physics.zfftt.kpi.ua

У наведених прикладах по умовчанню прийнято, що всі гази є ідеальні, поршні  невагомі (якщо не вказано інше), тертя відсутнє й g = 10 м/с².

Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V₁ = 10 л до V₂ = 4 л. Визначити температуру газу t°С.

Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від температури t₁= 7°С до t₂= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см². Визначити: 1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра. 2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря. 

 Задача 1.30. Показати, як зміниться ізотерма (графік залежності P(V) при T = const), якщо: а) при незмінній масі m відомого газу підвищити його температуру T; б) при  незмінній температурі T відомого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.

Задача 1.31. Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому він спочатку (ділянка 1→2) нагрівається, а потім повертається до вихідної температури. За заданою залежністю тиску газу від температури якісно проаналізувати зміну об'єму газу з температурою V(T) і визначити відношення початкового та кінцевого об'ємів (V₁/V₃), якщо відповідне відношення тисків складає (P₁/P₃) = 2.

Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, у якому графік залежності P(V) має вигляд кола. Проаналізувати зміну температури газу в цьому процесі та позначити на графіку точки, що відповідають найнижчій T_min і найвищій T_max температурі газу..

Задача 1.33. Із незмінною кількістю газу проведено заданий цикл 1→2→3→ 4→1, в якому  на ділянках 2→3 і 4→1 температура не змінюється. Визначити об'єм газу V в станах 2 і 4, якщо об'єми V₁ і V₃ задано.

Задача 1.28. При ізотермічному стисканні ν = 1 моль газу на ΔP =300 кПа його об'єм змінюється від V₁ = 10 л до V₂ = 4 л.

Визначити

температуру газу t°С.

Розв'язання

Якщо позначити початковий тиск газу як P₁, а кінцевий – як P₂, то

P₂ = P₁ + ΔP.

Тож за законом Бойля-Маріотта (1.16б)

${{P}_{1}}{{V}_{1}}=\left( {{P}_{1}}+\Delta P \right){{V}_{2}}\quad \Rightarrow \quad {{P}_{1}}=\frac{{{V}_{2}}\Delta P}{{{V}_{1}}-{{V}_{2}}}$.

Відтак підставимо цей вираз у рівняння Клапейрона (1.13) і одержимо відповідь:

$T=\frac{\Delta P{{V}_{1}}{{V}_{2}}}{\nu R\left( {{V}_{1}}-{{V}_{2}} \right)}$ ≈ 241 К $\Rightarrow $ t = –32°С.

Задача 1.29. Повітря у відкритому вертикальному циліндрі під рухомим поршнем нагрівають від  температури t₁= 7°С до t₂= 63°С. Атмосферний тиск P = 760 мм.рт.ст., площа основи циліндра S = 100 см².

Визначити:

1. Відстань h, на яку переміститься поршень, якщо спочатку він перебував на відстані l = 30 см від основи циліндра.

2. Масу гирі m, яку треба покласти на поршень, аби повернути його в початкове положення при незмінній температурі повітря.

Розв'язання

1. З умови зрозуміло, що нагрівання повітря відбувається при сталому тиску P. Тому, відповідно до закону Гей-Люссака (1.17),

де V₁, V₂ – початковий і кінцевий об'єми повітря, і відстані l₁ = l, l₂ = l + h. Отже,

$\frac{l+h}{l}=\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}\quad \Rightarrow \quad h=l\left( \frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}-1 \right)=6\text{см}\text{.}$

2. Покладена гиря створює додатковий тиск на поршень P′ = (mg/S), через що повітря  ізотермічно стискається від тиску P і об'єму (l + h)S  до  (P₁ +P′) і (l S), відповідно.. Тож за законом Бойля-Маріотта (7.15),

${{P}}\left( {{l}}+h \right)=\left( {{P}}+\frac{mg}{S} \right){{l}}\quad \Rightarrow \quad m=\frac{{{P}}S}{g}\cdot \frac{h}{{{l}}}$  = 20 кг.м.====

Задача 1.30

Показати,

як зміниться графік залежності P(V) при T = const (ізотерма),  якщо: а) при незмінній масі m заданого газу підвищити його температуру T; б) при  незмінній температурі T заданого газу збільшити його масу m; в) при тих самих масі m та температурі T провести процес із газом більшої молярної маси M.

