ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ". Компенсаційний курс
Приклади розв’язування задач
Динаміка гармонічних коливань
Для аналізу і визначення періоду (частоти) гармонічних коливань у складній коливальній механічній системі необхідно виконати наступне.
1) |
Показати на рисунку вектори всіх прикладених сил і рівнодійної для довільного положення тіла. Якщо рівнодійна напрямлена до положення рівноваги, то тіло здійснює коливання. |
|
|
2) |
Встановити вираз залежності проекції рівнодійної сили залежно від зміщення тіла з положення рівноваги. Якщо він задовольняє умові (13.10), то коливання є гармонічними. |
|
|
3) |
Використовуючи отриманий в п.2) вираз коефіцієнта пропорційності між силою і зміщенням, за формулами (13.12), (13.12a), або (13.13), визначити період або частоту коливань. |
Задача 13.4. До стіни, нахиленої під кутом \(\alpha=3^{\circ}\) до вертикалі, прикріплена нитка математичного маятника завдовжки l = 0,5 м. Нитку відвели на кут \(\Theta_{0}=6^{\circ}\) від вертикалі і відпустили. Вважаючи удар кульки маятника об стіну абсолютно пружним, визначити період коливань маятника T.
Задача 13.5. Маленька кулька масою m = 20 г, що несе заряд q = 1 мкКл, підвішена на тонкій шовковій нитці завдовжки l = 40 см і здійснює малі коливання у вертикальному електричному полі напруженістю E = 50 кВ/м. Визначити період коливань T, якщо вектор \(\vec{E}\) напрямлений: А) вгору (T1); Б) вниз (T2).
Задача 13.6. В середині закритого з обох торців горизонтального циліндра довжиною 2l = 0,8 м, розташований поршень масою m = 2 кг і площею S = 50 см2. Тиск повітря в циліндрі P = 50 кПа. В результаті легкого поштовху поршень починає здійснювати малі коливання. Нехтуючи товщиною поршня і тертям, визначити період коливань T. Температуру повітря вважати постійною.
Задача 13.7. На вертикальній пружині жорсткістю k = 245 Н/м укріплена горизонтальна чашка масою M = 1,5 кг. З висоти h = 20 см на чашку падає шматок пластиліну масою m = 0,5 кг і прилипає до неї. Визначити період T і амплітуду xm коливань чашки.
Задача 13.4
До стіни, нахиленої під кутом \(\alpha=3^{\circ}\) до вертикалі, прикріплена нитка математичного маятника завдовжки l = 0,5 м. Нитку відвели на кут \(\Theta_{0}=6^{\circ}\) від вертикалі (рис.4) і відпустили. Вважаючи удар кульки маятника об стіну абсолютно пружним,
визначити
період коливань маятника T.
Дано: \(\alpha=3^{\circ}\)
l = 0,5 м
\(\Theta_{0}=6^{\circ}\)
|
T - ?
|
Розв’язання
Період – це час, за який тіло здійснює одне повне коливання. В даній задачі період дорівнює часу, за який маятник з початкового положення дійде до стіни і повернеться назад. Оскільки удар об стіну пружний, швидкість маятника при ударі змінює тільки напрям, не змінюючи величини. Звідси очевидно, що час t0 руху з крайнього положення до стіни і назад однаковий, отже період коливань
|
T = 2t0. |
(1) |
Зміщення маятника з положення рівноваги задається кутом \(\Theta\) відхилення нитки від вертикалі. Визначимо закон, за яким змінюється з часом цей кут. Оскільки \(\Theta\ll{1}\) рад, координата x маятника при вільному русі від початкового положення і до удару об стіну виражається рівнянням (13.4):
|
\(x=x_{0}\sin(\omega{t})\), |
(2) |
де частота \(\omega\) визначається формулою (13.17).
Розділивши обидві частини рівняння (2) на довжину маятника l і врахувавши малість кутів \(\Theta\) і \(\Theta_{0}\), отримаємо:
\(\Theta=\Theta_{0}\cos(\omega{t})\).
У момент удару об стіну t = t0 кут відхилення \(\Theta=-\alpha\), тому
\(-\alpha=\Theta_{0}\cos\omega{t}_{0}\) \(\Rightarrow\) \(t_{0}=\frac{1}{\omega}\mathrm{arccos}\left(\frac{\alpha}{\Theta_{0}}\right)=\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\pi-\mathrm{arccos\frac{\alpha}{\Theta_{0}}}\right)\).
Підставимо цей вираз у формулу (1) і остаточно отримаємо:
\(T=2\sqrt{\frac{l}{g}}\left(\pi-\mathrm{arccos\frac{\alpha}{\Theta_{0}}}\right)=2\sqrt{\frac{0,5}{9,8}}\left(\pi-\mathrm{arccos}\frac{3}{6}\right)\approx\) 0,95 c,
де кути виражені в радіанах, \(\mathrm{arccos}\frac{3}{6}=\frac{\pi}{3}\).
