ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Розділ І. КІНЕМАТИКА

1.3. Рух з постійним прискоренням

Усі миттєві характеристики руху точки можна обчислити, якщо відомий закон руху, тобто, залежність її радіуса-вектора від часу $\vec{r}\left( t \right)$. Ця залежність визначається змінами прискорення і може виявитися складною. Але при русі з постійним прискоренням $ \vec{a}=\mathrm{const} $, закон руху спрощується і має вигляд:

$\vec{r}\left( t \right)={{\vec{r}}_{0}}+{{\vec{v}}_{0}}t+\frac{\vec{a}{{t}^{2}}}{2}$,

(1.12)

де $ \vec{r}_{0}=\vec{r}(0) $, $ \vec{v}_{0}=\vec{v}(0) $ – радіус-вектор та вектор швидкості в початковий момент часу (t = 0), відповідно.

Із рівняння (1.12) можна знайти будь-яку величину, що визначає рух (див. п.1.1), тож воно містить всю інформацію про рух точки із сталим прискоренням. Але задля зручності для загальної характеристики рівнозмінного руху записують два окремі рівняння – рівняння переміщення та рівнянням швидкості. Вони безпосередньо випливають з рівняння (1.12) і формул (1.1), (1.4) і мають вигляд:

$ \Delta\vec{r}=\vec{v}_{0}t+\frac{\vec{a}t^{2}}{2}$,

(1.13)

$ \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}t $.

(1.14)

Слід наголосити на тому, що наведені рівняння є однаково чинні як для прямолінійних, так і для криволінійних рухів. При цьому, яким буде рух, залежить від напрямків початкової швидкості та прискорення: якщо ці вектори напрямлені вздовж однієї прямої, приміром, як для тіла, кинутого вертикально, то воно тіло рухається по прямій. Якщо ж зазначені вектори не колінеарні, траєкторія тіла є криволінійною.

Рівняння (1.12) або (1.13) і (1.14) включають як окремий випадок і кінематику рівномірного прямолінійного руху. При такому русі $ \vec{a}=0 $ і $\vec{v}=\mathrm{const} $, тому

$ \vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{v}t $

(1.15)

У задачах для обчислень використовуються скалярні рівняння руху, тобто рівняння для проєкцій векторів на координатні осі:

$ {x}=x_{0}+v_{0x}t+\frac{a_{x}t^2}{2}$	$ {y}=y_{0}+v_{0y}t+\frac{a_{y}t^{2}}{2}$	(1.16)
$ {v}_{x}=v_{0x}+a_{x}t $	$ {v}_{y}=v_{0y}+a_{y}t $
$ {a}_{x}=\mathrm{const} $	$ {a}_{y}=\mathrm{const} $

(Примітка. Вісь ОZ в рівняннях не фігурує, бо при вивченні теорії та для вправ достатньо розглядати лише рухи, що відбуваються по плоских траєкторіях).

При прямолінійному русі достатніми є рівняння лише для спрямованої вздовж напрямку руху координатної осі ОХ. У такому разі зазвичай немає потреби оперувати проєкціями векторів. До прикладу, при риямолінійному русі тіла зі сталим прискорення а без початкової швидкості з рівнянь (1.16) виходять наступні прості фрмули для пройденого за час t шляху S та кінцевої швидкості v:

$S=\frac{a{{t}^{2}}}{2},\quad \quad v=at$

(1.17)

У багатьох задачах зручно користуватись формулами, що випливають з рівнянь (1.16) і прямо пов'язують між собою переміщення, швидкість і прискорення:

	$ {v}_{x}^{2}-v_{0x}^{2}=2a_{x}(x-x_{0}) $,	(1.18)
	$ {v}_{y}^{2}-v_{0y}^{2}=2a_{y}(y-y_{0}) $.	(1.18)

У випадку прямолінійного руху аналогічна формула пов'язує модулі векторів і пройдений тілом шлях:

$\left| {{v}^{2}}-v_{0}^{2} \right|=2aS$.

(1.19)

Зокрема, при русі без початкової швидкості,

$v=\sqrt{2aS}$

(1.19а)

\( {x}=x_{0}+v_{0x}t+\frac{a_{x}t^2}{2}\)	\( {y}=y_{0}+v_{0y}t+\frac{a_{y}t^{2}}{2}\)	(1.16)
\( {v}_{x}=v_{0x}+a_{x}t \)	\( {v}_{y}=v_{0y}+a_{y}t \)
\( {a}_{x}=\mathrm{const} \)	\( {a}_{y}=\mathrm{const} \)

	\( {v}_{x}^{2}-v_{0x}^{2}=2a_{x}(x-x_{0}) \),	(1.18)
	\( {v}_{y}^{2}-v_{0y}^{2}=2a_{y}(y-y_{0}) \).	(1.18)