Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс

Приклади розв'язування задач

Змінний струм

Задачі, в яких розглядаються характеристики змінного електричного струму, не вимагають спеціальних рекомендацій.

В задачах на змінний струм (якщо немає спеціальних вказівок) завжди задається діюче (ефективне) значення сили струму і напруги.

Задача 14.8Неонова лампочка горить, коли напруга на її електродах перевищує строго певне значення – напругу запалення Uз (незалежно від полярності). Лампочку включають в мережу з діючим значенням напруги, рівним напрузі запалення, U = UзВизначити, яку частину часу \(\eta\) (в частках періоду) горить лампочка.

Задача 14.9У мережу змінного струму з частотою \(\nu\) = 50 Гц послідовно включені резистор R = 100 Ом і два однакові конденсатори по C = 30 мкФ. Один з конденсаторів пробивається. (При електричному пробої в діелектрику, який заповнює конденсатор, утворюється провідний канал, який сполучає (закорочує) пластини конденсатора). Визначити відношення сил струмів в колі до (I1) та після (I2) пробою одного з конденсаторів. 

Задача 14.10Якщо котушку з індуктивністю L = 0,03 Гн приєднати до батареї з нульовим внутрішнім опором і ЕРС \(\mathcal{E}\) = 9 В (рис.10а), то сила струму в котушці I1 = 1 A. Визначити силу струму в котушці I2, якщо її приєднати до джерела змінного струму з частотою \(\nu=50\) Гц і напругою \(U=\mathcal{E}\) (рис.10б)

Задача 14.11Послідовно з’єднанні конденсатор C, котушка індуктивності L = 0,338 Гн і резистор R = 2 Ом підключені до джерела напруги U = 220 В з частотою \(\nu=50\) Гц. Визначити: А) ємність конденсатора C, при якій струм у колі буде максимальним; Б) напруга на кожному з елементів схеми (конденсаторі UC, котушці UL, резисторі UR) при максимальному струмі.

Задача 14.12Електричне коло складається з послідовно з’єднаних котушки індуктивності L = 6 мкГн, конденсатора С = 0,01 мкФ і резистора R = 0,5 Ом. Визначити потужність P, яку необхідно підводити від джерела змінної напруги, щоб амплітуда напруги на конденсаторі при резонансі була U = 10 В.

Задача 14.13Трансформатор, що підвищує напругу від U1 = 100 В до U2 = 3300 В, має замкнуте осердя у вигляді кільця. Крізь кільце пропущений дріт, кінці якого приєднані до вольтметра (рис.13). Вольтметр показує U = 0,5 В. Визначити кількість витків первинної N1 і вторинної N2 обмоток.

Задача 14.14Трансформатор має осердя, показане на рис.14. Якщо обмотку I підключити до джерела з напругою U1 = 160 В, то напруга на обмотці II буде дорівнювати U. Джерело U1 відключають від обмотки I, і обмотку II підключають до джерела напруги U. Вважаючи, що магнітний потік ділиться порівну між розгалуженнями осердя визначити напругу U2 на виводах обмотки I. Опором обмотки нехтувати.

Задача 14.15На первинну обмотку знижувального трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 20 подана напруга U1 = 220 В. При цьому у вторинній обмотці, яка замкнута на певне навантаження, тече струм I2 = 5 А. Активний опір вторинної обмотки r2 = 0,5 Ом. Нехтуючи втратами у первинній обмотці, визначити напругу \(U_{2}\) на клемах вторинної обмотки.

 

Задача 14.8

Неонова лампочка горить, коли напруга на її електродах перевищує строго певне значення – напругу запалення Uз (незалежно від полярності). Лампочку включають в мережу з діючим значенням напруги, рівним напрузі запалення, U = Uз.

Визначити,

яку частину часу \(\eta\) (в частках періоду) горить лампочка.

Дано:

\(U=U_{з}\)
\(\eta\) - ?

