physics.zfftt.kpi.ua

Задача 3.12. Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм. Визначити  довжину нерозтягненого шнура l₀, якщо на момент відриву вантажу від підлоги довжина шнура склала l = 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.

Задача 3.13. Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом [\alpha=10^{\circ}\) за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм.  Визначити  максимальне можливе стартове прискорення a_m тягача при границі міцності каната \(\sigma\) = 80 МПа. Силами опору знехтувати.

Задача 3.14. Визначити  найбільшу висоту будинку h_m, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною \(\rho=2,5\) г/см³ і границею міцності [\sigma_{м}=5\) МПа.

Задача 3.15. Визначити, яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути гумовий джгут довжиною  l =1 м і перерізом 1 см², якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати. [500 Дж ].

Задача 3.16. Залізну дротину (модуль Юнга Е = 200 ГПа) діаметром d = 1 мм і довжиною l = 2 м горизонтально закріплено без слабини між двома стійками. Нехтуючи провисанням під власною вагою, визначити, на яку відстань h опуститься тягар маси m = 2 кг, підвішений до дроту посередині.

\(\left[ h\approx l\sqrt[3]{{mg}/{2\pi {{d}^{2}}E}\;} \right]\) = 11 см.

================

Задача 3.12

Тягар маси m = 5 кг починають підіймати з підлоги на гумовому шнурі діаметром d = 5 мм. 

Визначити  

довжину нерозтягненого шнура l₀, якщо на момент відриву тягаря від підлоги довжина шнура склала l= 1,5 м. Модуль Юнга гуми E = 3,74 МПа.

Розв’язання

Згідно із законом Гука (3.16)

де механічна напруга (3.15) в шнурі, що створюється вагою тягаря, визначається як

Тож урахувавши діаметр шнура, отримуємо відповідь:

\({l}_{0}=\frac{l}{1+(4mg/\pi{d^{2}}E)}\) = 0,9 м.

Задача 3.13

Тягач має буксирувати автомобіль маси m = 1 т вгору по дорозі з ухилом[\alpha=10^{\circ}\) за допомогою конопляного каната діаметром d = 7 мм.  

Визначити  

максимальне можливе стартове прискорення a_m тягача при границі міцності каната \(\sigma\) = 80 МПа. Силами опору знехтувати.

Розв’язання

Прискорення а автомобіля масою m визначається силою натягу каната F  та ''скочувальною'' складовою сили тяжіння mg·sinα (рис. 11):

Воно матиме максимальну величину a_m при найбільшому допустимому значенні F_m, котре визначається площею перерізу \({S}=\pi{d^{2}}/4\) та границею міцності \(\sigma_{м}\) каната:

${{F}_{\text{m}}}=\frac{\pi {{d}^{2}}{{\sigma }_{\text{m}}}}{4}$

Отже, згідно з виразом (1),

${{a}_{\text{m}}}=\frac{\pi {{d}^{2}}{{\sigma }_{\text{m}}}}{4m}-g\sin \alpha $ ≈ 1,4 м/с².

Задача 3.14

Визначити  

найбільшу висоту будинку h_m, який можна вибудувати із запасом міцності k = 3 з цегли густиною \(\rho=2,5\) г/см³ і границею міцності [\sigma_{м}=5\) МПа.

Розв’язання

Розглянемо якийсь фрагмент стіни будинку площею основи S (рис. 12). Механічна напруга в цеглі на заданому рівні визначається вагою частини стіни, що лежить вище. Тож  найбільшою вона є біля основи й при висоті будинку h складає

За умовою максимальна допустима напруга дорівнює (σ_м/k), тому найбільша можлива висота будинку складає

\({h}_{m}=\frac{\sigma_{м}}{k\rho{g}}\) = 68 м.

Задача 3.15. Визначити,

яку роботу треба виконати, аби вдвічі розтягнути  гумовий джгут довжиною  l = 1 м і перерізом S = 1 см², якщо його модуль пружності складає E = 10 МПа. Зміною об'єму джгута при розтяганні знехтувати.

Розв’язання

Із механіки відомо, для збільшення довжини пружного тіла довжини l на задану величну Δl, треба виконати роботу

де F – сила, що створює  вказаний розтяг і, відповідно до закону Гука (3.16) та виразу (3.15), дорівнює

$F=SE\frac{\Delta l}{l}$.

Відтак вираз (1) набуває вигляду:

$A=\frac{\sigma S{{l}^{2}}}{2\Delta l}$.

Звідси, врахувавши, що за умовою Δl = l, отримуємо відповідь:

$A=\frac{lSE}{2}$ = 500 Дж.

Задача 3.16.

Залізну дротину (модуль Юнга Е = 200 ГПа) діаметром d = 1 мм і довжиною L = 2 м горизонтально закріплено без слабини між двома стійками. Нехтуючи провисанням дроту під власною вагою,

визначити, на яку відстань h опуститься тягар маси m = 2 кг, підвішений до дротини посередині.

Розв’язання

На рис. 3.16, зробити  показано сили натягу половинок дротини $\vec{F},{\vec{F}}'$,  їхня початкова довжина l = (L/2) і видовження  Δl під дією ваги тягаря $m\vec{g}$ та шукане переміщення тягаря h. Тож 

При цьому, якщо просто підвісити тягар на половинці даної дротини, то за законом Гука (3.16) її відносне видовження складе приблизно 10^–4. Тож у виразі (1) величина Δl у дужках є неістотною, і для спрощення подальших викладок можна записати:

Отже, для визначення переміщення h лишається знайти зв'язок між величиною Δl і шуканим переміщенням тягаря h. Для цього помножимо й поділимо на l праву частину виразу (2) й скористаємося законом Гука (3.16). Тоді вийде:

Нарешті, врахувавши, що, як зрозуміло з рис. 3.16, сила натягу в дроті складає

$F=mg\frac{l}{h}$,

i його переріз дорівнює S = (πd²)/4, отримаємо відповідь задачі:

$h=L \sqrt[3]{\frac{mg}{\pi {{d}^{2}}E}}$ = 6,3 см

отримання відповіді