ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Розділ V. СТАТИКА

5.2. Рівновага твердого тіла, центр ваги

Статична рівновага тіла означає нерухомість його центра мас і відсутність обертання. Тому для забезпечення рівноваги довільного тіла мають бути виконані дві вимоги, що в сукупності складають загальні умови ваги твердого тіла.

Перша умова рівноваги твердого тіла є умовою рівноваги центра мас і гласить:

сума всіх прикладених до тіла сил має дорівнювати нулю:
$ {F}=\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{i}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\cdots +\vec{F}_{n}=0, $	(5.3)

або у проекціях на координатні осі

$\sum\limits_{i}{F}_{xi}=0$; $\sum\limits_{i}{F}_{yi}=0.$

(5.3а)

Друга умова рівноваги твердого тіла визначає відсутністіь обертання і називається правилом моментів:

алгебраїчна сума моментів усіх діючих на тіло сил відносно довільної осі має дорівнювати нулю:
$ \sum\limits_{i}{M}_{i}=0. $	(5.4)

При цьому довільність осі означає, при складанні рівняння (5.4) для зрівноваженого тіла віртуальну вісь обертання можна проводити, як зручно, а не обов'язково через точку дотику до опори чи точку кріплення підвісу.

При розв'язуванні деяких задач статики використання обох умов рівноваги не є необхідним. Так буває у двох випадках:

1. Моменти реакцій в'язей гарантовано компенсують моменти всіх інших сил. У такому разі тіло може рухатися тільки поступально, і достатньою умовою рівноваги є (5.3). При цьому всі сили можна вважати прикладеними в одній точці, до прикладу, в центрі мас.

2. Якщо тіло має закріплену вісь обертання, то умова (5.3) виконується автоматично. В такому випадку достатньо скористатися тільки правилом моментів (5.4).

Одним із важливих понять статики є

центр ваги – точка прикладання рівнодійної сил тяжіння, що діють на всі частини тіла.

Отже, при підвішуванні тіла за будь-яку точку центр ваги встановлюється на одній вертикалі з нею. На цьому ґрунтується простий лабораторний спосіб визначення центра ваги плоскої пластини. А саме, її підвішують послідовно за дві різні точки, проводять через них вертикалі й на їхньому перетині дістають положення центра ваги.

При підвішуванні (чи підпиранні) тіла в центрі ваги рівновага є байдужою, тобто не залежить від орієнтації тіла в просторі. Це дозволяє з умов рівноваги тіла із закріпленою віссю обертання (5.4) вивести загальні формули для обчислення положення центра ваги пластини. Для цього подумки підвісимо пластину в центрі ваги С і розмістимо в її площині жорстко зв'язану систему координат так, аби осі ОX і OY мали звичну орієнтацію. В такому разі момент сили тяжіння відносно осі ОZ визначиться формулою

M = mgХ_с,

де Х_с – координата центра ваги, яка є плечем сили тяжіння. З іншого боку, цей момент складається з моментів сил тяжіння, що діють на всі частинки пластини з масами m_i й координатами x_i. Отже,

mgХ_с = $\left( \sum{{{m}_{i}}{{x}_{i}}} \right)g$,

${{X}_{c}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{x}_{i}}}}{m}$.

(5.5а)

Відтак подумки повернувши тіло разом із системою координат на 90°, отримаємо подібну формулу для координати Y:

${{Y}_{c}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{y}_{i}}}}{m}$.

(5.5б)

(Примітка. Конкретний розрахунок за цим алгоритмом наведено в розділі ''Статика. Приклади розв'язування задач, Задача 5.18).

В наведених міркуваннях пластина по умовчанню вважалася тонкою. Проте для товстої пластини третя координата Z_с визначається аналогічною формулою, позаяк між осями ОХ і OZ немає жодної фізичної відміни. Зрозуміло також, що отримані формули є чинними не лише для пластини, а й для тіла довільної форми.

Наостанку зауважимо, що наведені формули збігаються із формулами (3.6а), отже,

центр ваги тіла збігається з його центром мас.