Розв’язання

Відповідно до означення (формула 14.36), діюче (або ефективне) значення напруги дорівнює

\(U=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}\),

де Um – амплітуда напруги.

Залежність напруги від часу визначається законом (14.17):

\(u=U_{m}\sin\omega{t}\),

Графік цієї функції, а також рівні діючого значення напруги і рівного йому напруги запалення показані на рис.8. З нього зрозуміло, що лампочка горітиме в проміжках часу \(\left[t_{1},\ t_{2}\right]\) і \(\left[t_{3},\ t_{4}\right]\). З симетрії графіка функції \(\sin\omega{t}\) очевидно, що час горіння лампочки протягом одного періоду визначається за формулою

\(\tau=T-4t_{1}\).

Час t1 знайдемо з умови загорання лампочки, враховуючи задану в умові рівність u = Uз:

\(U_{з}=\frac{U_{m}}{\sqrt{2}}=U_{m}\sin\omega{t}_{1}\)    \(\Rightarrow\)    \(\sin\omega{t}_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)    \(\Rightarrow\)    \(\omega{t}_{1}=\frac{\pi}{4}\).

Беручи до уваги, що циклічна частота пов'язана з періодом як \(\omega=2\pi/T\), знаходимо:

\(\frac{2\pi}{T}t_{1}=\frac{\pi}{4}\)    \(\Rightarrow\)    \(t_{1}=\frac{T}{8}\).

Отже

\(\tau=T-4\frac{T}{8}=\frac{T}{2}\)    \(\Rightarrow\)    \(\eta=\frac{\tau}{T}=0,5=50\) %.

Отже, лампочка горітиме половину часу, протягом якого вона підключена до електромережі.

 

Задача 14.9

У мережу змінного струму з частотою \(\nu\) = 50 Гц послідовно включені резистор R = 100 Ом і два однакові конденсатори по C = 30 мкФ (рис.9). Один з конденсаторів пробивається. (При електричному пробої в діелектрику, який заповнює конденсатор, утворюється провідний канал, який сполучає (закорочує) пластини конденсатора).

Визначити

відношення сил струмів в колі до (I1) та після (I2) пробою одного з конденсаторів. (Якщо говорять "сила струму" або "напруга" в колі змінного струму, то завжди мають на увазі діючі значення).

Дано:

\(\nu\) = 50 Гц
R = 100 Ом
C = 30 мкФ = 3·10-5 Ф
\(I_{1}/I_{2}\) - ?

Розв’язання

Унаслідок пробою, замість початкового кола (рис.9–1а) утворюється нове коло (рис.9–1б). Сила змінного струму в колі визначається законом Ома. Тому шукане відношення дорівнює оберненому відношенню імпедансів:

\(\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{Z_{1}}{Z_{2}}\).

Оскільки в колі відсутня індуктивність, то імпеданс кола

\(Z=\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}\).

Реактивний ємнісний опір XC визначається формулою (14.23)

\(X_{C}=\frac{1}{2\pi\nu{C}}\).

Враховуючи, що в даній задачі C2 = C, а C1 = C/2 (див. формулу (10.26)), знаходимо:

\(Z_{1}=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi\nu(C/2)}\right)^{2}}\) = 234,6 Ом.

\(Z_{2}=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{2\pi\nu{C}}\right)^{2}}\) =145,8 Ом.

Таким чином:

\(\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{145,8}{234,6}\approx\) 0,62,

тобто сила струму після пробою збільшиться в \(\approx{1,6}\) рази.

 

Задача 14.10

Якщо котушку з індуктивністю L = 0,03 Гн приєднати до батареї з нульовим внутрішнім опором і ЕРС \(\mathcal{E}\) = 9 В (рис.10а), то сила струму в котушці I1 = 1 A.