Задача 13.5
Маленька кулька масою m = 20 г, що несе заряд q = 1 мкКл, підвішена на тонкій шовковій нитці завдовжки l = 40 см і здійснює малі коливання у вертикальному електричному полі напруженістю E = 50 кВ/м (рис.5).
Визначити
період коливань T, якщо вектор \(\vec{E}\) напрямлений:
А) вгору (T1);
Б) вниз (T2).
Дано: m = 20 г = 0,02 кг
q = 1 мкКл = 10-6 Кл
l = 40 см = 0,4 м
E = 50 кВ/м = 5·104 В/м
|
T1, T2 - ?
|
Розв’язання
Нехай кулька рухається від положення рівноваги (рис.5-1). На кульку діє сила тяжіння \(m\vec{g}\), сила натягу нитки \(\vec{F}_{н}\) і сила \(\vec{F}_{е}=q\vec{E}\) в електричному полі. Якщо вектор \(\vec{E}\) направлений вертикально вгору, то і сила \(\vec{F}_{е}\) також направлена вгору.
Проекції сил на напрям вектора швидкості дорівнює відповідно: \(-mg\sin\vartheta\), 0 і \(qE\sin\vartheta\). Проекція сили натягну нитки на напрям вектора \(\vec{v}\) дорівнює нулю, оскільки цей вектор перпендикулярний нитці (направлений по дотичній до траєкторії).Проекція рівнодійної цих сил
|
\(F=-(mg-qE)\sin\vartheta=-\frac{(mg-qE)}{l}\cdot{x}=-kx\), |
(1) |
де введено позначення \(k=(mg-qE)/l\), і враховано, що \(\sin\vartheta=x/l\), оскільки відхилення від положення рівноваги x є малим у порівнянні з довжиною нитки l від положення рівноваги.
Вигляд виразу (1) співпадає з формулою (13.10). Це значить, що коливання гармонічні і згідно формулі (13.13), їх період
|
\(T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\) = \(2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg-qE}}\). |
(2) |
Якби ми припустили спочатку, що вектор \(\vec{E}\) направлений вертикально вниз, то проекція вектора \(\vec{F}_{е}\) на напрям вектора швидкості була б негативною, і період коливань був би
|
\(T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg+qE}}\). |
(3) |
Об'єднавши вирази (2) і (3), можна записати:
|
\(T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{mg\pm{qE}}}\). |
(4) |
Підставивши сюди числові значення величин, знаходимо
\(T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot{10^{-2}}\cdot{0,4}}{2\cdot{10^{-2}}\cdot{9,8}-10^{-6}\cdot{5}\cdot{10^{4}}}}\) = 1,47 c;
\(T_{1}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot{10^{-2}}\cdot{0,4}}{2\cdot{10^{-2}}\cdot{9,8}+10^{-6}\cdot{5}\cdot{10^{4}}}}\) = 1,13 c
Корисно провести аналіз загального виразу (4).
1) Якщо електричне поле відсутнє (E = 0), то
\(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\),
що природно співпадає з формулою (13.18) періоду вільних коливань математичного маятника.
2) Якщо виявиться, що qE > mg, то формально під коренем виходить від’ємна величина, чого бути не може. Річ у тім, що за таких умов рівноважним є положення маятника, показане на рис.5-2, і маятник здійснюватиме коливання відносно цього положення з періодом
\(T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{qE-mg}}\).
3) У випадку mg = qE повертаюча сила F = 0 і період коливань \(T\to\infty\), тобто кулька знаходиться в стані байдужої рівноваги.
Задача 13.6
В середині закритого з обох торців горизонтального циліндра довжиною 2l = 0,8 м, розташований поршень масою m = 2 кг і площею S = 50 см2. Тиск повітря в циліндрі P = 50 кПа. В результаті легкого поштовху поршень починає здійснювати малі коливання. Нехтуючи товщиною поршня і тертям,
визначити
період коливань T. Температуру повітря вважати постійною.
Дано: 2l = 0,8 м
m = 2 кг
S = 50 см2 = 5·10-3 м2
P = 50 кПа = 5·104 Па
|
T - ?
|
Розв’язання
В положенні рівноваги поршня (рис.6а) тиск в обох половинах циліндра однаковий. При зсуві поршня на відстань x, наприклад управо (рис.6б), тиск у лівій частині зменшується, а у правій - зростає. У результаті виникають сили F1 = P1S і F2 = P2S (рис.6б), рівнодійна яких напрямлена до положення рівноваги (повертаюча сила). Знайдемо її вираз.
Оскільки за умовою температура повітря не змінюється, зміни тиску в частинах циліндра зв'язані законом Бойля-Маріотта (формула (7.10)). Якщо поршень змістився на x, то об'єм правої частини V1 = S(l - x), і тоді
\(PS=P_{1}S(l-x)\) \(\Rightarrow\) \(P_{1}=\frac{Pl}{l-x}\).
