ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА". Компенсаційний курс

Задача 1.1. У досліді з визначення розмірів молекули на поверхню води в широкій посудині помістили краплину незмішуваного з нею спиртового розчину олеїнової кислоти й після її розтікання та випаровування спирту виміряли розміри плями, що утворилася. Оцінити поперечник d молекули, якщо при об'ємі краплі V₀ = 2 мм³ і концентрації розчину С = 0,5 % діаметр плями склав D = 20 см.

Задача 1.2. А) Отримати формулу для оцінки діаметра d молекули заданої речовини за її густиною. Б) Оцінити діаметри атомів літію Li (ρ₁ = 0,53·10³ кг/м³), ртуті Hg (ρ₂ = 13,6·10³ кг/м³), урану U (ρ₃ = 19,05·10³ кг/м³) і молекули води H₂O (ρ₄ = 1,0·10³ кг/м³).

Задача 1.3.  Визначити масу m₀ молекули газу, який за нормальних умов (T₀ = 273 K, P₀ = 10⁵ Па) має густину ρ = 1,94 кг/м³.

Задача 1.4. Визначити відношення  кількостей атомів (N₁/N₂) в однакових посудинах, одну з яких заповнено водою, а іншу ртуттю.

Задача 1.5. Концентація молекул повітря при нормальному атмосферному тиску й кімнатній температурі дорівнює n = 2,5·10¹⁹  см^–3. Визначити, протягом якого часу за таких умов можна було би повністю відкачати посудину об'ємом V = 1 л насосом, який був би спроможний постійно викидати назовні один мільярд молекул за секунду.

Задача 1.6. Визначити молярну масу повітря М, вважаючи, що воно за масою складається з с₁ = 75,5 % азоту N₂, с₂ = 23,1 % кисню O₂, с₃ = 1,3 %  аргону Ar і с₄ = 0,1 % вуглекислого газу CO₂.

Задача 1.7.  Визначити середню квадратичну швидкість: А) компонент повітря – молекули водню (H₂) та  атома аргону (Ar) і Б) мікроскопічної порошинки піску (SiO₂) розміром d = 0,1 мкм, яка є зважена ("плаває") у повітрі. Густина піску ρ = 2,5 г/см³, температура повітря t = 20 °С

Задача 1.8. Температуру в кімнаті площею S = 20 м² і висотою стелі h = 3 м підвищують від t₁ = 15 °C до t₂ = 25 °C при атмосферному тиску P = 100 кПа. Визначити, на скільки при цьому змінюється: А) кількість молекул повітря в кімнаті ΔN; Б)  сумарна кінетична енергія їхнього теплового руху \( \Delta{U}\).

Задача 1.9. Три балони ємністю V₁ = 2 л, V₂ = 3 л  і V₃ = 5 л, які сполучено тонкими трубками з перекритими кранами, містять гази під тиском P₁ = 100 кПа, P₂ = 80 кПа і P₃ = 40 кПа. Визначити тиск P, який установиться в системі після відкриття кранів.

Задача 1.10. В одну половину відкачаного циліндра, що  розділений жорсткою напівпроникною перегородкою (мембраною), швидко впускають суміш газів, яка складається з однакових кількостей водню (М₁ = 2 г/моль) та гелію (М₂ = 4 г/моль) і має тиск P₀ = 100 кПа. Визначити тиски P₁ і P₂ в обох половинах циліндра після припинення дифузії, якщо мембрана пропускає тільки водень, і температура в процесі лишається сталою.

Задача 1.11. Два однакові балони з термостійкого матеріалу сполучено тонкою трубкою й заповнено газом під тиском P₀. Визначити максимальний тиск P_m, який теоретично можна одержати в системі, нагріваючи один балон і підтримуючи інший при сталій температурі.

Задача 1.12. В одну частину розділеного рухомою непроникною перегородкою циліндра вміщено m₁ = 2 г водню H₂, а в іншу m₂ = 32 г кисню O₂ при температурі \(t\gt{100}^{\circ}\mathrm{C}\). Тиск у системі P₀ = 100 кПа. Визначити тиск P в циліндрі після того, як прибрали перегородку і встановилася початкова температура.

Задача 1.13. Визначити тиск P, що його чинить на стінку пучок молекул водню Н₂ з концентрацією n = 3·10²³ 1/м³ при  при перпендикулярному падінні й пружному відбиванні від неї зі швидкістю $v$ = 1 км/с .

