ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Приклади розв’язування задач
Енергія гармонічних коливань
При розв'язуванні задач на енергію гармонічних коливань часто буває необхідно скласти рівняння енергетичного балансу (13.21a) з використанням виразів (13.19), (13.20), (13.21).
У зв'язку з цим нагадаємо, що формули (13.20) і (13.19) можна застосоувати не лише до коливань вантажу на пружині, але й до будь-яких інших гармонічних коливань. При цьому k - коефіцієнт пропорційності між рівнодійною силою і зміщенням тіла з положення рівноваги.
Нагадаємо також, що вигляд тригонометричної функції в рівняннях (13.19) та (13.20) не відомий заздалегідь, а залежить від вибору вихідної функції, що описує коливання.
Задача 13.8. Математичний маятник з довжиною нитки l здійснює малі коливання. Показати, що потенціальна енергія малих коливань маятника визначається формулою (13.19): \(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\), в якій коефіцієнт k задається виразом (13.16): \(k=\frac{mg}{l}\).
Задача 13.9. Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання, амплітуда коливань A = 2 см. Повна енергія коливань W = 0,3 мДж. Визначити зміщення x з положення рівноваги, при якому на тіло діє повертаюча сила |F| = 22,5 мН.
Задача 13.10. Тіло, прикріплене до пружини жорсткістю k = 1200 Н/м, Здійснює в горизонтальній площині коливання за законом синуса з амплітудою A = 10 см. Нехтуючи тертям і опором повітря, визначити повну W, кінетичну Wк і потенціальну Wп енергії коливань при фазі \(\varphi=50^{\circ}\).
Задача 13.11. Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання в горизонтальній площині. В момент, коли потенціальна енергія системи складає n = 80 % її повної енергії, зміщення тіла з положення рівноваги x = 2 см, а його швидкість v = 3,1 см/с. Визначити період коливань T.
Задача 13.8
Математичний маятник з довжиною нитки l здійснює малі коливання.
Показати,
що потенціальна енергія малих коливань маятника визначається формулою (13.19): \(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}\), в якій коефіцієнт k задається виразом (13.16): \(k=\frac{mg}{l}\).
Розв’язання
Потенціальна енергія маятника обумовлена дією на нього сили тяжіння і виражається формулою
|
\(W_{п}=mgh\), |
(1) |
де m – маса маятника, h – висота підйому над положенням рівноваги (див. рис.8). З рис.8 видно, що
|
\(h=AO-AB=l-l\cos\alpha\) \(\Rightarrow\) \(h=l(1-\cos\alpha)=2l\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\). |
(2) |
Оскільки маятник здійснює малі коливання (\(x\ll{l}\)), то \(\alpha\ll{1}\) рад. Тому \(\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\alpha}{2}\), і вираз (2) набуває вигляду:
\(h=2l\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}=\frac{l\alpha^{2}}{2}\).
Підставивши його у формулу (1) і зробивши заміну \(\alpha=x/l\), отримаємо
\(W_{п}=\frac{mgx^{2}}{2l}=\frac{kx^{2}}{2}\),
де \(k=\frac{mg}{l}\), що і треба було довести.
Ця задача ілюструє універсальність формули (13.19): вона може бути застосовна до будь-яких гармонічних коливань, а не тільки до коливань під дією сили пружності.
Задача 13.9
Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання, амплітуда коливань A = 2 см. Повна енергія коливань W = 0,3 мДж.
Визначити
зміщення x з положення рівноваги, при якому на тіло діє повертаюча сила |F| = 22,5 мН.