Визначити

силу струму в котушці I2, якщо її приєднати до джерела змінного струму з частотою \(\nu=50\) Гц і напругою \(U=\mathcal{E}\) (рис.10б)

Дано:

L = 0,03 Гн
\(\mathcal{E}\) = 9 В
\(I_{1}\) = 1 A
\(\nu=50\) Гц
\(U=\mathcal{E}\)
I2 - ?

Розв’язання

В першому випадку в котушці тече постійний струм, сила якого залежить тільки від активного опору R (опора дроту, яким намотана котушка) і ЕРС джерела. Еквівалентна схема кола для цього випадку показана на рис.10а. Якщо ж струм змінний, то повний опір кола визначається не тільки опором дроту R, але й індуктивністним опором котушки XL (рис.10б). Відповідно до закону Ома для постійного (11.15) і змінного (14.30) струму маємо:

 

\(I_{1}=\frac{\mathcal{E}}{R}\),

\(I_{2}=\frac{U}{Z}\).

(1)

Звідси, з урахуванням умови \(U=\mathcal{E}\), одержуємо:

 

\(\frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{R}{Z}\)    \(\Rightarrow\)    \(I_{2}=I_{1}\frac{R}{Z}\),

(2)

де Z – імпенданс (повний опір) котушки. Оскільки в колі немає конденсатора, то опір ємності XC = 0, і з формул (14.31) і (14.28) випливає

\(Z=\sqrt{R^{2}+(2\pi\nu{L})^{2}}\).

Підставивши цей вираз у формулу (2), отримаємо:

 

\(I_{2}=I_{1}\frac{R}{\sqrt{R^{2}+(2\pi\nu{L})^{2}}}\) = \(I_{1}\frac{1}{\sqrt{1+\left(2\pi\nu{L}/{R}\right)^{2}}}\).

(3)

З формули (1) \(R=\mathcal{E}/I_{1}\), тому остаточна відповідь має вигляд:

\(I_{2}=\frac{1}{\sqrt{1/I_{1}^{2}+\left(2\pi\nu{L}/\mathcal{E}\right)^{2}}}\).

Виконавши обчислення одержимо:

I2 = 0,7 A.

 

Задача 14.11

Послідовно з’єднанні конденсатор C, котушка індуктивності L = 0,338 Гн і резистор R = 2 Ом підключені до джерела напруги U = 220 В з частотою \(\nu=50\) Гц (рис.11)

Визначити:

А) ємність конденсатора C, при якій струм у колі буде максимальним;

Б) напруга на кожному з елементів схеми (конденсаторі UC, котушці UL, резисторі UR) при максимальному струмі.

Дано:

L = 0,338 Гн
R = 2 Ом
\(\nu=50\) Гц
C - ?
UC, UL, UR - ?

Розв’язання

А) Струм в колі (рис.11) буде найбільшим при мінімальному значенні повного опору, тобто при виконанні умови Z = R (див. формули (14.31), (14.31a)). Тому

\(\omega{L}-\frac{1}{\omega{C}}=0\)     \(\Rightarrow\)     \(\omega{L}=\frac{1}{\omega{C}}\).

Звідси знаходимо:

\(C=\frac{1}{\omega^{2}L}=\frac{1}{(2\pi\nu)^{2}L}=\frac{1}{(2\pi\cdot{50})^{2}\cdot{0,338}}=3\cdot{10^{-5}}\) Ф = 30 мкФ.

Б) За законом Ома (14.30) при Z = R маємо:

\(I_{m}=\frac{U}{R}\).

Підставивши цей вираз у формули (14.24), (14.29), (14.20), знаходимо:

\(U_{C}=\frac{I}{\omega{C}}=\frac{U}{2\pi\nu{CR}}=\frac{220}{22\cdot{2}\cdot{3,14}\cdot{50}\cdot{3}\cdot{10^{-5}}}=1061\) В;

\(U_{L}=I\omega{L}=\frac{U}{R}2\pi\nu{L}=\frac{220}{22}\cdot{2}\cdot{3,14}\cdot{50}\cdot{0,338}=1061\) В.

