physics.zfftt.kpi.ua

 Задача 2.1. При швидкому стисканні m = 4 г гелію (М = 4 г/моль) в циліндрі під поршнем газ нагрівається від t₁ = 7°C до t₂ = 87°C. Визначити роботу A стискання газу.

Задача 2.2. При переміщенні поршня парової машини на відстань l = 60 см тиск пари в циліндрі лінійно спадає від P₁ = 1,0 МПа до P₂ = 0,2 МПа, а температура понижується до  t₂ = 107°C. Початковий об'єм пари V₁ = 10 л, площа поршня S = 1000 см². Визначити: А) роботу A і Б) початкову температуру пари t₁.

Задача 2.3. Температуру одного моля газу в циліндрі під поршнем змінюють від t₁ = 10°C до t₂ = 75°C. Визначити: А) кількість теплоти, отриманої газом при закріпленому (Q_V) та вивільненому (Q_P) поршні; Б) роботу газу А.

 Задача 2.4. Незмінну кількість газу переводять із стану 1 у стан 2 двома заданими способами ("шляхами"): а) і б). Визначити відношення кількостей тепла (Q₁/Q₂), отриманих газом у кожному випадку, якщо відношення кінцевого та початкового тисків (Р₂/Р₁) складає n = 9.

Задача 2.5. Газ у кількості ν = 0,2 моль із початковими об'ємомV₀ = 5 л і тиском Р₀ = 100 кПа нагрівають у циліндрі з рухомим поршнем так, що тиск і об'єм весь час перебувають у прямо пропорційному зв'язку. Визначити: 1. Зв'язок між температурою та тиском газу в цьому процесі;  2. Роботу, що її виконав газ на момент, коли його об'єм подвоївся

 Задача 2.6. Два молі газу в циліндрі з поршнем спочатку ізобарно розширюють у n =  2 рази, а потім ізохорно охолоджують до вихідної температури. Визначити максимальну температуру газу,  якщо різниця отриманої та відданої ним в процесі кількості теплоти ΔQ = 8,3 кДж. Газова стала R = 8,3 Дж/(моль·K).

Задача 2.1

При швидкому стисканні m = 4 г гелію (М = 4 г/моль) в циліндрі під поршнем газ нагрівається від t₁ = 7 °C до t₂ = 87 °C.

Визначити

роботу A стискання газу.

Розв’язання

Через швидкоплинність процесу теплообміном газу із навколишніми тілами можна знехтувати й уважати процес адіабатним (див. п. 2.2). Отже, робота стискання А йде тільки на зміну внутрішньої енергії U, котра визначається формулою (2.1):

\(A=\frac{3}{2}\cdot \frac{mR}{M}({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\).

Обчислення дають

А ≈ 1,0 кДж.

Задача 2.2

При переміщенні поршня парової машини на відстань l = 60 см тиск пари  в циліндрі лінійно спадає від P₁ = 1,0 МПа до P₂ = 0,2 МПа, а температура понижується до t₂ = 107°C. Початковий об'єм пари V₁ = 10 л, площа поршня S = 1000 см². 

Визначити: 

А) роботу A і 

Б) початкову температуру пари t₁.

Розв’язання

А). Роботу пари визначимо з графіка процесу на діаграмі (P, V), рис. 7, за площею виділеної трапеції (див. п. 2.1):

\(A=\frac{1}{2}({{P}_{1}}+{{P}_{2}})({{V}_{2}}-{{V}_{1}}).\)

Зміна об’єму пари V₂ – V₁ = lS, отже

\(A=\frac{({{P}_{1}}+{{P}_{2}})LS}{2}=3,6\cdot {{10}^{4}}\) Дж = 36 кДж.

Б). Згідно з рівнянням Клапейрона (1.13),

\(\begin{align}  & {{P}_{1}}{{V}_{1}}=\nu R{{T}_{1}}, \\  & {{P}_{2}}{{V}_{2}}=\nu R{{T}_{2}}. \\ \end{align}\)

Тож

\(\frac{{{T}_{1}}}{{{T}_{2}}}=\frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{P}_{2}}{{V}_{2}}}.\)

Звідси, врахувавши, що V₂ = V₁ + lS, одержимо наступну відповідь:

\({{T}_{1}}={{T}_{2}}\cdot \frac{{{P}_{1}}{{V}_{1}}}{{{P}_{2}}({{V}_{1}}+lS)}=\frac{({{{P}_{1}}}/{{{P}_{2}}}\;)}{1+{lS}/{{{V}_{1}}}\;}\cdot {{T}_{2}} \) K.

Обчислення дають

T₁ = 475 K   →  t₁ = 2о2°С.

Задача 2.3. Температуру одного моля газу в циліндрі під поршнем змінюють від t₁ = 10°C до t₂ = 75°C.

Визначити 

А) кількість теплоти, отриманої газом при закріпленому Q_V) та вивільненому (Q_P) поршні; 

Б) роботу газу А.

Розв’язання

A). При закріпленому поршні об'єм газу V = const, тобто нагрівання є ізохорним. Тож відповідно до формули (2.11)

Q_V = ΔU,

де ΔU – зміна внутрішньої енергії, котра визначається формулою (2.3):

\(\Delta U=\frac{3}{2}\nu R({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\).

Таким чином, при закріпленому поршні газ одержує кількість тепла

Q_V  = $\frac{3}{2}\nu R\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$ = 809 Дж.

Б). За відсутності тертя в будь-якому положенні поршня тиск газу в циліндрі дорівнює зовнішньому тиску, тобто нагрівання буде ізобарним (P = const). При цьому, відповідно до формул (2.8) і (2.12а) отримана газом кількість тепла Q_P дорівнює:

Q_P  = $\frac{3}{2}\nu R\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$ +$\frac\nu R\left( {{T}_{2}}-{{T}_{1}} \right)$  \(\Rightarrow\)  Q_P  = \(\frac{5}{2}\nu R({{T}_{2}}-{{T}_{1}})\) = 1,35 кДж.

