Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "СУЧАСНА ФІЗИКА". Компенсаційний курс

Розділ 20. Будова атома

Приклади розв'язування задач

При розв'язуванні задач на атом Гідрогену треба врахувати наступне.

1)

Якщо електрон перебуває у збудженому стані, то він може перейти на будь-який з більш низьких енергетичних рівнів. Якщо такий рівень не є першим (\(n\ne{1}\)), то електрон і надалі може переходити на нижчі рівні. Як наслідок, в спектрі випромінювання спостерігається сукупність спектральних ліній, частоти яких визначаються узагальненою формулою Бальмера (20.4). При цьому утворюються спектральні серії - групи ліній, які обумовлені переходами електрона на заданий нижчій рівень n1 з усіх вищих рівнів n2 = n1 +1, n1 +2,…

 

 

2)

Якщо електрон знаходився в стані з головним квантовим числом n1, то при поглинанні кванта енергії \(h\nu\) він перейде в стан з головним квантовим числом n2 за умови

\(h\nu=E_{2}-E_{1}\),

де E1, E2 – енергії, що відповідають головним квантовим числам n2 та n2.

Строго кажучи, енергія фотона повинна бути дещо більшою, оскільки частина енергії та імпульсу фотона передається атому як цілому і надає йому деяку швидкість. Однак цей ефект незначний і в елементарній фізиці не враховується.

 

 

3)

Атом Гідрогену може переходити в збуджений стан у результаті зіткнення з іншими атомами. В такому випадку зберігається імпульс системи та її повна енергія (вона включає кінетичну енергію атомів, енергію електрона в атомі до і після зіткнення, а при необхідності й енергію фотона).

Задача 20.1. Згідно з теорією Бора, електрон в атомі Гідрогену може рухатися тільки по таких колових орбітах, для яких добуток імпульсу електрона на довжину орбіти кратний сталій Планка: \(mv\cdot{2}\pi{r}=nh\)n = 1, 2, 3,… Виходячи з цього, визначити кутову швидкість електрона \(\omega\) на другій орбіті (n = 2).

Задача 20.2. У спектрі випромінювання атомарного Гідрогену при заданих умовах збудження спостерігається тільки три спектральні лінії. Визначити довжини хвиль цих ліній \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3}\).

Задача 20.3Збуджені атоми Гідрогену знаходяться на n-ому енергетичному рівні. Визначити повну кількість ліній N, що спостерігаються у спектрі випромінювання цих атомів.

Задача 20.4Електрон в нерухомому атомі Гідрогену знаходиться на енергетичному рівні n2 = 2. Визначити швидкість v руху атома після випромінювання фотона.

Задача 20.5На нерухомий атом Гідрогену налітає інший атом Гідрогену. До зіткнення обидва атоми знаходилися в основному стані (n1 = 1). Визначити мінімальну кінетичну енергію W1, яку повинен мати рухомий атом, щоб при прямому непружному зіткненні один з атомів випустив фотон.

 

Задача 20.1

Згідно з теорією Бора, електрон в атомі Гідрогену може рухатися тільки по таких колових орбітах, для яких добуток імпульсу електрона на довжину орбіти кратний сталій Планка:

\(mv\cdot{2}\pi{r}=nh\), n = 1, 2, 3,…

Виходячи з цього,

визначити

кутову швидкість електрона \(\omega\) на другій орбіті (n = 2).

Дано:

\(mv\cdot{2}\pi{r}=nh\)
n = 2
ω - ?

Розв’язання

В теорії Бора рух електрона в атомі Гідрогену навколо ядра розглядається як рух точкового заряду під дією кулонівської сили, яка створює доцентрове прискорення. Тому згідно з рівнянням (2.5) та формулами (10.3) і (2.17) можна записати

\(\frac{ke^{2}}{r^{2}}=m\omega{r}\) \(\Rightarrow\) \(ke^{2}=m\omega^{2}r^{3}\),

(1)

де \(\omega\) – шукана кутова швидкість електрона, \(m=9,1\cdot{10}^{-31}\) кг – його маса,

\(k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=9\cdot{10}^{9}\) м/Ф.

Крім того враховано, що заряди електрона та ядра атома Гідрогену по модулю рівні \(e=1,6\cdot{10}^{-19}\) Кл. Зробимо в заданій у тексті задачі умові стаціонарності заміни \(v=\omega\cdot{r}\), \(h=h/2\pi=\hbar\), і об’єднаємо її з рівнянням (1):

\(\left\{ \begin{matrix} n\hbar=m\omega{r}^{2} \\ m\omega^{2}r^{3}=ke^{2} \\ \end{matrix} \right.\).