SOLUTION

Задача 1.1

У досліді з визначення розмірів молекули на поверхню води в широкій посудині помістили краплину незмішуваного з нею спиртового розчину олеїнової кислоти й після її розтікання та випаровування спирту виміряли розміри плями, що утворилася. 

Оцінити 

поперечник d молекули, якщо крапля її спиртового розчину концентрацією С = 0,5 %  й об'ємом V₀ = 2 мм³ розпливлася в круглу пляму діаметром D = 20 см.

Розв’язання

Ідея описаного досліду ґрунтується на тому, що крапля розтікається по поверхні води аж до утворення плівки (плями) завтовшки в одну молекулу. Тож розміри молекули можна оцінити за товщиною h такої мономолекулярної плівки.

Зрозуміло, що прямо виміряти величину h неможливо, але її можна визначити опосередковано, вважаючи, що через швидке випаровування летючого розчинника (спирту) молекули кислоти розташовуються впритул, утворюючи на воді суцільний шар в одну молекулу. В такому разі поперечник молекули дорівнює його товщині h:

де V – об'єм , \(S=\pi {{D}^{2}}/4\) – площа поверхні утвореної плівки.

Концентрація розчину дорівнює відношенню об'єму V кислоти в краплі до об'єму V₀ розчину: с = V/V₀. Отже, об'єм плівки на воді V = cV₀. Підставивши цю величину у формулу  (1), одержимо:

Щодо отриманого результату слід зауважити таке. Формула (2) є оціночною, а не точною. Адже коли уявити молекули мікроскопічними кульками, то навіть при щільному розташуванні між ними існуватимуть пустоти, що у виразах (1) і (2) не враховано. Але насправді ситуація є ще складніша, бо молекули є не мікроскопічними кульками, а складною системою електронів, які рухаються навколо ядер за законами квантової механіки. Тож саме поняття розміру для атомів і молекул не має такого визначеного змісту, як для макроскопічних частинок.

Задача 1.2

А) Отримати

формулу для оцінки діаметра d молекули заданої речовини за її густиною.

Б) Оцінити

діаметри: атомів літію Li (ρ₁ = 0,53·10³ кг/м³), ртуті Hg (ρ₂ = 13,6·10³ кг/м³), урану U (ρ₃ = 19,0·10³ кг/м³) і молекули води H₂O (ρ₄ = 10³ кг/м³).

Розв’язання

А) 1 моль речовини містить N₀ = 6,02·10²³ молекул (стала Авогадро) і займає об'єм

\({{V}_{m}}=\frac{M}{\rho },\)

де M – молярна маса, \(\rho \) – густина. У рідинах і твердих тілах молекули розміщені впритул, тому об'єм і розміри однієї молекули можна оцінити, відповідно, як

\({{V}_{0}}\approx \frac{{{V}_{m}}}{{{N}_{0}}}=\frac{M}{\rho {{N}_{0}}},\)

і

Б) Узявши відносні атомні маси з таблиці хімічних елементів, із співвідношення (1.4) одержимо наступні значення молярної маси: літій M₁ = 6,94·10^–3 кг/моль,  ртуть M₂ = 200,6·10^–3 кг/моль,  уран M₃ = 238·10^–3 кг/моль і вода M₄ = 18·10^–3  кг/моль. Відтак за формулою (1) оцінимо діаметри атомів заданих елементів та молекули води: літій Li   \({{d}_{1}}\approx  2,8\cdot {{10}^{-10}}\text{м};\)  ртуть Hg      \({{d}_{2}}\approx 2,9\cdot {{10}^{-10}}\ \text{м};\)  уран U       \({{d}_{3}}\approx  2,75\cdot {{10}^{-10}}\ \text{м}\);  вода H₂O   \({{d}_{4}}\approx 3,1\cdot {{10}^{-10}}\ \text{м}.\)

В результатах упадає в око близькість отриманих чисел при великій різниці густин, отож  мас атомів і кількості нуклонів у ядрах. Це пов'язано з особливостями взаємодії елементарних частинок, які не дозволяють уважати їх просто мікроскопічними твердими кульками.

Задача 1.3

Визначити

масу m₀ молекули газу, який за нормальних умов (T₀ = 273 K, P₀ = 10⁵ Па) має густину \( {{\rho }_{0}}=1,94 \) кг/м³.

Розв’язання

Густина чисельно дорівнює масі одиниці об'єму речовини. Тож

\( \rho ={{m}_{0}}n, \)

де m₀ – маса однієї молекули, n – концентрація (кількість в одиниці об'єму) молекул у речовині. Таким чином,

де \( {{\rho }_{0}}\), n₀ –  густина й концентрація газу за нормальних умов.

