ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "ЕЛЕКТРИКА І МАГНЕТИЗМ". Компенсаційний курс

Розділ І. Електричне поле

1.4. Зв’язок між напруженістю та потенціалом

Між напруженістю $\vec{E}$ та потенціалом φ існує тісний зв’язок, який можна з'ясувати на прикладі роботи однорідного електричного поля $\vec{E}$ = const на переміщенні $\Delta \vec{r}$ якогось заряду q між заданими точками 1 і 2 (рис. 1.8).

Ця робота через напруженість визначається як A = F·Δr·cosα = qE(x₂ – x₁) і як Α = q(φ₁ − φ₂) – через потенціал. Отже,

${{E}}=-\frac{{{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$,

(1.19)

або лаконічніше

$E=\frac{U}{d}$,

(1.20)

де E — модуль напруженості, U = φ₁ − φ₂ — спад напруги між точками 1 і 2, d = x₂ – x₁ — відстань між ними, відрахована в напрямку поля.

Аби сформулювати загальний зміст отриманого результату, зважимо на таке:

1. Вираз (1.19) є чинним при будь-якому взаємному розташуванні точок 1 і 2. При цьому коли кут α гострий (як на рис. 1.8), то φ₁> φ₂, а коли тупий – навпаки, φ₂> φ₁. Це означає, що в напрямку поля потенціал завжди зменшується.

2. При переміщенні заряду з т. 2 вздовж відрізка 2-2′ кут α = 90°, тож А = 0 і φ₂ = φ₂′. Це стосується й усіх інших точок площини, що проходить через т.2 перпендикулярно до напрямку поля.

3. Величина d = Δr·|cosα| є найменшою можливою відстанню між точками із заданою різницею потенціалів. Отже, вздовж напрямку поля швидкість зміни потенціалу Δφ/Δx є найбільшою.

Таким чином,

вектор напруженості електричного поля є скрізь напрямлений в бік найшвидшого зменшення потенціалу й по модулю дорівнює цій швидкості

Слід зауважити, що це співвідношення встановлено тут для однорідного поля ($\vec{E}$ = const ), тож у випадку неоднорідного поля ($\vec{E}$ ≠ const) вираз (1.20) є непридатним для обчислень. Але, попри це, він якісно правильно відображає властивості поля й у загальному випадку. Зокрема те, що

про присутність електричного поля в заданій точці свідчить не наявність у ній певного потенціалу $\varphi$, а лише його зміна $\Delta\varphi$ ≠ 0 при переміщенні в сусідні точки.

До прикладу, коли $\varphi\ne{0}$, але $\Delta\varphi=0$, то електричне поле відсутнє ($\vec{E}=0$). І навпаки, якщо в певній області простору із зарядженими тілами напруженість поля $\vec{E}=0$, то це означає не нульову величину потенціалу, а лише його сталість (φ = const) у цій області.

Із співвідношення (1.20) також випливає, що

на межі двох середовищ не можливі стрибки потенціалу,

бо це означало би необмежено велику напруженість поля.

Задля наочності електричне поле часто "зображують" на рисунку у вигляді сукупностей силових ліній та еквіпотенціальних поверхонь.

Силовою лінією (інакше – лінією поля) називається лінія, дотична до якої в кожній точці збігається з напрямом вектора напруженості поля в цій точці.

Еквіпотенціальною поверхнею (або поверхнею рівного потенціалу) називається поверхня, у всіх точках якої потенціал поля має однакове значення.

При будь-якому переміщенні еквіпотенціальною поверхнею у виразі (1.13) $\cos\alpha=0$ і $\alpha=90^{\circ}$. Це означає, що

силові лінії та еквіпотенціальні поверхні є взаємно ортогональні, тобто вектор $\vec{E}$ у кожній точці поля спрямовано по нормалі до еквіпотенціальної поверхні, що проходить через цю точку.

До прикладу, для поля точкового заряду (рис. 1.9 а, б) силові лінії є радіальними променями, а еквіпотенціальні поверхні – концентричними сферами (на рисунку – колами). Для однорідного поля силові лінії є паралельними рівновіддаленими променями, а еквіпотенціальні поверхні – перпендикулярними до них рівновіддаленими площинами (рис.1.9в). У зв'язку з цим зауважимо, що величина d у виразі (1.20) – то є відстань між двома заданими еквіпотенціальними поверхнями однорідного електричного поля.