Таким чином, для однакової зміни температури газу при вільному поршні необхідно витратити більшу кількість теплоти, ніж при закріпленому. Це й зрозуміло, бо якщо при незмінному об'ємі на нагрівання йде все отримане тепло, то при постійному тиску – тільки його частина, а решта витрачається на виконання газом роботи розширення A. Тож при однаковій зміні температури (і, відповідно, внутрішньої енергії)

Q_P – Q_V = A.

Задача 2.4. Незмінну кількість газу переводять із стану 1 у стан 2 двома заданими способами ("шляхами"): a) і б).

Визначити

відношення кількостей тепла (Q_a/Q_b), отриманих газом у кожному випадку, якщо відношення  кінцевого та початкового тисків (Р₂/Р₁) складає n = 9.

Розв’язання

За першим законом термодинаміки (2.9а) отримана газом кількість тепла в кожному випадку визначається зміною його внутрішньої енергії та виконаною роботою:

На рис. 8.4,показати V₁, V₂ показано задані ''шляхи" переходу газу із стан1 у стан 2. А саме: у випадку а) це ламана 1 → 1′ → 2, а б) – відрізок 1 → 2 на промені, що виходить із початку координат. Це означає, що в обох випадках заданих процесах відношення крайніх значень об'ємів і тисків є однакові:

$\frac{{{V}_{2}}}{{{V}_{1}}}=\frac{{{P}_{2}}}{{{P}_{1}}}=n$.

Однаковими є й зміни внутрішньої енергії газу, котрі, згідно з формулою (2.2) і вказаним зв'язком між крайніми параметрами, дорівнюють:

Роботу газу A_a у випадку a) і A_b у випадку b) визначимо через площу виділеної кольором фігури на рис. 8/1а та 8/1б:

A_a = P₂(V₂ – V₁)     \(\Rightarrow\)     A_a = n(n–1)P₁V₁,

\({{A}_{b}}=\frac{1}{2}({{P}_{1}}+{{P}_{2}})({{V}_{2}}-{{V}_{1}})\)     \(\Rightarrow\)     \({{A}_{b}}=\frac{({{n}^{2}}-1){{P}_{1}}{{V}_{1}}}{2}.\)

Відтак підставимо ці вирази в рівняння (1) і врахувавши вираз (2), після перетворень знаходимо

\({{Q}_{a}}=\frac{(n-1)(5n+3)}{2}{{P}_{1}}{{V}_{1}};\)

 Q_b = 2(n² – 1)P1V1.

Відтак отримуємо кінцеву відповідь:

\(\frac{{{Q}_{1}}}{{{Q}_{2}}}=\frac{5n+3}{4(n+1)}=1,2.\)

Задача 2.5. Газ у кількості ν = 0,2 моль із початковими об'ємом V₀ = 5 л і тиском Р₀ = 100 кПа нагрівають у циліндрі з рухомим поршнем так, що тиск і об'єм весь час перебувають у прямо пропорційному зв'язку.

Визначити:

1. Зв'язок між температурою та тиском газу в цьому процесі; 

2. Роботу газу на момент, коли його об'єм збільшиться в n = 2 рази.

Розв'язання

1. Згідно з рівнянням Клапейрона (7.13),

$T=\frac{PV}{\nu R}$,

а за умовою задачі

$\frac{P}{V}=\frac{{{P}_{0}}}{{{V}_{0}}}\quad \Rightarrow \quad P=\frac{{{P}_{0}}}{{{V}_{0}}}V$.

Отже,

$T=\alpha {{V}^{2}},\quad \alpha =\frac{{{P}_{0}}}{\nu R{{V}_{0}}}$.

2. Роботу газу визначимо за площею графіка процесу (див. п.2.2), який показано на рис. 2.5. зроб :

$A=\frac{1}{2}\left( P+{{P}_{0}} \right)\left( V-{{V}_{0}} \right)$,

і, враховуючи задане співвідношення між кінцевими та початковими значеннями параметрів,

$A=\frac{{{n}^{2}}-1}{2}{{P}_{0}}{{V}_{0}}$ = 750 Дж.

Задача 2.6. Два молі газу в циліндрі з поршнем спочатку ізобарно розширюють в n =  2 рази, а потім ізохорно охолоджують до вихідної температури.

Визначити

максимальну температуру газу Т,  якщо різниця отриманої та відданої ним кількості теплоти ΔQ = 8,3 кДж. Газова стала R = 8,3 Дж/(моль·K).

Розв'язання

Шукана максимальна температура газу відповідає точці 1′(P₁,V₂) на графіку заданого комбінованого процесу (рис. 2.6. зроб).

Згідно з першим законом термодинаміки, отримана Q₁ чи віддана Q₂ газом кількість теплоти, на загал, визначається зміною його внутрішньої енергії та виконаною роботою:

Q = ΔU + A.

Але, позаяк за умовою  кінцева й початкова температури є однакові, приріст внутрішньої енергії газу при нагріванні дорівнює її спадові при охолодженні. Тому різниця отриманої та відданої кількостей теплоти ΔQ дорівнює тільки роботі газу при ізобарному розширенні й визначається формулою (2.7). Отже,

Так само через рівність початкової та кінцевої температур точки 1 і 2 належать одній ізотермі, отже,

 Зробивши таку заміну у виразі (1), дістанемо

і відтак отримаємо наступну відповідь:

$T=\frac{n\Delta Q}{\left( n-1 \right)\nu R}=1000\text{ K}$.