Розв’язання

В ізотермічному процесі (ν = const, T = const) залежність P(V) між тиском і об'ємом газу визначається рівнянням (1.16):

\( P=\frac{a}{V},\)

де a = (mRT/M) = const. Отже, ізотерма має форму гіпербол, положення котрої відносно координатних осей визначається коефіцієнтом a: чим він більший, тим вище розташовується графік P(V). Це схематично показано на рис. 28-2виправити кольори на в), перенести 1.29-1 в САМ де в кожному випадку зеленим кольором зображено вихідну ізотерму, а синім – ізотерму при зміненому відповідному параметрі стану газу.

Задача 1.31

Із газом в циліндрі під рухомим поршнем проводять комбінований процес 1→2→3, в якому він спочатку (ділянка 1→2) нагрівається, а потім повертається до вихідної температури, рис. 30. Якісно проаналізувати зміну об'єму газу з температурою та

визначити

відношення початкового й кінцевого об'ємів (V₁/V₃), якщо відповідне відношення тисків складає (P₁/P₃) = 2.

Розв’язання

Із умови (рис. 1.30) зрозуміло, що на кожній з ділянок заданого процесу об'єм газу неперервно змінюється. Тому для встановлення кількісного зв'язку між об'ємом і температурою слід було би спочатку на основі аналізу графіка рис. 1.31 записати математичний вираз залежності P(T), а потім, підставивши його врівняння (1.13), визначити та дослідити залежність V(T).

Але відповідь можна отримати простіше методом "ізоперетинів", котрий ґрунтується на об'єднаному газовому законі (1.15). А саме.  Якщо графіки для якоїсь пари параметрів у двох процесах із однаковою кількістю газу перетинаються, то в точці перетину збігаються значення й прихованого третього параметра. Тож, якщо "розсікти" заданий графік P(T) сімейством ізохор, як на рис. 1.31-1, то в напрямку а-е їхні кутові коефіцієнти зменшуються. Це означає, що на ділянці 1→2 об'єм газу  весь  час збільшуються, а на ділянці 2→3, відповідно, зменшується. При цьому, позаяк за умовою Т₁ = Т₃ і (P₁/P₃) = 2, шукане відношення об'ємів складає

$\frac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\frac{1}{2}$.

Задача 1.32. Із заданою кількістю газу проводять замкнений процес, у якому графік залежності P(V) має вигляд кола (рис. 1.32). Проаналізувати зміну температури в цьому процесі та

позначити на графіку точки,

що відповідають найнижчі1 T_min і найвищій T_max температурі газу.

Розв’язання

Ця задача розв'язується аналогічно до попередньої. Розсічемо графік заданого процесу сімейством ізотерм (a - d) так, аби крайні дотикалися до кола, як показано на рис. 31-1. ("2" поставити на місце)Тоді, як випливає із закону Бойля-Маріотта (1.16), точки дотику відповідають мінімальній (1) та максимальній (2) температурі. Тож  на ділянці 1→2 газ нагрівається, а на ділянці 2→3 охолоджується.

Задача 1.33. Із незмінною кількістю газу проведено заданий цикл 1→2→3→ 4→1 (рис. 38) перенести з 07_2 зад 7.38, в якому  на ділянках 2→3 і 4→1 температура не змінюється.

Визначити

об'єм газу V в станах 2 і 4, якщо величини V₁ і V₃ задано.

Розв’язання

Згідно з умовою ,

А за законом Бойля-Маріотта (1.16б)

Відтак, перемноживши ліві й праві частини рівнянь (1)-(4) та скоротивши тиски, дістанемо:

${{V}^{4}}={{\left( {{V}_{1}}{{V}_{3}} \right)}^{2}}\quad \Rightarrow \quad V=\sqrt{{{V}_{1}}{{V}_{3}}}$.

+