Згідно з формулою (1.11),

\( {{n}_{_{0}}}=\frac{{{P}_{0}}}{k{{T}_{0}}}, \)

отже,

\( {{m}_{0}}=\frac{\rho k{{T}_{0}}}{{{P}_{0}} }= 7,3\cdot {{10}^{-26}}\ \text{кг}. \)

Задача 1.4

Визначити

Визначити відношення  кількостей атомів (N₁/N₂) в однакових посудинах, одну з яких заповнено водою, а іншу ртуттю.

Розв’язання

Молекула води складається з трьох атомів. Тож відповідно до формул (1.3) и (1.6)  кількість атомів у посудині з водою

де m₁ – маса і M₁ – молярна маса води, N₀ – стала Авогадро. Відтак, виразивши  масу m₁ через густину води ρ₁ і об'єм посудини V, дістанемо:

\({{N}_{1}}=\frac{3{{\rho }_{1}}V{{N}_{0}}}{{{M}_{1}}}.\)

Аналогічно визначається кількість атомів ртуті у другій склянці:

\({{N}_{2}}=\frac{{{\rho }_{2}}V{{N}_{0}}}{{{M}_{2}}}\).

Отже, шукане відношення

Узявши з таблиць значення \( \rho_{1}=10^{3}\) кг/м³, \( \rho_{2}=13,6 \cdot{10}^{3}\) кг/м³, \({{M}_{1}}=18\cdot{{10}^{-3}}\) кг/моль, і \({{M}_{2}}=201\cdot {{10}^{-3}}\)кг}/моль, одержимо:

$\frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}\approx 2,5$.

Таким чином, атомів у склянці з водою є істотно більше, ніж у склянці зі ртуттю. А от кількості молекул води N_в й атомів ртуті N_рт є приблизно однакові:

\(\frac{{{N}_{в}}}{{{N}_{рт}}}=\frac{{{\rho }_{2}}}{{{\rho }_{1}}}\cdot \frac{{{M}_{1}}}{{{M}_{2}}}\approx 1,2.\)

Це пояснюється тим, що молекула води й атом ртуті мають близькі розміри (див. задачу (1.2)), тому їхні кількості в однаковому об'ємі теж мало відрізняються.

Задача 1.5

Концентація молекул повітря при нормальному атмосферному тиску й кімнатній температурі дорівнює n = 2,5·10¹⁹  см^–3 .

Визначити,

протягом якого часу за таких умов можна було би повністю відкачати посудину об'ємом V = 1 л насосом, який був би спроможний постійно викидати назовні один мільярд молекул за секунду.

Розв'язання

 Час відкачування t = (N/n₁),  де n₁ – кількість молекул, що захоплюються насосом за 1 c, N – їхня початкова кількість у посудині. Позаяк N = nV, то

\(t=\frac{nV}{{{n}_{1}}}\)  ≈ 800 тис. років.

Задача 1.6

Можна вважати, що повітря складається за масою з \( {c}_{1}\) = 75,5 % азоту N₂, \( {c}_{2}\) = 23,1 % кисню O₂, \( {c}_{3}\) = 1,3 % аргону Ar і \( {c}_{4}\) = 0,1 % вуглекислого газу CO₂.

Визначити

молярну масу повітря М.

Розв’язання

Молярна маса, котра є мірою кількості речовини, визначається кількістю частинок, яка міститься в тілі, а не його масою чи якоюсь іншою величиною. Отже, в одному молі повітря міститься \({{N}_{0}}=6,02\cdot {{10}^{23}}\) молекул газів-компонент у відповідних пропорціях.

Нехай маса повітря дорівнює m. Тоді загальна кількість молекул у посудині

де M – його молярна маса, N₀ – стала Авогадро. Очевидно, що

Тут, відповідно, \( {{N}_{1}},\ {{N}_{2}},\ {{N}_{3}},\ {{N}_{4}}\) – кількість молекул, \( {{m}_{1}},\ {{m}_{2}},\ {{m}_{3}},\ {{m}_{4}}\) – маси, а \( {{M}_{1}},\ {{M}_{2}},\ {{M}_{3}},\ {{M}_{4}}\) –  молярні маси компонент. При масі суміші m маса і-ї компоненти m_і визначається її концентрацією і складає m_і = с_іm. Тож

\( {{m}_{1}}={{c}_{1}}m,\ \ {{m}_{2}}={{c}_{2}}m,\ \ {{m}_{3}}={{c}_{3}}m,\ \ {{m}_{4}}={{c}_{4}}m. \)

Таким чином, з (2) маємо:

Прирівнявши праві частини виразів (1) і (3), знаходимо вирази

або

Узявши з таблиць молярні маси M₁ = 28 г/моль, M₂ = 32 г/моль, M₃ = 40 г/моль, M₄ = 44 г/моль, після обчислень отримаємо:

M= 29 г/моль .

