Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

СТАТИКА. Приклади розв'язування задач

Рівновага тіла з закріпленою віссю обертання

 

Задача 5.5. Конічна колода знаходиться в рівновазі на підпірці, що встановлена на третині довжини колоди від товщого кінця. Якщо підпірку розмістити посередині, а на тонший край посадити людину масою m = 70 кг, то колода знову буде зрівноважена. Визначити масу колоди M.

Задача 5.6. Стрижень масою m = 2 кг і довжиною l = 50 см, який шарнірно прикріплено одним кінцем до вертикальної стіни, за інший кінець утримується під кутом α = 30° до вертикалі горизонтальною ниткою. Визначити силу натягу цієї нитки, якщо до кінця стрижня підвішено  тягар масою m1 = 4 кг.

Задача 5.7. Прут, зігнутий у формі прямого кута з нерівними сторонами, шарнірно підвішено за коротший край. Визначити відношення n довжин сторін кута, якщо менша утворює з вертикаллю кут \(\vartheta =50^{\circ} \).

 

Задача 5.5

Конічна колода знаходиться в рівновазі на підпірці, що встановлена на третині довжини колоди від товщого кінця. Якщо підпірку розмістити посередині, а на тонший край посадити людину масою m = 70 кг, то колода знову буде зрівноважена.

Визначити

масу колоди M.

Дано:

m = 70 кг

M - ?

Розв’язання

З умови зрозуміло, що в першому випадку підпірка  розташована під центром ваги колоди С, (рис. 5.5а). У другому випадку (рис. 5.5б) за умовою рівноваги (5.4) моменти сил

тяжіння \( {M}\vec{g}\) і \( {m}\vec{g}\), що діють на колоду та на людину (рис. 5.5б) відносно осі О мають бути однакові. Плечі цих сил дорівнюють \({{h}_{1}}={l}/{2}\;-{l}/{3}\;={l}/{6}\; \) і \( {{h}_{2}}={l}/{2}\;\), відповідно. Отже,

\( {Mgl}/{6}={mgl}/{2}\);      \( \Rightarrow \)       \( {M}=3m\)  = 210кг.

 

Задача 5.6

Стрижень масою m = 2 кг і довжиною l = 50 см, який шарнірно прикріплено одним кінцем до вертикальної стіни, за інший кінець утримується під кутом α = 30° до вертикалі горизонтальною ниткою.

Визначити

силу натягу цієї нитки, якщо до кінця стрижня підвішено тягар масою m1 = 4 кг.

Дано:

m = 2 кг
l = 0,5 м
α =30°
m1 = 4 кг

F - ?

Розв’язання

Стрижень має закріплену вісь обертання в точці О (рис. 5.6), тож згідно з правилом моментів (5.4),

M1 + M2 + M3 = 0,

(1)

де M1, M2, M3моменти відносно осі О наступних сил: 1) натягу горизонтальної нитки \( \vec{F}\), 2) ваги (сили тяжіння) стрижня \({m}\vec{g}\) і 3) натягу підвісу тягаря \({\vec{T}}\) = ${{m}_{1}}\vec{g}$. Плечі цих сил ОС, ВС і АС (рис. 5.6) дорівнюють: 1) h1 = l·cosα, h2 = (l/2)·sinα  і  h3 = l·sinα, відповідно. Тож, підставивши указані величини сил і пліч в рівняння (1) і, врахувавши знаки моментів, дістанемо відповідь:

\( {l}T\sin\alpha+\frac{l}{2}mg\sin\alpha-lF\cos\alpha={0}\)     \( \Rightarrow \) 

    \(F=\left(\frac{m}{2}+{m}_{1}\right)g\mathrm{tg}\alpha \),

 

і після обчислень

F = 28,3 H.

Задача 5.7

Прут, зігнутий у формі прямого кута з нерівними сторонами, шарнірно підвішено за короткий кінець.

Визначити

відношення n довжин сторін кута, якщо менша утворює з вертикаллю кут \(\vartheta =50^{\circ} \).

Дано:

\(\vartheta =50^{\circ} \)

n - ?

 Розв’язання

Згідно умовою (5.4) при рівновазі прута моменти сил  тяжіння, що діють на частини прута, відносно осі О (рис. 5.7) мають мати однакову величину:

M1 = M2.

Позначимо для їхнього визначення довжину та масу короткої сторони прута як l і m. Тоді для довгої матимемо  nl і nm і для сил тяжіння – mg і nmg, відповідно. Ці сили є прикладені в центрах ваги (посередині) сторін (рис. 5.7), отже, їхні плечі дорівнюють:

\({{h}_{1}}=\frac{l}{2}\sin\vartheta \),

\({{h}_{2}}=\frac{nl}{2}\cos\vartheta -l\sin\vartheta\)

а моменти

\( {{M}_{1}}=\frac{mgl}{2}\sin \vartheta \),

\({M}_{2}=nmgl\left(\frac{n}{2}\cos\vartheta -\sin\vartheta\right)\).


Відтак, прирівнявши ці вирази, після елементарних перетворень отримаємо рівняння

${{n}^{2}}-2n\operatorname{tg}\vartheta -{{\operatorname{tg}}}\vartheta $ = 0,

з якого знайдемо відповідь (від'ємний корінь не має змісту):

\( {n}=\text{tg}\vartheta + \sqrt{\text{t}{{\text{g}}^{2}}\vartheta +\text{tg}\vartheta }\) = 2,8.