Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Розділ 5. СТАТИКА

5.2. Теоретичні відомості. Рівновага твердого тіла, центр ваги

Статична рівновага тіла означає нерухомість його центра мас і відсутність обертання. Тому для забезпечення рівноваги довільного тіла мають бути виконані дві вимоги, що в сукупності складають загальні умови рівноваги твердого тіла. 

 

Перша умова рівноваги твердого тіла є умовою  рівноваги центра мас і гласить:

сума всіх прикладених до тіла сил має дорівнювати нулю:

\( {F}=\sum\limits_{i=1}^{n}\vec{F}_{i}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+\cdots +\vec{F}_{n}=0, \)

(5.3)

або у проекціях на координатні осі

\(\sum\limits_{i}{F}_{xi}=0\);     \(\sum\limits_{i}{F}_{yi}=0.\)

(5.3а)

 Друга умова рівноваги твердого тіла є умовою відсутності обертання і називається правилом моментів:

алгебраїчна сума моментів усіх діючих на тіло сил відносно довільної осі має дорівнювати нулю:

\( \sum\limits_{i}{M}_{i}=0. \)

(5.4)

Це правило треба розуміти так, що при  складанні рівняння (5.4) для зрівноваженого тіла віртуальну вісь обертання можна обирати, як зручно, а не обов'язково в точці дотику до опори чи в точці кріплення підвісу.

При розв'язуванні деяких задач статики використання обох умов рівноваги не є необхідним. Так буває у двох випадках:

1. Моменти реакцій в'язей гарантовано компенсують моменти всіх інших сил. У такому разі тіло може рухатися тільки поступально, і достатньою умовою рівноваги є (5.3). При цьому всі сили можна вважати прикладеними в одній точці, до прикладу, в центрі мас.

2. Якщо тіло має закріплену вісь обертання, то умова (5.3) виконується автоматично. В  такому випадку достатньо скористатися тільки правилом моментів (5.4).

 

Одним із важливих понять статики є

центр ваги – точка прикладання рівнодійної сил тяжіння, що діють на всі частини тіла.

Отже, при підвішуванні тіла за будь-яку точку центр ваги встановлюється з нею на одній вертикалі. На цьому ґрунтується простий лабораторний спосіб визначення центра ваги плоскої пластини. А саме, її підвішують послідовно за дві різні точки, проводять через них вертикалі й на їхньому перетині дістають положення центра ваги. 

При підвішуванні (чи підпиранні) тіла в центрі ваги рівновага є байдужою, тобто не залежить від орієнтації тіла в просторі. Це дозволяє з умов рівноваги тіла із закріпленою віссю обертання (5.4) вивести загальні формули для обчислення положення центра ваги пластини. Для цього подумки підвісимо пластину в центрі ваги С  і розмістимо в її площині  жорстко зв'язану систему координат  так, аби осі ОX і OY мали звичну орієнтацію. В такому разі момент сили тяжіння відносно осі ОZ визначиться формулою

M = mgХс,

 де Хс – координата центра ваги, яка є плечем сили тяжіння. З іншого боку, цей момент складається з моментів сил тяжіння, що діють на всі частинки пластини з масами m й  координатами xi. Отже,

mgХс = $\left( \sum{{{m}_{i}}{{x}_{i}}} \right)g$,

 

і

${{X}_{c}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{x}_{i}}}}{m}$.

(5.5а)

Відтак подумки повернувши тіло разом із системою координат на 90°, отримаємо подібну формулу для координати Y:

${{Y}_{c}}=\frac{\sum{{{m}_{i}}{{y}_{i}}}}{m}$.

(5.5б)

(Примітка. Конкретний розрахунок за цим алгоритмом наведено в розділі ''Статика. Приклади розв'язування задач, Задача 5.18).

 В наведених міркуваннях пластина по умовчанню вважалася тонкою. Проте для товстої пластини третя координата  Zс визначається аналогічною формулою, позаяк між осями ОХ і OZ немає жодної фізичної відміни. Зрозуміло також, що отримані формули є чинними не лише для пластини, а й для тіла довільної форми.

Наостанку зауважимо, що наведені  формули збігаються із формулами (3.6а), отже,

центр ваги тіла збігається з його центром мас.