ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. ЕЛЕМЕНТИ ОПТИКИ

При проходженні світлової хвилі крізь межу поділу прозорих середовищ її енергія розподіляється між відбитою та заломленою хвилями. Тому поверхня поділу двох різних середовищ характеризується відповідними коефіцієнтами відбивання та пропускання (прозорістю).

Указані коефіцієнти можна визначити теоретично із законів електродинаміки за допомогою умов на межі (див. Лекція 3.4, п. 4.4). Ці умови встановлюють зв'язок між векторами електричного \(\vec{E}_{1},\,\vec{E}_{2}\) і магнітного \(\vec{H}_{1},\,\vec{H}_2\) полів на межі поділу двох ізотропних речовин і мають вигляд:

де індекси \(n\) і \(\tau\) відносять, відповідно, до нормальних та тангенціальних (дотичних до межі поділу) проекцій векторів; \(\varepsilon\) і \(\mu\) – діелектричні та магнітні проникності середовищ. Ці співвідношення показують, що на межі поділу змінюються тільки нормальні складові векторів, тож і їхні напрямки. При переході з одного середовища в інше змінюється і напрям поширення хвилі, тобто відбувається її заломлення.

З умов (1.18) можна визначити відносні інтенсивності та потоки енергії відбитої та заломленої хвиль, відтак і коефіцієнти відбивання та пропускання світла на поверхні поділу середовищ при будь-яких кутах падіння променів. Але обмежимося тільки випадком, коли паралельний пучок промені (плоска хвиля) падає на межі поділу по нормалі. Позаяк світлова хвиля є поперечною, то в цьому випадку нормальні складові полів відсутні і модулі тангенціальних проєкцій дорівнюють модулям самих векторів. Тоді умова (1.18) набуде вигляду:

\(E_{1}=E_2\),    \(H_1=H_2\),

де задля зручності опущені індекси тангенціальних проекцій.

Розглянемо ці умови детальніше. Електромагнітне поле в першому середовищі є суперпозицією полів падаючої (\(\vec{E},\,\vec{H}\)) і відбитої (\(\vec{E}^{\prime},\,\vec{H}^{\prime}\)) хвиль:

а в другому – то є поле заломленої хвилі (\(\vec{E}^{\prime\prime}\),  \(\vec{H}^{\prime\prime}\)):

При записі умов (1.18а), (1.18б) у скалярному вигляді треба врахувати, що в електромагнітній хвилі напрямки векторів жорстко узгоджені між собою. В саме, в послідовності \(\vec{E},\vec{H},\vec{k}\)  та при циклічних перестановках ці вектори завжди утворюють праву трійку, тобто при повороті правого гвинта від першого вектора до другого гвинт буде вкручуватися в напрямку третього вектора. Тому зміна напрямку поширення хвилі (напрямку вектора \(\vec{k}\)) при відбиванні автоматично тягне за собою відповідні зміну напрямку одного з векторів полів.

Справді, уявімо, що при відбиванні світловий вектор \(\vec{E}^{\prime}\) не змінив напрям як показано на рис. 1.4а. Тоді вектор \(\vec{H}^{\prime}\) обов’язково змінить напрям на протилежний. Це означає зміну фази коливань магнітного поля в точці відбивання на протилежну. Так само, якщо не змінюється напрям магнітного вектора, то обов’язково «перекидається» електричний вектор (рис. 1.4б). Тому, якщо прийняти для визначеності ситуацію рис. 1.6б, то умови (1.18а) в скалярному вигляді запишуться як

Урахувавши, що в прозорих для світла речовинах \(\mu=1\) і \(\sqrt{\varepsilon}=n\), і перейшовши від магнітного поля до електричного на основі співвідношення (1.7), отримаємо систему рівнянь:

з якої можна визначити тангенціальні складові світлового вектора відбитої та заломленої хвиль: 

Таким чином, напруженість електричного та магнітного полів у відбитій та заломленій хвилях визначаються тільки їхніми показниками заломлення (при косому падінні променів вони залежать ще й від кута падіння). Зокрема, для речовин з близькими показниками заломлення \(E^{\prime}\approx{0}\), \(E^{\prime\prime}\approx{E}\) і межа поділу є практично невидимою. З формул (1.19) також випливає, що знаки \(E^{\prime\prime}\) і E завжди збігаються. Відповідно, в падаючій заломленій хвилях у точці падіння напрямки полів \(\vec{E}^{\prime\prime}\),  \(\vec{E}\), і фази коливань однакові. Що ж до відбитої хвилі, то напрям поля \(\vec{E}^{\prime}\) залежить від співвідношення показників заломлення: при n₁ > n₂ він збігається з напрямком \(\vec{E}\), а при n₁ < n₂ – є протилежним. Отже:

При поширенні хвилі фаза змінюється на \(\pi\) на шляху \(\lambda/2\). Тому описане «перекидання» фази називають втратою півхвилі на межі поділу двох середовищ. Цей ефект істотно впливає на формування поля світлової хвилі в зоні відбивання і має враховуватися у відповідних задачах оптики.

Вирази (1.19) дозволяють визначити розподіл енергії  у відбитій та заломленій хвилях. Цей розподіл визначається коефіцієнтами відбивання \(\rho\) та пропускання r («прозорістю»), які дорівнюють відношенню потоків енергії у відбитій \(\Phi^{\prime}\) та заломленій \(\Phi^{\prime\prime}\) хвилях до потоку енергії \(\Phi\) у падаючій хвилі:

\(\rho=\frac{\Phi^{\prime}}{\Phi}\),     \(r=\frac{\Phi^{\prime\prime}}{\Phi}\).

У паралельному пучку променів з площею поперечного перерізу S потік енергії \(\Phi=IS\), де I – інтенсивність світла. При нормальному падінні площі поперечного перерізу падаючого, відбитого та заломленого променів однакова, тому

\(\rho=\frac{I^{\prime}}{I}\),    \(r=\frac{I^{\prime\prime}}{I}\).

Відтак, урахувавши вирази (1.16) та (1.19), отримаємо

Ці формули дають \(\rho+r=1\), як того й вимагає закон збереження енергії.

Показники  заломлення більшості прозорих речовин \(n\le{2}\), тому величина \(\rho\) є малою, а r – близькою до одиниці. Приміром, при падінні світла з повітря (n₁ = 1) на поверхню води (n₂ = 1,33) або скла (n₂ = 1,5) величина \(\rho\), згідно з (1.20), складає 2 % та 4 %. Проте в оптичних приладах, наприклад, складних об’єктивах, де багато світлові пучки на своєму шляху стрічають багато поверхонь поділу, сумарні втрати на відбивання можуть скласти значну частину падаючої світлової енергії. Тому в оптичному приладобудуванні використовують спеціальні технології для зменшення таких утрат.