ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

2. Приклади розв'язування задач

2.5. Рух двох тіл

Задача 1.23. Двоє байкерів рухаються однією прямою дорогою відповідно до рівнянь: $ {x}_{1}={8t} $ і $ {x}_{2}=14+0,5t^{2}$. 1. Проаналізувати рух і показати графіки координат байкерів x(t). 2. Визначити: а) час t та місце зустрічі байкерів (відстань L від початку координат); б) час τ, за який байкери подолають однаковий шлях і знайти його величину S.

Задача 1.24. Два тіла з однакової висоті над землею кинуто горизонтально у протилежних напрямах зі швидкостями $ {v}_{01}={4} $ м/с і $ {v}_{02}={9}$ м/с. Визначити, через який час t вектори швидкостей тіл стануть взаємно перпендикулярними.

Задача 1.25. З однієї точки одночасно і з однаковою швидкістю $ {v}$ = 20 м/с кидають вгору два тіла: одне вертикально, а інше – під кутом $ \alpha=50^{\circ}$ до горизонту. Визначити відстань L між тілами через час t = 0,5 c після початку руху.

Задача 1.22

Задача 1.23

Двоє байкерів рухаються однією прямою дорогою відповідно до рівнянь: $ {x}_{1}={8t} $ і $ {x}_{2}=14+0,5t^{2}$.

1. Проаналізувати рух і показати графіки координат байкерів x(t).

2. Визначити:

а) час t та місце зустрічі байкерів (відстань L від початку координат);

б) час τ, за який байкери подолають однаковий шлях і знайти його величину S.

Дано:

x₁ = 8t

x₂ = 14 + 0,5t²

t - ? L - ? τ - ?

Розв'язання

1. З умови випливає, що перший байкер рухається із сталою швидкістю v₁ = 8 м/с і при t = 0 знаходиться в початку координат. Одночасно другий байкер, перебуваючи попереду на відстані x₂₀ = 14 м, починає рухатись у тому самому напрямі з прискоренням a₂ = 1 м/с².

Для аналізу подальшого руху байкерів випишемо у загальному вигляді рівняння їхніх координат (1.16):

$\begin{align} & {{x}_{1}}={{v}_{1}}t \\ & {{x}_{2}}={{x}_{20}}+\frac{{{a}_{2}}{{t}^{2}}}{2} \\\end{align}$

Відтак, наклавши умову x₂ = x₁, отримаємо рівняння, що визначає можливі моменти зустрічі байкерів:

${{x}_{20}}+\frac{{{a}_{2}}{{t}^{2}}}{2}$ =${{v}_{1}}t$ $\Rightarrow $ ${{a}_{2}}{{t}^{2}}-2{{v}_{1}}t+2{{x}_{20}}=0$

(1)

Із виразу коренів цього рівняння

$ t=\frac{{{v}_{1}}\pm \sqrt{v_{1}^{2}-2{{a}_{2}}{{x}_{20}}}}{{{a}_{2}}}$

випливає, що на загал є три можливості:

1) $v_{1}^{2}<2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ корені не існують, тобто байкери взагалі не зустрінуться;

2) $v_{1}^{2}=2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ – байкери зустрінуться в момент t₀ = v₁/a₂;

3) $v_{1}^{2}>2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ – відбудеться дві зустрічі.

Сказане ілюструє рис. 23, на якому зображено графік x₂(t), що являє гілку параболи з вершиною на осі ординат і три промені – графіки x₁(t) для випадків 1), 2) і 3), починаючи з нижнього.

