Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Приклади розв'язування задач

Визначення роботи через силу

Задача 4.1. Брусок маси m повільно тягнуть горизонтальною поверхнею за мотузку, прикладаючи силу під кутом \( \alpha=45^{\circ}\) до горизонтуВизначити роботу A, яку при цьому виконують на шляху S = 6 м при коефіцієнті тертя між бруском і поверхнею \( \mu={0,5}\).

Задача 4.2. По дошці довжиною L, яка  лежить на гладкій підлозі, з одного краю на інший пересувають брусок маси m і довжини l. Коефіцієнт тертя між тілами складає μ. Визначити сумарну роботу сили тертя за час пересування бруска.

Задача 4.3. Канат масою m = 6 кг і довжиною l = 5 м  лежить на підлозі тренажерної зали з висотою стелі H = 6 м.   Визначити роботу, яку треба виконати, аби підвісити канат до стелі.   

Задача 4.1
Задача 4.1

Брусок маси m повільно тягнуть по горизонтальною поверхнею за мотузку, прикладаючи силу під кутом \( \alpha=45^{\circ}\) до горизонту.

Визначити

роботу A, яку при цьому виконують на шляху S = 6 м при коефіцієнті тертя між бруском і поверхнею \( \mu={0,5}\).

Дано:

α = 45°
S = 6 м
μ  = 0,5

A - ?

Розв’язування

Сили, що діють на брусок, показано на рис. 4.1. За означенням (4.1) робота прикладеної до мотузки сили \( \vec{F}\) (рис.1) на шляху S дорівнює

\( {A}=FS\cos\alpha \). (1)

 Позаяк брусок рухається без прискорення,  рівнодійна  сил  \( \vec{F}\), тяжіння \( {m}\vec{g}\), нормальної реакції опори \( \vec{N}\) та тертя \( \vec{F}_{т}\) (рис. 4.1) дорівнює нулю:

\( \vec{F}+\vec{F}_{т}+m\vec{g}+\vec{N}={0}\),

або в проекціях на осі координат

OX:    \( {F}\cos\alpha-F_{т}={0}\),

OY:    \( {F}\sin\alpha+N-mg={0}\).

 Звідси, врахувавши, що \( {F}_{т}=\mu{N}\),  дістанемо

\( {F}=\frac{\mu{mg}}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}\)

Відтак підставимо цей вираз у формулу (1) і знайдемо відповідь:

\( {A}=\frac{\mu{mg}S}{\cos\alpha+\mu\sin\alpha}\cdot\cos\alpha \)       \( \Rightarrow \)       \( {A}=\frac{\mu{mg}S}{1+\mu\mathrm{tg}\alpha}={19,6}\) Дж.

Задача 4.2
Задача 4.2

По дошці довжиною L, яка  лежить на гладкій підлозі, з одного краю на інший пересувають брусок маси m і довжини l. Коефіцієнт тертя між тілами складає μ.

Визначити

сумарну роботу сили тертя за час пересування бруска.

Дано:

m, l

L

μ

   А - ?

Розв’язування

Між дошкою та бруском діють сили тертя \( \vec{F}_{1}\) = –\( \vec{F}_{2}\) (рис. 4.2) з модулем F = μmg, сумарна робота котрих

ККК

A = А1 + А2 = μmgS1 + μmgS2 = μmg( S1 – S2),

де S1 і S2 – модулі переміщення бруска і дошки відносно підлоги. З рис. 4.2 видно, що ( S1 – S2) = (Ll), тож відповідь:

A =  μmg(L – l). (1)

 

Ця задача є дуже простою й сама по собі не становить великого інтересу. Але, позаяк у системі  сили взаємодії між парами тіл є незалежні, а самі сили є рівні за модулем і протилежні за напрямом (див. Розділ 2, п.п. 2.1, 2.2), отриманий результат відображує загальні властивості роботи сил тертя та опору: 

1. Робота сили тертя, що діяла на дошку,  А2 = μmgS2 > 0, проте повна робота А < 0. Це вказує на те, що

Повна робота внутрішніх сил тертя та опору в будь-якій системі завжди є від'ємна.

2. Величина (L – l) – це модуль переміщення ${{\vec{s}}_{12}}$ бруска відносно дошки та дошки відносно бруска ${{\vec{s}}_{21}}$ = – ${{\vec{s}}_{12}}$. Отже, в загальному вигляді відповідь (1) можна подати як

А = \( \vec{F}_{1}\)${{\vec{s}}_{12}}$ = \( \vec{F}_{2}\)${{\vec{s}}_{21}}$

і зробити наступний висновок:

сумарна робота сил тертя між двома тілами \( \vec{F}_{1}\) = –\( \vec{F}_{2}\) дорівнює добутку сили, що діє на одне з тіл на його переміщення відносно іншого.

Задача 4.3. Канат масою m = 6 кг і довжиною l = 5 м лежить на підлозі тренажерної зали висотою стелі H = 6 м.  

Визначити

роботу, яку треба виконати, аби підвісити канат до стелі.

Дано:

m = 6 кг

l = 5 м

H = 6 м

А - ?

 Розв'язання

 

На початку підйому, доки переміщення кінця каната h є меншим за його довжину l мінімальна потрібна сила F дорівнює вазі частини довжиною х, що звисає:

$F=\frac{mg}{l}h$,

а потім – вазі всього каната

F = mg.

Таким чином, маємо визначати роботу змінної сили, що найпростіше  зробити, обчисливши площу під графіком сили рис. 4.3 (див. п. 4.1), тобто площу трапеції з основами H і (H – l) та висотою mg. Отже,

$A=\frac{1}{2}mg\left( 2H-l \right)$ = 210 Дж.