ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс
Розділ 21. Атомне ядро
Закон радіоактивного розпаду
|
При розв'язуванні задач на закон радіоактивного розпаду необхідно бути уважним в операціях зі степенями: множення - ділення і логарифмування - потенціювання. |
Задача 21.8. В урановій руді відношення кількості ядер \({}^{238}\mathrm{U}\) до кількості ядер \({}^{206}\mathrm{Pb}\) складає \(\eta=2,8\). Оцінити вік \(\tau\) уранової руди. Період піврозпаду \({}^{238}\mathrm{U}\) \(T_{1/2}=4,5\cdot{10}^{9}\) років. Вважати, що весь Плюмбум \({}^{206}\mathrm{Pb}\) є кінцевим продуктом розпаду урану.
Задача 21.9. У калориметр вмістили \(\beta-\)радіоактивний препарат \({}^{24}\mathrm{Na}\) масою m = 1 мг. Період піврозпаду препарату T = 15 годин. Оцінити кількість тепла Q, що виділяється в калориметрі за добу. Вважати, що всі частинки мають кінетичну енергію, рівну \(\eta=1/3\) максимально можливої в цій реакції.
Задача 21.8
В урановій руді відношення кількості ядер \({}^{238}\mathrm{U}\) до кількості ядер \({}^{206}\mathrm{Pb}\) складає \(\eta=2,8\).
Оцінити
вік \(\tau\) уранової руди.
Період піврозпаду \({}^{238}\mathrm{U}\) \(T_{1/2}=4,5\cdot{10}^{9}\) років. Вважати, що весь Плюмбум \({}^{206}\mathrm{Pb}\) є кінцевим продуктом розпаду урану.
|
Дано: η = 2,8
T1/2 = 4,5·109 років
|
|
\(\tau\) - ?
|
Розв’язання
Число радіоактивних ядер, що не розпалися на момент часу \(\tau\), визначається законом радіоактивного розпаду (21.11):
NU = \(N_{0}e^{-\lambda\tau}\)
де N0 – число вихідних ядер, \(\lambda\) – стала розпаду.
Із співвідношень (21.12) і (21.14) випливає, що
\(\lambda=\frac{\ln{2}}{T}\).
Тоді можна записати:
|
\(N_{U}=N_{0}e^{-\frac{\tau\ln{2}}{T}}=N_{0}\cdot{2}^{-\frac{\tau}{T}}\). |
(1) |
Число ядер, що розпалися, яке дорівнює числу ядер свинцю Pb, що утворилися:
|
NPb = \(N_{0}-N=N_{0}(1-2^{-\frac{\tau}{T}})\). |
(2) |
Розділивши вирази (1) на (2), одержимо:
|
\(\eta=\frac{N_{\mathrm{U}}}{ N_{\mathrm{Pb}}}=\frac{1}{2^{-\frac{\tau}{T}}-1}\) \(\Rightarrow\) \(2^{\frac{\tau}{T}}=\frac{\eta+1}{\eta}\). |
|
Із цього виразу після логарифмування отримуємо
\(\tau=T\cdot{}\frac{\ln\frac{\eta+1}{\eta}}{\ln{2}}\approx2\cdot{10}^{9}\) років.
Задача 21.9
У калориметр вмістили \(\beta-\)радіоактивний препарат \({}^{24}\mathrm{Na}\) масою m = 1 мг. Період піврозпаду препарату T = 15 годин
Оцінити
кількість тепла Q, що виділяється в калориметрі за добу. Вважати, що всі частинки мають кінетичну енергію, рівну \(\eta=1/3\) максимально можливої в цій реакції.
Енергія зв'язку: ядра \({}^{24}\mathrm{Na}\) E1 = 193,5 МеВ ядра \({}^{24}\mathrm{Mg}\) E2 = 198,3 МеВ.
|
Дано: m = 1 мг = 10-6 кг
T = 15 годин
η = 1/3
E1 = 193,5 МеВ
E2 = 198,3 МеВ
|
|
Q - ?
|
Розв’язання
Згідно з виразом (21.10) реакція \(\beta-\)розпаду \({}^{24}\mathrm{Na}\) має вигляд
\({}_{11}^{24}\mathrm{Na}\to{}_{12}^{24}\mathrm{Mg}+{}_{-1}^{0}e\).
Енергетичний вихід реакції Q1 через енергії зв'язку визначається формулою (21.18):
\(Q_{1}=E_{2}-E_{1}=4,8\) MeВ.
В реакції \(\beta-\)розпаду крім електрона \({}_{-1}^{0}e\) утворюється ще одна елементарна частинка – антинейтрино, яка не показана в схемі реакції (21.10). Антинейтрино відносить енергію, що може мати величину від 0 і аж до \(Q_{1}\). Тому \(Q_{1}\) є максимально можливою енергією електрона, а її середнє значення набагато менше і, згідно з умовою, становить
\(Q^{\prime}=Q/3=1,6\) МеВ = \(2,56\cdot{10}^{-13}\) Дж.
Кінетичну енергію ядра \({}^{24}\mathrm{Mg}\) можна не брати до уваги. Справді, згідно з законом збереження імпульсу, імпульси ядра \({}^{24}\mathrm{Mg}\) та електрона за величиною однакові. Тому відношення їх кінетичних енергій (формула (4.3б)
\(T_{я}/T_{e}=m_{e}/m_{я}=0,00055/24=2\cdot{10}^{-5}\).
Загальна енергія, що виділяється в калориметрі, дорівнює енергії \(Q^{\prime}\), помноженій на кількість ядер \(N^{\prime}\), що розпалися:
|
\(Q=Q^{\prime}N^{\prime}\). |
(1) |
Відповідно до закону розпаду (21.15) число ядер, що розпалися \(N^{\prime}=N-N_{0}\), визначається виразом:
|
\(N^{\prime}=N_{0}\left(1-e^{-\lambda\tau}\right)=N_{0}\left(1-2^{-\frac{\tau}{T}}\right)\). |
(2) |
Кількість ядер \({}^{24}\mathrm{Na}\) у початковий момент \(N_{0}\) знаходимо згідно з основними положеннями молекулярно-кінетичної теорії (формули (7.3) і (7.6)):
|
\(N_{0}\frac{m}{M}N_{A}\), |
(3) |
де \(M=24\cdot{10}^{-3}\) кг/моль – молярна маса ізотопу \({}^{24}\mathrm{Na}\), \(N_{A}=6,02\cdot{10}^{23}\) 1/моль – стала Авогадро.
Підставивши значення (3) у вираз (2), а його – у формулу (1), дістанемо:
\(Q=Q^{\prime}N^{\prime}=Q^{\prime}\frac{m}{M}N_{A}\left(1-2^{-\frac{\tau}{T}}\right)\) =
=\(2,56\cdot{10}^{-13}\cdot\frac{10^{-6}}{24\cdot{10}^{-3}}\cdot{6,02}\cdot{10}^{23}\left(1-2^{-\frac{24}{15}}\right)=4,3\cdot{10}^{6}\) Дж \(\approx{4,3}\) МДж.