколишнього повітря зрівноважить силу тяжіння F_T  (рис. 25), величина котрої

де m – маса оболонки кулі з вантажем,  ρVg – маса повітря всередині при густині ρ і об'ємі оболонки V. Відповідно, виштовхувальна сила дорівнює вазі навколишнього повітря в об'ємі  оболонки (закон Архімеда), котре має густину ρ₀ :

Отже, умовою підйому кулі є рівність:

\({{\rho }_{0}}Vg=mg+\rho Vg\) , 

з якої для шуканого об'єму оболонки виходить формула

Густини повітря за рівнянням Клапейрона (1.14) визначаються, як

\(\rho =\frac{{{P}_{0}}M}{RT}\)   і   ${{\rho }_{0}}=\frac{{{P}_{0}}M}{R{{T}_{0}}}$.

Тож, підставивши ці вирази у формулу (1), дістанемо відповідь задачі:

\(V=\frac{mR{{T}_{0}}T}{{{P}_{0}}M(T-{{T}_{0}})}\approx 1930\) м³.

====

Задача 1.26.

При підвищенні температури в повітряної кульці на k = 10 % її об'єм збільшується на n = 1 %.

Визначити,

на яку частку η (%) збільшується при цьому тиск повітря в кульці.

Розв’язання

Зміна параметрів стану повітря в кульці відбувається при незмінній кількості, тож, згідно з рівнянням Клапейрона (1.14), параметри початкового (P₁, V₁, T₁) та  кінцевого (P₂, V₂, T₂) стану пов'язані співвідношенням:

При цьому за умовою задачі

По аналогії те саме можна записати й для тисків :

Підставивши вирази (2), (3) у співвідношення (1), одержуємо відповідь:

\(\frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{T}_{1}}}=\frac{{{P}_{1}}(1+\eta){{V}_{1}}(1+n)}{{{T}_{1}}(1+k)}\)      \( \Rightarrow \)      \( 1+\eta=\frac{1+k}{1+n}\)      \(\Rightarrow \)      \(\eta=\frac{1+k}{1+n}-1.\)

Обчислення дають

\(\eta=0,089=8,9\) %.

Задача 1.27.

Тиск і об'єм гелію (M = 4 г/моль) масою m = 20 г лінійно змінюються від P₁ = 1,55 ГПа, V₁ = 12 дм³ до P₂ = 0,41 ГПа, V₂ = 32 дм³.

Визначити

максимальну температуру газу в процесі.

Розв’язання

На рис. 27 показано графік заданої в умові залежності P(V), згідно з яким 

 де

Підставивши вираз (1) у рівняння Клапейрона (1.13), наступну залежність температури газу від об'єму:

Її графіком є відрізок параболи, розташований між точками  V = 0 і V = V₀. Отже, максимум температури газу в заданому процесі спостерігається при V = (V₀/2), P = (P₀/2) і, згідно з (1.14), складає

Величини V₀, P₀ легко знаходяться з рис. 1.27 через коефіцієнт α:

Відтак, підставивши ці значення у вираз (3), отримаємо загальну відповідь:

${{T}_{max}}=\frac{M}{4nR}\cdot \frac{{{\left( {{P}_{1}}{{V}_{2}}-{{P}_{2}}{{V}_{1}} \right)}^{2}}}{\left( {{P}_{1}}-{{P}_{2}} \right)\left( {{V}_{2}}-{{V}_{1}} \right)}$,

або після обчислень

Т_m = 417 К = 144°С.