В отриманих результатах впадає в очі здавалося б парадоксальний факт – напруги на конденсаторі і котушці майже в 5 разів перевищують напругу джерела, а напруга на резисторі дорівнює напрузі джерела так, ніби конденсатора і котушки у колі немає. Ці особливості зв'язані з тим, що напруги на котушці і конденсаторі мають протилежні фази і виявляються рівними по величині.

 

Задача 14.12

Електричне коло складається з послідовно з’єднаних котушки індуктивності L =6 мкГн, конденсатора С = 0,01 мкФ і резистора R = 0,5 Ом.

Визначити

потужність P, яку необхідно підводити від джерела змінної напруги, щоб амплітуда напруги на конденсаторі при резонансі була U = 10 В.

Вказівка: Для змінного струму слово "потужність" без спеціальних домовленостей  означає середню потужність за період.

Дано:

L =6 мкГн = 6·10-6 Гн
С = 0,01 мкФ = 10-8 Ф
R = 0,5 Ом
U = 10 В
P - ?

Розв’язання

Схема заданого кола зображена на рис.12. В колі змінного струму енергію споживає тільки резистор і вона визначається формулами (14.33), (14.34). В умовах резонансу з формул (14.31a), (14.32) і (14.34), маємо:

\(Z=R\),    \(\cos\varphi=1\)

Тому потужність, яка виділяється в колі, відповідно до формул (14.33) і (14.30), дорівнює:

 

\(P=\frac{1}{2}I_{р}U_{р}=\frac{1}{2}I_{р}^{2}R\),

(1)

де Iр – резонансна амплітуда сили струму в колі.

Значення Iр знаходимо через задану величину Uр за допомогою закону Ома (формула (14.24)), врахувавши вираз (14.32):

\(I_{р}=\frac{U_{р}}{X_{р}}=\omega{C}U_{р}=\frac{CU_{р}}{\sqrt{LC}}\)     \(\Rightarrow\)    \(I_{р}=U\sqrt{\frac{C}{L}}\).

Підставивши цей вираз у формулу (1), отримаємо відповідь:

\(P=\frac{RCU_{р}^{2}}{2L}\approx{4,17}\cdot{10^{-2}}\) Вт = 41,7 мВт.

 

Задача 14.13

Трансформатор, що підвищує напругу від U1 = 100 В до U2 = 3300 В, має замкнуте осердя у вигляді кільця. Крізь кільце пропущений дріт, кінці якого приєднані до вольтметра (рис.13). Вольтметр показує U = 0,5 В.

Визначити
кількість витків первинної N1 і вторинної N2 обмоток.

Дано:

\(U_{1}\) = 100 В
\(U_{2}\) = 3300 В
\(U\) = 0,5 В
N1, N2 - ?

Розв’язання

Дріт разом з вольтметром утворюють замкнутий контур. Його поверхня пронизується магнітним потоком, створеним струмом в первинній обмотці. Це дозволяє вважати дріт (разом з вольтметром) обмоткою трансформатора, що має один виток. Для цієї "обмотки" формула трансформатора (14.39) набуває вигляд:

\(\frac{U}{U_{1}}=\frac{1}{N_{1}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{1}=\frac{U_{1}}{U}=\frac{100}{0,5}=200\).

Таким чином, первинна обмотка трансформатора складається з N1 = 200 витків. Число витків вторинної обмотки трансформатора N2 також знаходимо з формули (14.39):

\(\frac{U_{1}}{U_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{2}=N_{1}\frac{U_{2}}{U_{1}}=200\cdot\frac{3300}{100}=6600\),

або

\(\frac{U}{U_{2}}=\frac{1}{N_{2}}\)     \(\Rightarrow\)     \(N_{2}=\frac{U_{2}}{U}=\frac{3300}{0,5}=6600\).

