ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Розділ 1. КІНЕМАТИКА

1.1. Теоретичні відомості. Основні поняття і величини кінематики

Основні поняття та величини кінематики кількісно визначають просторове положення та характеристики руху тіла.

Положення точки у просторі визначається її радіусом-вектором або координатами,  зміна положення — траєкторією, шляхом і переміщенням, а сам процес руху — швидкістю та прискоренням.

Радіус-вектор \( \vec{r} \) – це вектор, проведений з початку відліку в дану точку. Радіус-вектор визначає положення рухомої точки (тіла) в даний момент часу. Координати точки є проєкціями радіуса-вектора на осі координат (рис.1.1):

rx = x;        ry = y.

Траєкторією називається неперервна лінія у просторі, вздовж якої рухається матеріальна точка. Можна також сказати, що траєкторія – це лінія, яку описує кінець радіуса-вектора рухомої точки (рис.1.2). Довжина відрізка траєкторії між заданими двома точками називається шляхом S, пройденим тілом за відповідний проміжок часу. Шлях є скалярною додатньою величиною, що в процесі руху невпинно зростає.

Переміщення \( \Delta\vec{r} \) – це вектор, проведений з початкового (1) у кінцеве (2) положення тіла, рис.1.2. Переміщення визначає зміну положення тіла в просторі за заданий проміжок часу. На відміну від шляху, в процесі руху величина (модуль) переміщення  може лишатися незмінним, або зменшуватись.

Із рис. 1.2 видно, що переміщення дорівнює зміні радіуса-вектора, а його проєкції є змінами координат рухомої точки:

\( \Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1} \).

(1.1)

\( \Delta{r}_{x}=x_{2}-x_{1}=\Delta{x} \);

\( \Delta{r}_{y}=y_{2}-y_{1}=\Delta{y} \).

(1.1а)

Середня швидкість переміщення \( \langle{\vec{v}}\rangle \), або вектор середньої швидкості, – це відношення вектора переміщення до проміжку часу Δt = t2t1, за який здійснене це переміщення:

\( \langle{\vec{v}}\rangle=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}\). (1.2)

Модуль вектора середньої швидкості дорівнює:

\( \left|\langle\vec{v}\rangle\right|=\frac{\left|\Delta\vec{r}\right|}{\Delta{t}} \). (1.2а)

Напрям вектора \( \langle\vec{v}\rangle \) збігається з напрямом вектора переміщення.

Середня шляхова швидкість (або просто середня швидкість) \( \langle{v}\rangle \) це відношення шляху S до проміжку часу Δt, за який він є пройдений:

\( \langle{v}\rangle=\frac{S}{\Delta{t}} \). (1.3)

Середні швидкості (1.2) і (1.3) не містять інформації про стан руху тіла в кожен момент часу (або в кожній точці траєкторії). Таку інформацію містить миттєва швидкість.

Миттєва швидкість \( \vec{v}\) (у контексті вектор швидкості, або просто швидкість) – це границя відношення переміщення \( \Delta\vec{r} \) до проміжку часу Δt, за який воно здійснено, при умові, що цей проміжок необмежено зменшується, тобто – похідна радіуса-вектора рухомого тіла по часу:

\( \vec{v}=\underset{\Delta t\to{0}}\lim\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\equiv {\vec{r}}^{\prime}{(t)}\). (1.4)

(Примітка. Тут наведені два прийняті позначення похідної функції f(t): f′(t) і df/dt; те ж саме стосується й другої похідної: f″(t) та ${{{d}^{2}}f}/{d{{t}^{2}}}\;$).

Можна сказати, що  миттєва швидкість дорівнює відношенню гранично малого переміщення \(d\vec{r}\) точки до відповідного гранично малого проміжку часу dt.  Тому вектор швидкості \( \vec{v}\) завжди є спрямований вздовж дотичної до траєкторії  (рис. 1.2).

Проєкції швидкості на координатні осі є похідними відповідних координат по часу:

\( {v}_{x}=x^{\prime}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\);

\( {v}_{y}=y^{\prime}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\).

(1.4a)

У довільному русі швидкість точки неперервно змінюється як за величиною, так і за напрямом . Мірою такої зміни є середнє та миттєве прискорення.

Середнє прискорення \( \langle\vec{a}\rangle \) – то є  відношення зміни вектора швидкості \( \Delta\vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1} \) до проміжку часу \( \Delta{t} \), за який сталася ця зміна:

\( \langle\vec{a}\rangle=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta{t}}\) (1.5)

Миттєве прискорення є точною характеристикою зміни вектора швидкості в кожен момент часу і визначається аналогічно до миттєвої швидкості:

\( \vec{a}=\underset{\Delta t\to{0}}\lim\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta{t}}=\vec{v}^{\prime}(t)=\frac{\text{d}\vec{v}}{\text{d}t}\) (1.6а)

або

\( \vec{a}=\vec{r}^{\prime\prime}(t)=\frac{\mathrm{d}^{2}\vec{r}}{\mathrm{d}t^{2}}\). (1.6б)


Іншими словами, миттєве прискорення є першою похідною вектора швидкості по часу або другою похідною радіуса-вектора по часу.

Проєкції вектора прискорення на осі координат визначаються аналогічно через проєкції швидкості та координат точки:

\({{a}_{x}}={{{v}'}_{x}}(t)=\frac{d{{v}_{x}}}{dt}\)

\({{a}_{y}}={{{v}'}_{y}}(t)=\frac{d{{v}_{y}}}{dt}\)

(1.7)

 

\({{a}_{x}}={x}''(t)=\frac{{{d}^{2}}x}{d{{t}^{2}}}\)

\({{a}_{y}}={y}''(t)=\frac{{{d}^{2}}y}{d{{t}^{2}}}\)

(1.8)

При русі точки з постійним прискоренням  воно  будь-якої миті визначається формулою (1.6).