Слід сказати, що насправді повітря, крім зазначених, містить деяку кількість інших газів, таких як водень, гелій та ін. Тому в умові величину c₄ свідомо дещо змінено так, аби отриманий результат збігався з табличним значенням молярної маси повітря. Зазначимо також, що в наведених викладках кількість компонент у суміші та їхній агрегатний стан були не істотними. Тож отриманий результат можна узагальнити й записати наступну загальну формулу молярної маси суміші будь-якої кількості заданих речовин із відомим відсотковим умістом:

\( \frac{1}{M}=\sum\frac{c_{i}}{M_{i}}\),           \(M=\left( \sum\frac{c_{i}}{M_{i}} \right)^{-1}\).

Задача 1.7

Визначити

середньоквадратичну швидкість:

А) компонент повітря – молекули водню (H₂) та  атома аргону (Ar) і

Б) мікроскопічної порошинки піску (SiO₂) розміром d = 0,1 мкм, яка є зважена ("плаває") у повітрі.  Густина піску ρ = 2,5 г/см³, температура повітря t = 20 °С

Розв’язання

А) Середня квадратична швидкість молекул газу при заданій температурі визначається формулами (1.9). Визначивши за таблицею хімічних елементів молярні маси молекулярного водню (H₂)  M₁ = 2·10^–3 кг/моль і аргону (Ar)  M₂ = 40·10^–3 кг/моль і врахувавши температура повітря T = 293 K і  газову сталу R= 8,31 Дж/(моль·К), знаходимо:

\( {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{3RT}{{{M}_{1}}}}\) ≈ 1900 м/с,

\( {{v}_{2}}=\sqrt{\frac{3RT}{{{M}_{2}}}}\) ≈ 430 м/с.

Б) Порошинці не дають падати молекули повітря, що "бомбардують" її з усіх боків і змушують здійснювати хаотичний броунівський рух. З цієї ж причині не падають на землю і самі молекули повітря. Так що рух порошинки має ту саму природу і властивості, що й тепловий рух молекул. Зокрема, кінетична енергія поступального (броунівського) руху порошинки визначається формулою (1.8), а середньоквадратична швидкість \( {{v}_{3}}\) –формулою (1.9):

Маса порошинки \( {m=\rho V}\), де \( \rho \) – густина її речовини, V – об'єм. Форма порошинки точно не відома, тому її об'єм і масу можна тільки розумно оцінити, приміром, прийнявши за кубик з ребром d. Тоді

\( {m}=\rho {{d}^{3}},\)

і відповідно до формули (1)

v₃ \(\sim \sqrt{\frac{3kT}{\rho {{d}^{3}}}}\).

Підставивши сюди задані значення \( {T},\ d,\ \rho \), а також k = 1,38·10^–23 Дж/К, одержимо

v₃ \(\sim \) 7 м/с.

Упадає в око те, що швидкість порошинки є дуже малою порівняно зі швидкостями молекул: \( ({{v}_{1}}/{{v}_{3}})\approx 3\cdot {{10}^{4}}\), \( ({{v}_{2}}/{{v}_{3}})\approx 6\cdot {{10}^{3}}\). Але нічого дивного в цьому немає, бо порошинка, попри те що є видима тільки  під мікроскопом, складається з \( {N}\cong 2,5\cdot {{10}^{7}}\) молекул. Тож її маса (інертність) є несумірно великою порівняно з масою молекули. Тому, обмінюючись при зіткненнях з молекулами повітря однаковими енергією та імпульсом, вона здобуває набагато меншу швидкість.

Задача 1.8

Температуру в кімнаті площею \( {S}=20\ м^{2}\) і висотою стелі h = 3 м підвищують від t₁ = 15 °C до t₂ = 25 °C при атмосферному тиску P = 100 кПа.

Визначити,

на скільки при цьому змінюється:

А)  кількість молекул повітря в кімнаті ΔN;

Б)  сумарна кінетична енергія їхнього теплового руху U.