 

Задача 14.14

Трансформатор має осердя, показане на рис.14. Якщо обмотку I підключити до джерела з напругою U1 = 160 В, то напруга на обмотці II буде дорівнювати U. Джерело U1 відключають від обмотки I, і обмотку II підключають до джерела напруги U. Вважаючи, що магнітний потік ділиться порівну між розгалуженнями осердя

визначити

напругу U2 на виводах обмотки I. Опором обмотки нехтувати.

Дано:

\( {U}_{1}\) = 160 В 
U2 - ?

Розв’язання

Припустимо, що кількість витків в обмотках I і II рівні N1 і N2 відповідно. Тоді напруга на обмотці I згідно з формулою (12.12)

 

\(U_{1}=N_{1}\Phi_{1}^{\prime}(t)\),

(1)

де \(\Phi_{1}\) – магнітний потік, створений в осерді струмом в обмотці I, \(\Phi_{1}^{\prime}(t)\) – похідна магнітного потоку по часу. Оскільки потік \(\Phi_{1}\) ділиться порівну між розгалуженнями, обмотку II пронизує потік \(\Phi_{2}=\Phi_{1}/2\), індукуючи напругу U, яка дорівнює ЕРС у цій обмотці (обмотка розімкнена):

 

\(U=N_{2}\Phi_{2}^{\prime}(t)=\frac{N_{2}}{2}\Phi_{1}^{\prime}(t)\).

(2)

З формули (1) і (2) знаходимо

 

\(\frac{U}{U_{1}}=\frac{N_{2}}{2N_{1}}\).

(3)

Якщо джерело напруги U підключити до обмотки II, то міркуючи аналогічно попередньому, нескладно отримати

 

\(\frac{U_{2}}{U}=\frac{N_{1}}{2N_{2}}\).

(4)

Помноживши отриманий вираз (4) на (3), знаходимо відповідь:

\(\frac{U_{2}}{U_{1}}=\frac{1}{4}\)     \(\Rightarrow\)     \(U_{2}=\frac{U_{1}}{4}=\frac{160}{4}=40\) В.

 

Задача 14.15

На первинну обмотку знижувального трансформатора з коефіцієнтом трансформації k = 20 подана напруга U1 = 220 В. При цьому у вторинній обмотці, яка замкнута на певне навантаження, тече струм I2 = 5 А. Активний опір вторинної обмотки r2 = 0,5 Ом. Нехтуючи втратами у первинній обмотці,

Визначити

напругу \(U_{2}\) на клемах вторинної обмотки.

Дано:

k = 20
\(U_{1}=\) 220 В
\(I_{2}=\) 5 A
\(r_{2}=\) 0,5 Ом
\(U_{2}\) - ?

Розв’язання

Відповідно до означення (14.39), коефіцієнт трансформації

 

\(k=\frac{\mathcal{E}_{1}}{\mathcal{E}_{2}}\).

(1)

де \(\mathcal{E}_{1}\) – ЕРС самоіндукції в первинній обмотці, \(\mathcal{E}_{2}\) – ЕРС індукції у вторинній обмотці.

За умовою в первинній обмотці втрат немає, тому можна записати:

 

\(U_{1}=\mathcal{E}_{1}\).

(2)

Для вторинної обмотки, згідно із законом Ома (формула (11.17)),

 

\(U_{2}=\mathcal{E}_{2}-I_{2}r_{2}\).

(3)

де \( I_{2}r_{2}\) – спад напруги на активному опорі обмотки.

Відповідно до співвідношень (1) і (2),

\(\mathcal{E}_{2}=\frac{\mathcal{E}_{1}}{k}=\frac{U_{1}}{k}\).

Підставивши цей вираз в співвідношення (3), отримаємо відповідь:

\(U_{2}=\frac{U_{1}}{k}-I_{2}r_{2}\) = 8,5 В.