Проаналізуємо за графіками рух байкерів у кожному з наведених випадків, узявши до уваги, що відстань між байкерами визначається різницею ординат х, а швидкість руху – нахилом графіків до осі абсцис t (див. п. 1.4). Тож, як видно, в кожному випадку перший байкер спочатку наздоганяє другого, а від моменту, коли їхні швидкості порівнюються, – відстає. При цьому:

– за малої швидкості v₁ (випадок 1) перший байкер починає відставати, ще не діставшись точки старту другого, тож ніколи його не наздожене;

– у випадку 2 перший байкер у момент t₀ і в точці х₀ наздоганяє другого, але відразу починає відставати;

– при великій швидкості (випадок 3) перший байкер у момент t₁ (перша зустріч) має більшу швидкість і починає випереджати другого. Але потім другий, поступово нарощуючи швидкість, у момент t₂ (друга зустріч) наздоганяє й уже назавжди випереджає першого.

2а. При заданих значеннях v₁ = 8 м/с, x₂₀ = 14 м і a₂ = 1 м/с² виконується умова 3), і корені рівняння (1) становлять t₁ = 2 c, t₂ = 14 c. Отже, байкери зустрічаються двічі – через 2 с та 14 с після старту другого і, згідно із заданими в умові рівняннями, на відстані L₁ = 16 м і L₂ = 112 м від початку координат.

2б. Пройдений кожним байкером шлях дорівнює зміні його координати. Тож, поклавши в заданих умовою задачі рівняннях х₁= х₂= S і t = τ , отримаємо:

$\left\{ \begin{align} & S=8\tau \\ & S=0,5{{\tau }^{2}} \\\end{align} \right.\quad \Rightarrow \quad \tau =16\text{ c;}\quad S=128\text{ }\text{м.}$

Задача 1.23

Задача 1.24

Два тіла з однакової висоті над землею кинуто горизонтально у протилежних напрямах зі швидкостями $ {v}_{01}={4} $ м/с і $ {v}_{02}={9}$ м/с.

Визначити,

через який час t вектори швидкостей тіл стануть взаємно перпендикулярними.

Дано:

v₀₁ = 4 м/c

v₀₂ = 9 м/c

g = 10 м/с²

t - ?

Розв'язання

Умова задачі містить інформацію про початкові та кінцеві швидкості двох тіл, які одночасно починають рух із однаковим прискоренням $ \vec{g}$. Тож шуканий час можна знайти за допомогою рівнянь (1.14):

$ \vec{v}_{1}(t)=\vec{v}_{01}+\vec{g}{t}$,

$ \vec{v}_{2}(t)=\vec{v}_{02}+\vec{g}{t}$

одним із двох способів.

І спосіб. Згадаємо, що скалярний добуток векторів $ \vec{b}$ і $ \vec{c}$ визначається як $ \vec{b}\cdot\vec{c}=b{c}\cos\alpha $, де $ \alpha $ – кут між векторами. Для взаємно перпендикулярних векторів він дорівнює нулю, отже:

$ \vec{v}_{1}(t)\vec{v}_{2}(t)=\left(\vec{v}_{01}+\vec{g}t\right)\left(\vec{v}_{02}+\vec{g}t\right){=}$

$ {=}\vec{v}_{01}\vec{v}_{02}+\vec{v}_{01}\vec{g}t+\vec{v}_{02}\vec{g}t+\vec{g}t\vec{g}{t}={0}$.

За умовою задачі кут між векторами $ \vec{v}_{01}$ та $ \vec{v}_{02}$ дорівнює $ {\pi}$. Отже,

$ \vec{v}_{01}\vec{v}_{02}=-v_{01}{v}_{02}$.

При цьому кути між векторами $ \vec{v}_{01}$ і $ \vec{g}$ та $ \vec{v}_{02}$ і $ \vec{g}$ дорівнюють $ \pi{/2}$, тому$ \vec{v}_{01}\vec{g}=\vec{v}_{02}\vec{g}={0}$.

Крім того, скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля: $ \vec{g}\cdot\vec{g}=g^{2}$. Таким чином,

$ \vec{v}_{1}\vec{v}_{2}=-v_{01}{v}_{02}+g^{2}t^{2}={0}$,

$ {t}=\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}={0,6}$ c.