Дано: A = 2 см = 0,02 м
W = 0,3 мДж = 3·10-4 Дж
|F| = 22,5 мН = 2,25·10-2 Н
|
x - ?
|
Розв’язання
Повна енергія тіла, що здійснює гармонічні коливання, визначається формулою (13.21):
|
\(W=\frac{kA^{2}}{2}\). |
(1) |
Повертаюча сила в залежності від зміщеня виражається формулою (13.10), причому її модуль
|
\(|F|=kx\), |
(2) |
Виключивши з виразів (1) і (2) величину k, знаходимо:
\(x=\frac{|F|A^{2}}{2W}=\frac{2,25\cdot{10^{-2}}\cdot{4}\cdot{10^{-4}}}{2\cdot{3}\cdot{10^{-4}}}=1,5\cdot{10^{-2}}\) м = 1,5 см.
Задача 13.10
Тіло, прикріплене до пружини жорсткістю k = 1200 Н/м, Здійснює в горизонтальній площині коливання за законом синуса з амплітудою A = 10 см. Нехтуючи тертям і опором повітря,
визначити
повну W, кінетичну Wк і потенціальну Wп енергії коливань при фазі \(\varphi=50^{\circ}\).
Дано: k = 1200 Н/м
A = 10 см = 0,1 м
\(\varphi=50^{\circ}\)
|
W, Wк, Wп - ?
|
Розв’язання
Повна енергія коливань тіла на пружині визначається виразом (13.21):
\(W=\frac{kA^{2}}{2}=\frac{1200\cdot{10^{-2}}}{2}=6\) Дж.
Згідно з умовою, коливання відбуваються за законом
\(x=A\sin(\omega{t}+\varphi_{0})=A\sin\varphi\),
де \(\varphi=\omega+\varphi_{0}\) – фаза коливань. Потенціальна енергія коливань відповідно до формули (13.19)
\(W_{п}=\frac{kx^{2}}{2}=\frac{kA^{2}\sin^{2}\varphi}{2}\)=\(\frac{1200\cdot{10^{-2}}\sin^{2}50^{\circ}}{2}\) = 3,52 Дж.
Оскільки повна енергія рівна сумі кінетичної і потенціальної W = Wк + Wп, то кінетична енергія коливань
Wк = W – Wп = 6 – 3,52 = 2,48 Дж.
Звичайно, кінетичну енергію можна було б шукати як \(W_{к}=\frac{mv^{2}}{2}\), але для цього треба було б визначати швидкість як похідну від координати x по часу, і врахувати, що амплітуда швидкості \(v_{m}=A\omega\), і далі скористатися тим, що \(k=m\omega^{2}\). Все це вимагає додаткових перетворень, а використання закону збереження енергії дозволило одержати значення кінетичної енергії за одну дію.
Задача 13.11
Тіло, прикріплене до пружини, здійснює гармонічні коливання в горизонтальній площині. В момент, коли потенціальна енергія системи складає n = 80 % її повної енергії, зміщення тіла з положення рівноваги x = 2 см, а його швидкість v = 3,1 см/с.
Визначити
період коливань T.
Дано: n = 80 %
x = 2 см
v = 3,1 см/с
|
T - ?
|
Розв’язання
Період коливань тіла на пружині визначається формулою:
|
\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\). |
(1) |
Відношення m/k знайдемо з умови збереження повної енергії коливань:
|
\(W=W_{к}+W_{п}=\frac{mv^{2}}{2}+\frac{kx^{2}}{2}=W_{п}\left(\frac{mv^{2}}{kx^{2}}+1\right)\), |
(2) |
де \(W_{к}=mv^{2}/2\) – кінетична енергія, \(W_{п}=kx^{2}/2\) – потенціальна енергія. З формули (2) одержуємо:
\(\frac{m}{k}=\frac{x^{2}}{v^{2}}\left(\frac{W}{W_{п}}-1\right)\).
Підставивши цей вираз у формулу (1), маємо
\(T=2\pi\frac{x}{v}\sqrt{\frac{W}{W_{п}}-1}=2\pi\cdot\frac{2}{3,1}\sqrt{\frac{1}{0,8}-1}\approx\) 2 c.
Підкреслимо, що методи розв’язування задач, які ґрунтуються на законі збереження енергії, часто дозволяють визначити період (частоту) коливань простіше, ніж інші методи.