physics.zfftt.kpi.ua

Роботу колового процесу (циклу) зручно визначати через площу його графіка, зобразивши його при потребі на діаграмі (P,V).

Задача 2.12. Із незмінною кількістю ідеального газу проведено заданий коловий процес (цикл). Побудувати графіки залежності тиску від температури P(T) та від об'єму P(V) у цьому циклі за заданим графіком залежності об'єму від температури V(T).

Задача 2.13. З незмінною кількістю одноатомного газу проводять заданий прямий цикл, у якому максимальний і мінімальний тиски співвідносяться, як P₂ = nP₁, n = 8. Визначити коефіцієнт корисної дії циклу \(\eta\).

Задача 2.14. Парова машина потужністю N = 12 кВт витрачає за час τ = 1 год m = 8 кг палива з теплотворністю q = 36 МДж/кг. Пара подається в циліндр машини при температурі t₁ = 200 °C, а викидається в конденсатор (холодильник) при температурі t₂ = 100 °C. Визначити ККД η машини та  порівняти його з ККД  η_к ідеального теплового двигуна (машини Карно), що працює при тих самих температурах нагрівника та холодильника.

Задача 2.15. ККД ідеального теплового двигуна η теоретично можна збільшити або підвищенням температури нагрівача, або зниженням температури холодильника. Визначити, в якому випадку й на скільки ε(%) приріст ККД буде більшим?

Задача 2.12.

Із незмінною кількістю ідеального газу проведено заданий коловий процес (цикл).

Побудувати

графіки залежності тиску від температури P(T) та від об'єму P(V) у цьому циклі за заданим графіком залежності об'єму від температури V(T).

Розв’язання

Із графіка заданого циклу (рис. 32)(прибраи штрихові), видно, що він складається з ізохор (1→2), (3→4),  ізотерми 2→3, та ізобари 4→1.

1. Залежність Р(T). Задля зручності побудови графіка розміщуємо координатні осі (Р,Т) як показано на рис. 2.32-3 (рис. в) прибрати), і з точок 1, 2,3  і 4 на рис. а) опускаємо проєктуючі вертикалі на рис. б) та вибираємо на ньому початкову точку 1. Відтак з початку координат проводимо промінь через т.1 до перетину з вертикаллю Т₂₃ і стрілк0ю зображуємо початкову ділянку циклу 1→2. (Примітка. Позаяк числові дані в умові не вказано, положення т.1 вибираємо довільно, але так, аби т.2 не виходила за межі креслення).

Далі, враховуючи, що на ділянці 4→1 процес є ізобарним, проводимо горизонталь через т.1 і на її перетині з вертикаллю Т₄ відмічаємо точку 4. Після цього, врахувавши, що ділянка 3→4 є ізохорою, проводимо промінь із початку координат через т.4 і знаходимо положення т.3. Відтак, навівши на стрілками ділянки 2→3→4→1, завершуємо побудову графіка залежності Р(T).

2. Залежність Р(V)  на графіку будуємо за такою самою схемою шляхом "проєктування" отриманого графіка Р(Т). Для цього координатні осі (Р,V) розміщуємо праворуч (рис. в) і на осі абсцис відмічаємо точки V₁₂ і V₃₄  так, як на рис. а). Після цього проводимо з них проєктуючі вертикалі, а з точок Р₁₄, і Р₃  – горизонталі. Відтак на перетинах проєктуючих Р₂ відмічаємо потрібні точки й показуємо графік циклу, як на рис. в).

Задача 2.13

З незмінною кількістю одноатомного газу проводять прямий цикл заданий прямий цикл, у якому максимальний і мінімальний тиски співвідносяться, як P₂ = nP₁, n = 8.

Визначити

коефіцієнт корисної дії циклу \(\eta\).

