physics.zfftt.kpi.ua

У наведених прикладах задач, у яких фігурує прискорення вільного падіння, його значення приймається рівним g = 10 м/с². 

Задача 2.7. Для ванни необхідно приготувати V = 200 л води з температурою t = 46°C, змішуючи гарячу та холодну воду з температурами \(t_{1}\) = 90°C і \(t_{2}\) = 10°C. Визначити потрібні об'єми гарячої V₁ та холодної V₂ води.

Задача 2.8. Кусок припою (сплав олова зі свинцем) масою m_п= 1 кг, що має температуру \({{t}_{1}}\) = 100°C, опустили в калориметр із m_в= 1 кг води при температурі \({{t}_{2}}\) =10°C. Визначити вміст олова η_o(%) і свинцю η_c(%) у припої, якщо в калориметрі встановилася температура \(t\) = 13,5 °C.

Задача 2.9. У відро з m = 2 кг льоду (питома теплота плавлення λ= 330 кДж/кг) при температурі t₀ = 0°C влили V = 1,5 л окропу (густина ρ = 1 г/см³, питома теплоємність c = 4,2 кДж/(кг·К)) з температурою t₁ = 95°C. Визначити температуру t, що встановиться у відрі.

Задача 2.10.  У плавильній печі з коефіцієнтом корисної дії \(\eta\) = 40 % треба розплавити m = 50 т залізного брухту із початковою температурою t = 25°C. Визначити  потрібну для цого масу коксу m₁.

Задача 2.11. При інтенсивному відкачуванні теплоізольованої колби з водою при температурі 0°С і нормальному атмосферному тиску утворилася певна кількість льоду. Визначити, яка частина η(%) води при цьому випарувалася. Питома теплота плавлення льоду λ = 335 кДж/кг, питома теплота пароутворення r = 2, 26 МДж/кг.

Задача 2.7

Для ванни необхідно приготувати V = 200 л води з температурою t = 46°C, змішуючи гарячу та холодну воду з температурами \(t_{1}\) = 90°C і \(t_{2}\) = 10 °C. 

Визначити

потрібні об'єми гарячої V₁ та холодної V₂ води.

Розв’язання

У процесі встановлення теплової рівноваги при змішуванні гаряча та холодна вода обмінюються однаковими кількостями теплоти, тож відповідно до виразів (2.15) і (2.15a) маємо:

cm₁(t₁ – t) = cm₂(t – t₂),

де m₁, m₂ – маси гарячої та холодної води, виразивши які через густину та об'єми, отримаємо:

V₁(t₁ – t) = V₂(t – t₂).

Звідси, врахувавши, що V = V₁ + V₂, легко знайдемо відповідь:

\(V_{1}=\frac{t-t_{2}}{t_{1}-t_{2}}{V}=90\) л

\(V_{2}=V-V_{1}=\frac{t_{1}-t}{t_{1}-t_{2}}{V}=110\) л.

Задача 2.8

Кусок припою (сплав олова c_o= (230 Дж/(кг·К) зі свинцем c_с= (130 Дж/(кг·К)) при температурі t₁ = 100°C опустили в калориметр із такою самою масою води (c_в= 4,2 кДж/(кг·К)) при температурі t₂=10°C.

Визначити

вміст олова η_o(%) і свинцю η_с(%) у припої, якщо у калориметрі встановилася температура t = 13,5 °C.

Розв’язання

У процесі встановлення теплової рівноваги олово і свинець охолоджуються, а вода нагрівається до кінцевої температури t. Тож відповідно до рівняння теплового балансу (2.14a) і формул (2.15), (2.15a), можна записати:

де m_о, m_c, m_в – маси олова і свинцю в сплаві та води в калориметрі.

Якщо позначити масу припою як m, то вміст компонент у припої виражається співвідношеннями: η_о= (m_o/m) i η_с= (m_с/m). Отже,

Тож, підставивши ці вирази в рівняння (1) і врахувавши, що за умовою m_в = m, отримаємо:

\(\left( {{c}_{\text{o}}}{{\eta }_{\text{o}}}+{{c}_{\text{c}}}\left( 1-\eta_{\text{o}}  \right) \right)\left( {{t}_{1}}-t \right)={{c}_{\text{в}}}\left( t-{{t}_{2}} \right)\)

Відтак, розв’язавши це рівняння відносно, дістанемо визначимо величину η_о, а потім і η_с:

${{\eta }_{\text{o}}}=\frac{{{c}_{\text{}}}\left( t-{{t}_{2}} \right)}{\left( {{c}_{\text{o}}}-{{c}_{\text{c}}} \right)\left( {{t}_{1}}-t \right)}-\frac{{{c}_{\text{c}}}}{{{c}_{\text{o}}}-{{c}_{\text{c}}}}$;    η_с = (1 – η_о)

Обчислення дають

η_о = 40%;  η_с = 60%.

