ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

7. СПЕЦІАЛЬНАЯ ТЕОРІЯ ВІДНОСНОСТІ. КІНЕМАТИКА

7.3. Перетворення Лоренца

Відносність простору та часу означає, що перетворення Галілея (1.30), (1.31), (1.32), які відображають концепцію абсолютного простору й абсолютного часу, принципово є помилковими. Треба мати перетворення координат і часу, які задовольняють і постулати Ейнштейна. Їх можна знайти різними способами, наприклад, так.

Розглянемо дві “стандартні” інерціальні системи відліку K і K′, осі X та X′ яких співпадають, а осі Y, Y′ і Z, Z′ мають однакові напрямки (рис. 8.5). За початок відліку часу в обох системах приймаємо момент, коли початки координат O і O′ й відповідні координатні осі обох систем збігаються. Нехай в К-системі в якійсь точці А з координатами (x, y, z) в момент часу t відбулася певна подія, наприклад, спалахнула лампочка. Постає питання, які координати (x′, y′, z′) має ця точка і в який момент часу t′ відбувається ця подія для спостерігача K′-системи відліку, що рухається відносно К із швидкістю \(\vec{V}\). Вище було показано, що при малих швидкостях перетворення Галілея (1.32) і (1.32а) є практично точними. Це дає підстави шукати нові перетворення координат x, x′ у вигляді (дві інші координати в обох системах однакові):

	\({x=\gamma(x'+Vt')}\),	(8.10)
	\({x=\gamma(x'-Vt')}\),	(8.10а)

де γ – функціональний множник, що підлягяє визначенню і має наближатися до одиниці при зменшенні швидкості V. В обох співвідношеннях фігурує одна й та сама величина γ, тим самим вони задовольняють принципу відносності (І постулат СТВ), адже обидві системи відліку є повністю рівноправними й відрізняються тільки напрямком відносного руху (знаком проекції \(\vec{V}\)). Через відносність часу перетворення (t, t′) теж не можуть бути тривіальними, оскільки при t = t´ з перетворень (8.10) і (8.10а) виходить γ = 1, і вони переходять у перетворення Галілея. Загальний вигляд перетворень часу можна встановити, якщо підставити в (8.10а) замість координати х її вираз (8.10) і розв’язати отримане рівняння відносно t:

\({x'}=\gamma(\gamma(x'+Vt')-Vt)\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,t=\gamma{t}'-\frac{(1-\gamma^2)x'}{V}\)

(8.11)

З урахуванням принципу відносності, зворотне перетворення має вигляд:

\({t'}=\gamma{t}+\frac{(1-\gamma^2)x}{V}\).

(8.11а)

У цьому можна переконатися, визначивши t′ безпосередньо з (8.11).

Шукані перетворення мають задовольняти ще й умову сталості швидкості світла с (ІІ постулат СТВ). Аби накласти цю умови розглянемо ще один позірний експеримент. Нехай в момент часу t = t’ = 0, коли точки O і O′ збігалися, спалахнула лампочка, закріплена в початку координат якоїсь із даних двох систем відліку. Оскільки швидкість світла в обох системах дорівнює с, поширення світлового сигналу вздовж осей X, X′ описується рівнянням x = ct, і x′ = ct′. Підставивши ці вирази в (8.10) і (8.10а), отримаємо: ct = γ(c + V)t′ i ct′ = γ(c - V)t. Нарешті, перемноживши ліві та праві частини цих виразів, знайдемо, що

\(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}\), або \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\), де \(\beta={V/c}\).

(8.12)

Підставляючи знайдену величину γ у (8.10), (8.10а) і (8.11), (8.11а) та враховуючи збіг поперечних координат, дістанемо перетворення координат і часу при переході від інерціальної K′-системи відліку до інерціальної К-системи відліку, які задовольняють постулати СТВ і називаються перетвореннями Лоренца:

	\({x}=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\beta^2}},\,\,\,\,\,\,\,y=y',\,\,\,\,\,\,\,z=z' \);
	\({t}=\frac{t'+x'V/c^2}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{t'+x'V/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\).	(8.13)

Зворотні перетворення мають вигляд:

\({x'}=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\beta^2}},\,\,\,\,\,\,\,y'=y,\,\,\,\,\,\,\,\,z'=z \);

\({t'}=\frac{t-xV/c^2}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{t-xV/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\).

(8.13а)

Одразу зауважимо таке. При малих швидкостях β << 1, перетворення Лоренца “автоматично” переходять у перетворення Галілея і вступають у силу закони класичної механіки. А при β ≥ 1, (V ≥ c) перетворення Лоренца втрачають фізичний зміст.