Розв’язавши отриману систему відносно , дістанемо

\(\omega=\frac{k^{2}e^{4}m}{\hbar^{3}n^{3}}=\frac{(9\cdot{10}^{9})^{2}\dot(1,6\cdot{10}^{-19})^{4}\cdot{9,1}\cdot{10}^{-31}}{(1,05\cdot{10}^{-34})^{3}2^{3}}=5,2\cdot{10}^{15}\) c-1.

 

Задача 20.2

У спектрі випромінювання атомарного Гідрогену при заданих умовах збудження спостерігається тільки три спектральні лінії.

Визначити

довжини хвиль цих ліній \(\lambda_{1}\), \(\lambda_{2}\), \(\lambda_{3}\).

Дано:

N = 3

λ1, λ2, λ3 - ?

Розв’язання

Згідно з квантовим механізмом випромінювання і умовою (20.1) атом Гідрогену випромінює фотон при переході електрона з будь-якого збудженого енергетичного рівня на будь-який з більш низьких рівнів.

Якщо нижчий рівень сам є збудженим, то через короткий час (час життя збудженого стану) електрон знову переходить на один з більш низьких рівнів. Так продовжується, доки електрон не опиниться в основному стані. З наведених міркувань і схеми енергетичних рівнів (рис.2) неважко збагнути, що найвищий рівень, на якому знаходяться електрони в умовах задачі, відповідає головному квантовому числу n3 = 3. Тільки в цьому випадку можливі лише три переходи, показані стрілками на рис.2, і відповідно - три спектральні лінії з енергіями фотонів \(h\nu_{1}\), \(h\nu_{2}\), \(h\nu_{3}\). Частоти \(\nu_{1}\), \(\nu_{2}\), \(\nu_{3}\) визначаються формулою Бальмера (20.4). Врахувавши значення R = 3,29·1015 Гц, отримаємо

\(\nu_{1}=3,29\cdot{10}^{15}\left(1-\frac{1}{9}\right)=2,93\cdot{10}^{15}\) Гц,

\(\nu_{2}=3,29\cdot{10}^{15}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=4,58\cdot{10}^{14}\) Гц ,

\(\nu_{3}=3,29\cdot{10}^{15}\left(1-\frac{1}{4}\right)=2,47\cdot{10}^{15}\) Гц.

Довжини хвиль визначаються формулою (15.4a), отже

\(\lambda_{1}=\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{3\cdot{10}^{8}}{2,93\cdot{10}^{15}}=102,7\) нм;

\(\lambda_{1}=\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{3\cdot{10}^{8}}{4,58\cdot{10}^{14}}=656\) нм;

\(\lambda_{1}=\frac{c}{\nu_{1}}=\frac{3\cdot{10}^{8}}{2,47\cdot{10}^{15}}=121\) нм;

 

Задача 20.3

Збуджені атоми Гідрогену знаходяться на n-ому енергетичному рівні.

Визначити

повну кількість ліній N, що спостерігаються у спектрі випромінювання цих атомів.

Дано:

n
N - ?

Розв’язання

На рис. 3 схематично показані всі енергетичні рівні, на яких можуть перебувати електрони за умовою задачі.

Відповідь на поставлене запитання можна отримати прямим підрахунком, взявши до уваги, що шукане число N дорівнює сумі кількостей всіх можливих переходів електронів на кожен з рівнів від першого до (n –1)-го. Очевидно, що таких можливих переходів є:

на перший рівень – n - 1,

на другий рівень – n – 2,

на третій рівень – n – 3,

………………………………………….

на (n - 1)-й рівень – 1.

Отримана числова послідовність є арифметичною прогресією з (n - 1) членів, причому a1 = n - 1, an-1 = 1. Сума арифметичної прогресії дорівнює добутку півсуми першого та останнього членів на їх кількість:

\(N=\frac{(n-1)+1}{2}(n-1)\)    \(\Rightarrow\)    \(N=\frac{n(n-1)}{2}\).

Примітка. Той, хто знає основи комбінаторики, може отримати відповідь коротше. У кожному переході беруть участь 2 з n рівнів. Тому кількість переходів дорівнює кількості комбінацій з n по 2:

\(N=C_{n}^{2}=\frac{n!}{2!{(n-2)!}}=\frac{(n-1)n}{2}\).

 

Задача 20.4

Електрон в нерухомому атомі Гідрогену знаходиться на енергетичному рівні n2 = 2.

Визначити

швидкість v руху атома після випромінювання фотона.

Дано:

\(n_{2}=2\)
v - ?

Розв’язання

Фотон випромінюється при переході електрона зі збудженого рівня n2 = 2 на основний рівень n1 = 1. Енергія фотона W визначається співвідношенням (20.1) і формулою (20.3a):

\(W=E_{0}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)=\frac{3E_{0}}{4}\),

(1)

де E0 = 13,6 еВ.