ІІ спосіб. Оскільки вектори $ \vec{v}_{01},\,\vec{v}_{02}$ (див. рис. 23) є перпендикулярні до вектора $ \vec{g}$, то для швидкостей тіл у будь-який момент часу (див. рис. 23) можна записати:

$ {v}_{1}^{2}=v_{01}^{2}+(gt)^{2}$, $ {v}_{2}^{2}=v_{02}^{2}+(gt)^{2}$.

(1)

З іншого боку, позаяк за умовою вектори $ \vec{v}_{1}$ і $ \vec{v}_{2} $ (рис. 23б) є взаємно перпендикулярні, то

$ {v}_{1}^{2}+v_{2}^{2}=(v_{01}+v_{02})^{2}$.

Підставивши сюди вирази (1), дістанемо:

$ {v}_{01}^{2}+2(gt)^{2}+v_{02}^{2}=v_{01}^{2}+2v_{01}v_{01}+v_{02}^{2}$ $ \Rightarrow $

$ {gt}=\sqrt{v_{01}v_{02}}$ $ \Rightarrow $ $ {t}=\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}={0,6}$ c.

Задача 1.24

Задача 1.25

З однієї точки одночасно і з однаковою швидкістю $ {v}$ = 20 м/с кидають вгору два тіла: одне вертикально, а інше – під кутом $ \alpha=50^{\circ}$ до горизонту.

Визначити

відстань L між тілами через час t = 0,5 c після початку руху.

Дано:

v = 20 м/с

α = 50°

t = 0,5 с

L - ?

Розв'язання

Залежно від вибору системи відліку, задачу можна розв'язати двома способами.

І спосіб. Оберемо координатну систему XOY з початком у точці кидання (рис. 24), в якій початкові координати обох тіл дорівнюють нулю, а проєкції початкових швидкостей $ {v}_{1x}={0}$, $ {v}_{1y}={v}$ і $ {v}_{2x}=v\cos\alpha$, $ {v}_{2y}=v\sin\alpha $. Координати тіл на момент часу t визначаються рівняннями (1.16а):

$ {x}_{1}={0}$, $ {x}_{2}=vt\cos\alpha $;

$ {y}_{1}=vt-\frac{gt^{2}}{2}$, $ {y}_{2}=vt\sin\alpha-\frac{gt^{2}}{2}$.

(1)

Відстань між двома точками через їхні координати виражається формулою:

$ {L}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

Тож, підставивши сюди вирази (1) для координат, після простих перетворень отримаємо:

$L=vt\sqrt{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\left( \sin \alpha -1 \right)}^{2}}}=vt\sqrt{2\left( 1-\sin \alpha \right)}$

Обчислення дають

L = 6,84 м.

ІІ спосіб. Пов'яжемо з першим тілом рухому систему відліку, швидкість V якої відносно нерухомої (земна поверхня) складає $ \vec{V}$ = $ \vec{v}_{1}$. Тоді швидкість другого тіла відносно першого (швидкість в рухомій системі відліку) визначається формулою (1.11а):

$ \vec{u}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}=(\vec{v}_{02}+\vec{g}t)-(\vec{v}_{01}+\vec{g}t)=\vec{v}_{02}-\vec{v}_{01}=\mathrm{const}$.

Отже, позаяк прискорення тіл однакові, їхній відносний рух є рівномірним прямолінійним, і відстань між ними змінюється з часом, як

$ {L}=ut=\left|\vec{v}_{02}-\vec{v}_{01}\right|{t}$.

Величину $u=\left| {{{\vec{v}}}_{02}}-{{{\vec{v}}}_{01}} \right|$ знайдемо за теоремою косинусів (див. рис. 24):

$ {u}=\sqrt{v^{2}+v^{2}-2vv\cos^{2}\beta}$ = v$\sqrt{2\left( 1-\cos \beta \right)}$ = $ {L}=vt\sqrt{2(1-\sin\alpha)}$.