Розв’язання

А) Зміна кількості молекул повітря в кімнаті

де n₁, n₂ – концентрації молекул при температурі t₁ і t₂ відповідно, Sh = V– об'єм повітря в кімнаті. Кімната не є "герметичною посудиною", тому при зміні температури тиск повітря в ній залишається сталим і дорівнює атмосферному. Тож, з формули (1.11) маємо:

\( {{n}_{2}}=\frac{P}{k{{T}_{2}}},\ \ \ \ \ \ \ \ {{n}_{1}}=\frac{P}{k{{T}_{1}}}.\)

Після підстановки цих значень у вираз (1) одержуємо відповідь:

\( \Delta N=\frac{PSh}{k}\left( \frac{1}{{{T}_{2}}}-\frac{1}{{{T}_{1}}} \right)\) ≈ –5·10²⁵.

Знак "–" означає, що при нагріванні повітря молекули виходять з кімнати.

Б) Зміна сумарної кінетичної енергії теплового руху молекул повітря в кімнаті

де V – об'єм повітря, n₁ і n₂ – концентрації молекул, а \( \left\langle {{E}_{1}} \right\rangle \) і \( \left\langle {{E}_{2}} \right\rangle \) – середні кінетичні енергії молекули при початковій і при кінцевої температурах. Відповідно до основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу (1.10) можна записати \( {n}\left\langle E \right\rangle =3P/2 \). Підставивши цей вираз в рівняння (2) і врахувавши незмінність тиску, дістанемо

\( \Delta U=0. \)

Таким чином, при зміні температури в кімнаті енергія теплового руху молекул повітря не змінюється. Цей, можливо неочікуваний, результат легко пояснюється: при підвищенні температури повітря кінетична енергія однієї молекули збільшується рівно у стільки разів, у скільки зменшується їхня кількість у кімнаті.

Задача 1.9

Три балони ємністю V₁ = 2 л, V₂ = 3 л  і V₃ = 5 л, які сполучено тонкими трубками з перекритими кранами, містять гази під тиском P₁ = 100 кПа, P₂ = 80 кПа і P₃ = 40 кПа.

Визначити

тиск P, який установиться в системі після відкриття кранів.

Розв’язання

Після відкривання кранів утворюється суміш газів у посудині об'ємом

тиск якої за законом Дальтона (1.12)

У цьому виразі парціальні тиски компонент суміші ${{{P}'}_{i}}$ (див. п. 1.1), за рівнянням (1.11) визначаються температурою та їхніми концентраціями \( {{n}_{i}}^{\prime }\) в об'єднаному балоні, як

де

Отже, тиск у об'єднаному балоні

$P=\frac{\sum{{{n}_{i}}kT{{V}_{i}}}}{\sum{{{V}_{i}}}}$,

і, згідно з рівнянням (1.11),

Для заданої в умові кількості сполучених балонів розгорнута відповідь має вигляд:

\(P=\frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}+{{P}_{2}}{{V}_{2}}+{{P}_{3}}{{V}_{3}}}{{{V}_{1}}+{{V}_{2}}+{{V}_{3}}}\) = 64 кПа.

Задача 1.10

В одну половину відкачаного циліндра, що  розділений жорсткою напівпроникною перегородкою (мембраною), швидко впускають суміш газів, яка складається з однакових кількостей водню (М₁ = 2 г/моль) та гелію (М₂ = 4 г/моль) і має тиск P₀ = 100 кПа.

Визначити

тиски P₁ і P₂ в обох половинах циліндра після припинення дифузії, якщо мембрана пропускає тільки водень, і температура в процесі лишається сталою.

Розв’язання

Рис. 10 схематично ілюструє початковий (а) і кінцевий (б) стан системи.

Позаяк кількості газів однакові, то початкові концентрації  молекул n₀ у них теж однакова. Отже, згідно з рівнянням (1.11) і законом Дальтона (1.12), початковий тиск

Після припинення дифузії водню крізь мембрану в лівій половині циліндра залишається суміш із усього гелію із парціальним тиском

P_He = $\frac{{{P}_{0}}}{2}$

та половини водню з концентрацією (n₀/2) і парціальним тиском

   P_H = $\frac{{{P}_{0}}}{4}$.

Отже, повний тиск у лівій половині циліндра

P₁ = P_He + P_H = $\frac{3}{4}{{P}_{0}}$ = 75 кПа.

У правій половині

P₂ = P_H = $\frac{{{P}_{0}}}{4}$ = 25 кПа.

