ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

Розділ 21. Атомне ядро

Склад ядра; енергія зв'язку

При розв'язуванні задач на склад ядра кількість протонів  визначається з періодичної таблиці елементів (таблиці Д.І. Менделєєва) за порядковим номером елемента.

Якщо в умові задачі на обчислення енергії зв'язку ядра не вказані точні значення мас необхідних частинок і нуклідів, їх беруть з довідкових таблиць.

Увага! У таких розрахунках неприпустиме округлення вихідних даних. Необхідно використовувати всі значущі цифри, зазначені в довідкових даних.

Необхідно також звертати увагу на те, що саме подано в довідковій таблиці: маси ядер чи маси нейтральних атомів. У першому випадку для розрахунку використовується формула (21.7), а в другому – (21.7a) або (21.7б).

Задача 21.1Визначити питому енергію зв'язку Eпит нуклонів в ядрах \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\), \({}_{27}^{58}\mathrm{Co}\), \({}_{92}^{235}\mathrm{U}\) за заданими масами протона, нейтрона та нейтральних атомів. 

Задача 21.2Визначити енергію зв'язку  ядра, яке має однакову кількість протонів і нейтронів, а його радіус у k = 1,5 разів менший, ніж у ядра \({}^{27}\mathrm{Al}\). Вважати середню густину ядерної речовини однаковою для всіх ядер.

 

Задача 21.1

Визначити

питому енергію зв'язку Eпит нуклонів в ядрах \({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\), \({}_{27}^{58}\mathrm{Co}\), \({}_{92}^{235}\mathrm{U}\) за заданими масами протона, нейтрона та нейтральних атомів:

mp = 1,00728 а.о.м.,

mn = 1,00867 а.о.м.,

mLi = 7,01601 а.о.м.,

  mCo = 57,93575 а.о.м.,

  mU = 235,04394 а.о.м.

 

Розв’язання

Питома енергія зв'язку нуклонів визначається співвідношенням (21.8):

\(E_{пит}=\frac{E_{зв}}{A}\),

де \(E_{зв}\) – енергія зв'язку ядра, A – число нуклонів в ядрі, рівне масовому числу ізотопа.

Маси задані в а.о.м. тому для енергії зв'язку \(E_{зв}\) зручно використати формулу (21.7б).

Згідно з заданими величинами обчислюємо:

\({}_{3}^{7}\mathrm{Li}\):   \(E_{зв}=\frac{3\cdot{1,00728}+4\cdot{1,00867}-7,01601}{7}\cdot{931,5}=5,36\) МеВ/нукл;

\({}_{27}^{58}\mathrm{Co}\):   \( E_{зв}=\frac{27\cdot{1,00728}+31\cdot{1,00867}-57,93575}{58}\cdot{931,5}=8,51\) МеВ/нукл;

\({}_{92}^{235}\mathrm{U}\):   \( E_{зв}=\frac{92\cdot{1,00728}+143\cdot{1,00867}-235,04394}{235}\cdot{931,5}=7,39\) МеВ/нукл;

 

Задача 21.2

Визначити

енергію зв'язку  ядра, яке має однакову кількість протонів і нейтронів, а його радіус у k = 1,5 разів менший, ніж у ядра \({}^{27}\mathrm{Al}\). Вважати середню густину ядерної речовини однаковою для всіх ядер.

Маси:

протона    mp = 1,00867 а.о.м.,

нейтрона    mn = 1,00728 а.о.м.,

ядра \({}^{27}\mathrm{Al}\)   mAl = 26,96661 а.о.м.

Дано:

k = 1,5
mAl = 26,96661 а.о.м. 
\(E_{зв}\) - ?

Розв’язання

З урахуванням рівності кількості протонів і нейтронів (Z = N AZ), формула (21.7 б) для енергії зв'язку ядра набуває вигляду:

\(E_{зв}=(N(m_{p}+m_{n})-m)\cdot{931,5}\),

(1)

де mp, mn, m – маса протона, нейтрона і ядра, виражена в а.о.м. 

Таким чином, розв'язування задачі зводиться до визначення m і N. Обидві величини знайдемо з умови незмінності середньої густини ядерної речовини \(\rho=m/V\) (V – об'єм ядра):

\(\frac{m}{V}=\frac{m_{Al}}{V_{Al}}\)    \(\Rightarrow\)    \(\frac{m}{m_{Al}}=\frac{V}{V_{Al}}\).

(2)

Будемо вважати ядра кулями, тоді \(V=\frac{4}{3}\pi{R}^{3}\) і \(V_{Al}=\frac{4}{3}\pi{(kR)^{3}}\). Врахувавши, що за умовою k = 3/2, із співвідношення (2) отримуємо:

\(m=\frac{8}{27}m_{Al}\).

(3)

Маса ядра приблизно дорівнює добутку маси одного нуклона mн на їх кількість у ядрі A. Тому m = 2Nmн, mAl = 27mн (27 – масове число для \({}^{27}\mathrm{Al}\)). Підставивши ці значення у вираз (2), знаходимо

\(2Nm_{н}=\frac{8}{27}27m_{н}\)    \(\Rightarrow\)    N = 4.

Знайдені значення N і  m (формула (3)) підставляємо у формулу (1) і остаточно одержуємо:

\(E_{зв}=\left(4(m_{p}+m_{n})-\frac{8}{27}m_{Al}\right)\cdot{931,5}\).

Виконаємо обчислення:

\(E_{зв}=\left(4(1,00728+1,00867)-\frac{8}{27}\cdot{26,96661}\right)\cdot{931,5}=68,6\) МеВ.