Розв’язання

Відповідно до рис. 9-1, заданий цикл складається з ізохори \(1\to {1}'\), ізобари \({1}'\to 2\) і ділянки \(2\to {1}\), на якій тиск і об'єм перебувають у прямо пропорціональному зв'язку.

Коефіцієнт корисної дії циклу визначається як

де A – робота газу в циклі, Q₁, – кількість тепла, отримана ним на гілці 1 → 1′ → 2.

Величина A визначається площею виділеного трикутника на рис. 9-1 (див. п. 2.1)  і складає

Теплота Q₁ за першим законом термодинаміки йде на зміну внутрішньої енергії газу, що згідно з виразом (2.4), складає

 та на роботу розширення газу на ділянці  1′ → 2, яка відповідно до формули (2.7) дорівнює

Тож підставивши ці значення у вираз (2.9a), після викладок дістанемо:

${{Q}_{1}}=\frac{1}{2}\left( 5{{n}^{2}}-2n-3 \right){{P}_{1}}{{V}_{1}}$

і відтак за формулою (1) отримаємо відповідь:

Задача 2.14.

Парова машина потужністю N = 12 кВт витрачає за час τ = 1 год m = 8 кг палива з теплотворністю q = 36 МДж/кг. Пара подається в циліндр машини при температурі t₁ = 200 °C, а викидається в конденсатор (холодильник) при температурі t₂ = 100 °C.

Визначити

ККД η машини та  порівняти його з ККД  η_к ідеального теплового двигуна (машини Карно), що працює при тих самих температурах нагрівника та холодильника.

Розв’язання

Коефіцієнт корисної дії теплової машини (двигуна)

\( \eta=\frac{A}{Q}\),

де A – виконана робота, Q – отримана кількість тепла. З умови задачі зрозуміло, що

\( {A}=N\tau \) і \( {Q}=qm, \)

отже,

\( \eta=\frac{N\tau }{qm}=0,15=15 \) %.

ККД машини Карно (ідеального теплового двигуна) при вказаних температурі  нагрівника та холодильника за формулою (2.24) складає:

\( \eta_{ід}=1-\frac{{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}}=21 \) %.

Отже,  ККД даного теплового двигуна є менший, ніж ККД відповідного ідеального двигуна, як про те й трактує теорія.

Задача 2.15. ККД ідеального теплового двигуна η теоретично можна збільшити або підвищенням температури нагрівача, або зниженням температури холодильника.

Визначити,

в якому випадку й на скільки ε(%) приріст ККД буде більшим?

Розв’язання

Згідно з теорією (п. 2.4), ККД ідеального теплового двигуна визначається формулою (2.24). Тож при підвищенні температури нагрівника на якусь величину ΔТ він набуде значення

${{\eta }_{1}}=\frac{\left( {{T}_{1}}+\Delta T \right)-{{T}_{2}}}{{{T}_{1}}+\Delta T}$.

Якщо ж замість цього на таку саму величину понизити температуру холодильника, то ККД стане рівним

${{\eta }_{2}}=\frac{{{T}_{1}}-\left( {{T}_{2}}-\Delta T \right)}{{{T}_{1}}}$.

Як видно, в отриманих виразах чисельники однакові, отже для підвищення ККД більш ефективним є зменшення температури холодильника. На скільки саме, показує величина

$\varepsilon =\frac{{{\eta }_{2}}-{{\eta }_{1}}}{{{\eta }_{1}}}=\frac{{{\eta }_{2}}}{{{\eta }_{1}}}-1$,

для якої після підстановки виразів η₁ і η₂ дістанемо:

$\varepsilon =\frac{\Delta T}{{{T}_{1}}}$.

Слід сказати, що отриманий результат практичного значення не має, і всі реальні теплові двигуни (приміром, автомобільні) в якості холодильника використовують довкілля. Причина цього полягає в тому, що витрати енергії на примусове охолодження холодильника, як доводить теорія, принципово не можуть бути меншими, ніж виграш за рахунок отриманого підвищення ККД.