Задача 1.11

Два однакові балони з термостійкого матеріалу сполучено тонкою трубкою й заповнено газом під тиском P₀.

Визначити

максимальний тиск P_m, який теоретично можна одержати в системі, нагріваючи один балон і підтримуючи інший при сталій температурі.

Розв’язання

Нехай температура в першому балоні підтримується на заданому рівні T₀, а в другому має якесь значення T > T₀. Тоді, позаяк тиски  в сполучених балонах є однакові за будь-яких умов, із рівняння (1.11) маємо:

 Отже, при підвищенні температури Т другого балона концентрація молекул у ньому буде зменшуватись, а в першому – відповідно збільшуватись, тобто газ перетікатиме з гарячого балона в холодний. Це пояснюється тим, що кількість молекул, які проходять по трубці за 1 с в той чи інший бік, є прямо пропорційна швидкості їхнього руху, котра зростає при нагріванні.

За умовою другий балон теоретично можна нагріти до гранично високої температури, тож із співвідношення (1) при Т → ∞  маємо n₂ → 0. Це означає, що всі молекули з гарячого балона перейдуть у холодний і концентрація молекул та тиск у ньому подвояться.

Таким чином, теоретично можливий максимальний тиск у системі складає

P_max = 2P₀.

Задача 1.12

В одну частину розділеного рухомою непроникною перегородкою циліндра вміщено m₁ = 2 г водню H₂, а в іншу m₂ = 32 г кисню O₂ при температурі \(t\gt{100}^{\circ}\mathrm{C}\). Тиск у системі P₀ = 100 кПа.

Визначити

тиск P  в циліндрі після того, як прибрали перегородку і встановилася початкова температура.

Розв’язання

З умови видно, що спочатку в циліндрі було по 1 моль кожного газу, тобто однакова кількість молекул

N₁ = N₂ = N₀,

де N₀ = 6,02·10²³. Початкові об'єми газів теж однакові й дорівнюють половині об'єму циліндра:

V₁ = V₂ = V/2.

Після прибирання перегородки  відбувається реакція окислення водню при температурі \(t\gt{100}^{\circ}\mathrm{C}\):

результатом якої є утворення водяної пари. При цьому на утворення двох молекул води йде дві молекули водню, але тільки одна молекула кисню. Тому весь водень прореагує з половина кисню, і в циліндрі утвориться суміш водяної пари з киснем загальною кількістю молекул

\( {N}=\frac{3}{2}{{N}_{0}}. \)

Позначимо об'єм циліндра і кінцеву температуру суміші як V  і T. Тоді кінцевий тиск за формулою (1.11) складає:

За умовою задачі початкові температури й тиски газів, тож і концентрації молекул, є однакові:

\( {{n}_{1}}={{n}_{2}}\)       \( \Rightarrow \)        \( \frac{{{N}_{1}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{N}_{2}}}{{{V}_{2}}}. \)

Вище було встановлено, що N₁ = N₂ = N₀, тому на підставі формули (1.11) можна записати

Порівнявши вирази (2) і (3), одержимо відповідь:

\( {P}=\frac{3}{4}{{P}_{0}}. \)

Задача 1.13.

Визначити

тиск P, що його чинить на стінку пучок молекул водню з концентрацією n = 10²³ 1/м³ при  перпендикулярному падінні й пружному відбиванні від неї зі швидкістю $v$ = 1 км/с .

Розв'язання

При пружньому перпендикулярному зіткненні зі стінкою кожна молекула, що підлітає зі швидкістю $\vec{v}$ відскакує в зворотньому напрямку з такою самою за модулем швидкістю  –${\vec{v}}'$, змінюючи свій імпульс на величину $\Delta \vec{p}=m{\vec{v}}'-m\vec{v}=-2m\vec{v}$. Тож, позаяк за законами механіки сила, що діє на тіло, чисельно дорівнює зміні його імпульсу за одиницю часу, сила тиску F та тиск пучка молекул на стінку складають:

де S – площа поперечного перерізу пучка і Z – кількість зіткнень молекул зі стінкою за одиницю часу.

Величину Z легко підрахувати, позаяк за час t зі стінкою стикаються всі молекули, що перебувають від неї на відстанях $l\le vt$. Тож $Z=nvS$, і

$P=2nm{{v}^{2}}$.

Відтак, підставивши вираз маси молекули (1.7) і врахувавши табличні константи, отримаємо відповідь:

$P=\frac{2nM{{v}^{2}}}{{{N}_{\text{A}}}}$ = 2 кПа.