Система атом – фотон є ізольованою, тому в ній зберігається імпульс. Оскільки до випромінювання імпульс системи дорівнював нулю, то

\(0=\vec{p}_{ф}+\vec{p}_{а}\)     \(\Rightarrow\)     \(\vec{p}_{а}=-\vec{p}_{ф}\),

де \(\vec{p}_{а}\), \(\vec{p}_{ф}\) – імпульси атома та випроміненого фотона. Таким чином, атом отримує імпульс "віддачі", рівний за величиною та протилежний за напрямком імпульсу фотона, що випромінюється. Імпульс фотона pф визначається через його енергію W співвідношенням (19.4):

\(p_{ф}=\frac{W}{c}\),

де c – швидкість світла.

В такому разі для модулів маємо:

\(\frac{W}{c}=mv_{а}\)     \(\Rightarrow\)     \(v=\frac{W}{m_{а}c}\),

де \(m_{а}=1,67\cdot{10}^{-27}\) кг – маса атома Гідрогену. Підставивши в цей вираз значення W з виразу (1), отримаємо

\(v=\frac{3E_{0}}{4m_{а}c}\).

Виразивши величину E0 = 13,6 еВ у джоулях і виконавши обчислення, дістанемо відповідь:

\(v=\frac{3\cdot{13,6}\cdot{1,6}\cdot{10}^{-19}}{4\cdot{1,67}\cdot{10}^{-27}\cdot{3}\cdot{10}^{8}}\approx\) 3,26 м/с.

Примітка. Внаслідок віддачі атом отримує не тільки імпульс, а й деяку кінетичну енергію Wа. Тому, строго говорячи, енергія фотона менша від значення (1) на величину Wа. Але підрахунок показує, що це абсолютно нехтовний ефект:

\(W_{а}=\frac{m_{а}v^{2}}{2}=8,87\cdot{10}^{27}\) Дж = \(5,5\cdot{10}^{-8}\) еВ.

В той же час енергія фотона

\(W=\frac{3\cdot{13,6}}{4}=10,2\) еВ.

Отже Wа << W.

 

Задача 20.5

На нерухомий атом Гідрогену налітає інший атом Гідрогену. До зіткнення обидва атоми знаходилися в основному стані (n1 = 1).

Визначити

мінімальну кінетичну енергію W1, яку повинен мати рухомий атом, щоб при прямому непружному зіткненні один з атомів випустив фотон.

Дано:

n1 = 1
W1 - ?

Розв’язання

Зіткнення атомів відбувається з виконанням законів збереження енергії та імпульсу. При непружному зіткненні частина кінетичної енергії налітаючого атома перетворюється на внутрішню енергію, що означає перехід одного або двох атомів у збуджений стан. Мінімальна необхідна енергія очевидно відповідає переходу одного атома з основного стану (n1 = 1) у перший збуджений (n2 = 2). При зворотному переході цей атом випускає фотон.

За законом збереження енергії

\(W_{1}=W_{2}+\Delta{W}\),

(1)

де W1 – кінетична енергія атома, що налітає, W2 – кінетична енергія атомів після непружного зіткнення, \(\Delta{W}\) – зміна внутрішньої енергії, тобто енергія збудження.

Згідно виразами (20.1) і (20.3a)

\(\Delta{W}=E_{0}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)\).

(2)

За законом збереження імпульсу

\(p_{1}=p_{2}\),

(3)

де p1 – імпульс атома, що налітає, p2 – імпульс атомів після непружного удару.

Імпульс і кінетична енергія зв'язані співвідношенням (4.3б)

\(W=\frac{p^{2}}{2m}\)     \(\Rightarrow\)     \(p=\sqrt{2mW}\).

Тому вираз (3) можна записати у вигляді

\(\sqrt{2mW_{1}}=\sqrt{2\cdot{2}nW_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(W_{1}=2W_{2}\),

(4)

де враховано, що після непружного удару атоми рухаються разом, як одна частинка з масою 2m (m – маса одного атома). З огляду на вирази (2) і (4), формула (1) набуває вигляду

\(W_{1}=\frac{W_{1}}{2}+E_{0}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)\)     \(\Rightarrow\)     \(W_{1}=E_{0}\left(\frac{1}{n_{1}^{2}}-\frac{1}{n_{2}^{2}}\right)\).

Підставивши сюди значення E0 = 13,6 еВ, n1 = 1, n2 = 2, дістанемо:

\(W_{1}=2\cdot13,6\cdot\left(1-\frac{1}{4}\right)\) = 20,4 еВ.