Аналогічно, для лівої частини
\(PS=P_{2}S(l+x)\) \(\Rightarrow\) \(P_{2}=\frac{Pl}{l+x}\).
Нехай поршень зміщений управо (рис.6б). Проектуючи сили тиску на вісь OX, для рівнодійної отримаємо:
\(F_{x}=-F_{1}+F_{2}=(-P_{1}+P_{2})S=PlS\left(\frac{1}{l+x}-\frac{1}{l-x}\right)=-PlS\frac{2x}{l^{2}-x^{2}}\).
При малих коливаннях \(x\ll{l}\), в знаменнику можна знехтувати \(x^{2}\) у порівнянні з \(l^{2}\), тоді
|
\(F_{x}=-\frac{2PS}{l}x=-kx\), |
(1) |
де
|
\(k=\frac{2PS}{l}\). |
(2) |
Вираз (1) співпадає з (13.10), отже коливання поршня є гармонічними з періодом, який визначається формулою (13.13):
\(T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2PS}}=2\pi\sqrt{\frac{2\cdot{0,4}}{2\cdot{5}\cdot{10^{-4}}\cdot{5}\cdot{10^{-3}}}}\) = 0,25 c.
Задача 13.7
На вертикальній пружині жорсткістю k = 245 Н/м укріплена горизонтальна чашка масою M = 1,5 кг. З висоти h = 20 см на чашку падає шматок пластиліну масою m = 0,5 кг і прилипає до неї.
Визначити
період T і амплітуду xm коливань чашки.
Дано: k = 245 Н/м
M = 1,5 кг
h = 20 см = 0,2 м
m = 0,5 кг
|
T - ?
xm - ?
|
Розв’язання
Період коливання вантажу на пружині визначається формулою (13.15). Після того, як пластилін прилипнув до чашки, маса вантажу дорівнює m + M, отже період коливань
\(T=2\pi\sqrt{\frac{m+M}{k}}=2\pi\sqrt{0,5+1,5}{245}\) = 0,57 c. | (1) |
Якщо пластилін обережно покласти на чашку, то пружина стиснеться на величину x0 (рис.7), яка знаходиться з умови рівності сил тяжіння і пружності:
|
\(mg=kx_{0}\) \(\Rightarrow\) \(x_{0}=\frac{mg}{k}\). |
(2) |
Очевидно, що це положення є положенням рівноваги системи "пластилін – чашка – пружина". Впавши з висоти h, (рис.7-1) пластилін має швидкість (формула (1.19)).
\(v=\sqrt{2gh}\).
Оскільки тривалість удару мала (частки секунди), то можна вважати, що виконується закон збереження імпульсу. Тому початкова швидкість чашки з пластиліном v0 визначається з рівняння балансу імпульсів:
|
\(mv=(M+m)v_{0}\) \(\Rightarrow\) \(v_{0}=\frac{mv}{m+M}=\frac{m\sqrt{2gh}}{m+M}\). |
(3) |
Нехай коливальний рух чашки після удару відбувається згідно із законом
|
\(x=x_{m}\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\). |
(4) |
Тоді швидкість чашки після удару змінюється з часом згідно із законом
|
\(v(t)=x^{\prime}(t)=-x_{m}\omega\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\). |
(5) |
Для знаходження амплітуди xm виразимо з рівнянь (4) і (5) \(\cos(\omega{t}+\varphi_{0})\) і \(\sin(\omega{t}+\varphi_{0})\), піднесемо їх до квадрату і додамо:
|
\(\frac{x^{2}}{x_{m}^{2}}+\frac{v^{2}}{x_{m}^{2}\omega^{2}}=1\) \(\Rightarrow\) \(x_{m}=\sqrt{x^{2}+\frac{v^{2}}{\omega^{2}}}=\sqrt{x^{2}+\frac{v^{2}T^{2}}{4\pi^{2}}}\). |
(6) |
(Тут ми скористалися формулою (13.3)).
Співвідношення (6) виконується у будь-який момент часу, у тому числі і у момент початку коливань. Тому, підставивши в (6) вирази T, x0, v0 з формул (1), (2) і (3), отримаємо:
\(x_{m}=\sqrt{\left(\frac{mg}{k}\right)^{2}+\left(\frac{m}{M+m}\right)^{2}\cdot\frac{2gh(M+m)}{k}}=\frac{mg}{k}\sqrt{1+\frac{2hk}{(M+m)g}}\).
Обчислення дають:
\(x_{m}=\frac{0,5\cdot{9,8}}{245}\cdot\sqrt{1+\frac{2\cdot{0,2}\cdot{245}}{2\cdot{9,8}}}\) = 0,049 м = 4,9 см.