Задача 2.9

У відро з m = 2 кг льоду (питома теплота плавлення λ = 330 кДж/кг) при температурі t₁= 0°C влили V = 1,5 л окропу (густина ρ = 1 г/см³, питома теплоємність c = 4,2 кДж/(кг·К)) з температурою t₂= 95°C.

Визначити

температуру t, що встановиться у відрі.

Розв’язання

Очевидно, що утворена з льоду вода та охололий окріп матимуть однакову температуру t. Отже, згідно з формулами (2.15) і (2.16) і з урахуванням того, що маса окропу m₁ = ρV , рівняння теплового балансу (2.14) має мати вигляд:

Тож,

Зрозуміло, що такий результат є абсурдним. Але причину легко збагнути, якщо згадати, про те, що плавлення кристалічного тіла, яким є лід, відбувається при сталій температурі, котра для льоду складає 0°C. Тому температура у відрі може підвищуватися тільки після розплавлення всього льоду, для чого необхідно λm = 660 кДж тепла. Але влита вода при охолодженні навіть до точки замерзання 0°C може віддати льодові тільки cρVt₁ ≈ 600 ккал. Отже, розплавиться лише частина льоду масою m′ < m, яку можна визначити, відкинувши другий доданок у правій частині рівняння (1):

$m′ =\frac{cm\left( {{t}_{1}}-{{t}_{1}} \right)}{\lambda }$ = 1,8 кг.

Отже, після встановлення рівноваги у відрі буде знаходитися вода та кусочок льоду масою 200 г при температурі плавлення 0°C.

Резюме. Аби запобігти подібній колізії, при складанні рівняння теплового балансу за наявності в системі фазових переходів (змін агрегатного стану), варто заздалегідь підрахувати і зіставити максимальні кількості тепла, що виділяються, або необхідні для повної реалізації таких переходів відповідно до умови задачі.

Задача 2.10

У плавильній печі з коефіцієнтом корисної дії η = 40 % необхідно розплавити m = 50 т залізного брухту, що має початкову температуру t = 25°C. Температура плавлення заліза t_п = 1425°C, питома теплоємність c = 460 Дж/(кг·К), питома теплота плавлення λ = 82 кДж/кг. Теплотворність коксу  q = 35 МДж/кг.

Визначити

потрібну для цього масу коксу m₁.

Розв’язання

Згідно з формулою (2.18), потрібна маса кокусу m₁ визначається його теплотворністю q та кількістю теплоти Q₁, що є необхідна для нагрівання й плавлення брухту: 

При цьому корисною (що йде безпосередньо на нагрівання та плавлення) є тільки частка Q = ηQ₁ всієї виділеної при згорянні коксу кількості теплоти. Тож

де величина Q визначається формулами (2.15) і (2.16). Таким чином, 

 \({{m}_{1}}=\frac{(c({{t}_{}}-t)+\lambda )m}{\text{ }\!\!\eta\!\!\text{ }q}\) ≈ 2,6 т.

Задача 2.11. При інтенсивному відкачуванні теплоізольованої колби з  водою при температурі 0°С і нормальному атмосферному тиску утворилася певна кількість льоду.

Визначити,

яка частина η(%) води при цьому випарувалася. Питома теплота плавлення льоду λ = 335 кДж/кг, питома теплота пароутворення r = 2, 26 МДж/кг.

Розв’язання

При пароутворенні рідину покидають "гарячі" молекули, енергія теплового руху котрих є достатня для подолати сил зв'язку з іншими молекулами. Через це рідина охолоджується і при інтенсивному випаровуванні без підведення  тепла іззовні може навіть тверднути.

За умовою вода в колбі із самого початку перебуває при температурі тверднення. Тому при відкачуванні колби вода відразу починає замерзати, тож усе тепло, що при цьому виділяється, йде на пароутворення. Отже, згідно з формулами (2.16) і (2.17),

  rm_п = λm_л,

де m_п – маса води, що випарувалась, і m_л = m – m_п– маса утвореного льоду при початковій масі води в колбі m. Тобто,

\(\lambda \left( m-{{m}_{\text{п}}} \right)=r{{m}_{\text{п}}}\quad \Rightarrow \quad \lambda m=\left( \lambda +r \right){{m}_{\text{}}}\).

Отже, частка η = (m_п/m) води, що перетворилася на пару, складає:

$\eta =\frac{λ}{r+\lambda }$ = 13%.