Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Приклади розв'язування задач

Рух двох тіл

Задача 1.23. Двоє байкерів рухаються однією прямою дорогою відповідно до рівнянь: \( {x}_{1}={8t} \) і \( {x}_{2}=14+0,5t^{2}\). 1. Проаналізувати рух і показати графіки координат байкерів x(t). 2. Визначити: а) час t та місце зустрічі байкерів (відстань L від початку координат);  б) час τ, за який байкери подолають однаковий шлях і знайти його величину S.

Задача 1.24. Два тіла з однакової висоті над землею кинуто горизонтально у протилежних напрямах зі швидкостями \( {v}_{01}={4} \) м/с і \( {v}_{02}={9}\) м/с. Визначити, через який час t вектори швидкостей тіл стануть взаємно перпендикулярними.

Задача 1.25. З однієї точки одночасно і з однаковою швидкістю \( {v}\) = 20 м/с кидають вгору два тіла: одне вертикально, а інше – під кутом \( \alpha=50^{\circ}\) до горизонту. Визначити відстань L між тілами через час t = 0,5 c після початку руху.

Задача 1.22
Задача 1.23

Двоє байкерів рухаються однією прямою дорогою відповідно до рівнянь: \( {x}_{1}={8t} \) і \( {x}_{2}=14+0,5t^{2}\)

1. Проаналізувати рух і показати графіки координат байкерів x(t).

2. Визначити:

а) час t та місце зустрічі байкерів (відстань L від початку координат); 

б) час τ, за який байкери подолають однаковий шлях і знайти його величину S.

Дано:

 x1 = 8t
 x2 = 14 + 0,5t2

t - ? L - ? τ - ?

 

Розв'язання

1. З умови випливає, що перший байкер рухається із сталою швидкістю v1 = 8 м/с і при t = 0 знаходиться в початку координат. Одночасно другий байкер, перебуваючи попереду на відстані  x20 = 14 м, починає рухатись  у тому самому напрямі з прискоренням a2 = 1 м/с2.

Для аналізу подальшого руху байкерів випишемо у загальному вигляді рівняння їхніх координат (1.16):

$\begin{align}  & {{x}_{1}}={{v}_{1}}t \\ & {{x}_{2}}={{x}_{20}}+\frac{{{a}_{2}}{{t}^{2}}}{2} \\\end{align}$

Відтак, наклавши умову x2x1, отримаємо рівняння, що визначає можливі моменти зустрічі байкерів:

${{x}_{20}}+\frac{{{a}_{2}}{{t}^{2}}}{2}$ =${{v}_{1}}t$   $\Rightarrow $  ${{a}_{2}}{{t}^{2}}-2{{v}_{1}}t+2{{x}_{20}}=0$  (1)

Із виразу коренів цього рівняння

$ t=\frac{{{v}_{1}}\pm \sqrt{v_{1}^{2}-2{{a}_{2}}{{x}_{20}}}}{{{a}_{2}}}$

випливає, що на загал є три можливості:

1) $v_{1}^{2}<2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ корені не існують, тобто байкери взагалі не зустрінуться;

2) $v_{1}^{2}=2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ – байкери зустрінуться в момент t0 = v1/a2;

3) $v_{1}^{2}>2{{a}_{2}}{{x}_{20}}$ – відбудеться дві зустрічі.

Сказане ілюструє рис. 1. 23, на якому зображено графік  x2(t), що являє гілку параболи з вершиною в очці х20 та три промені – графіки x1(t) для випадків 1), 2) і 3), відповідно.

Проаналізуємо  за графіками рух байкерів у кожному з наведених випадків, узявши до уваги, що відстань між байкерами визначається різницею ординат х, а швидкість руху – нахилом графіків до осі абсцис t (див. п. 1.4). Тож, як видно, в кожному випадку перший байкер спочатку наздоганяє другого, а від моменту, коли їхні швидкості порівнюються, – відстає. При цьому:

–  за малої швидкості v1 (випадок 1) перший байкер починає відставати        ще не діставшись точки старту другого, тож ніколи його не наздожене;

–  у випадку 2 перший байкер у момент t0 і в точці х0 наздоганяє другого, але  відразу починає відставати;

–  при великій швидкості (випадок 3) перший байкер у момент t1 (перша зустріч) має більшу швидкість і починає        випереджати другого. Але потім другий, поступово нарощуючи швидкість, у момент t2 (друга зустріч) наздоганяє      й уже назавжди випереджає першого. 

2а). При заданих значеннях  v1 = 8 м/с,  x20 = 14 м і a2 = 1 м/с2 виконується умова 3), і корені рівняння (1) становлять t1 = 2 c, t2 = 14 c. Отже, байкери зустрічаються  двічі – через 2 с та 14 с після старту другого і, згідно із заданими в умові рівняннями, на відстані L1 = 16 м і  L2 = 112 м від початку координат.  

2б). Пройдений кожним байкером шлях дорівнює зміні його координати. Тож, поклавши в заданих умовою задачі рівняннях  х1 = х2 = S і t = τ , отримаємо:

$\left\{ \begin{align}  & S=8\tau  \\ & S=0,5{{\tau }^{2}} \\\end{align} \right.\quad \Rightarrow \quad \tau =16\text{ c;}\quad S=128\text{ }\text{м.}$

Задача 1.23
Задача 1.24

Два тіла з однакової висоті над землею кинуто горизонтально у протилежних напрямах зі швидкостями \( {v}_{01}={4} \) м/с і \( {v}_{02}={9}\) м/с. 

Визначити,

через який час t вектори швидкостей тіл стануть взаємно перпендикулярними.

Дано:

v01 = 4 м/c
v02 = 9 м/c
g = 10 м/с2

t - ?

Розв'язання

Умова задачі містить інформацію про початкові та кінцеві швидкості двох тіл, які одночасно починають рух із однаковим прискоренням \( \vec{g}\). Тож шуканий час  можна знайти за допомогою рівнянь  (1.14):

\( \vec{v}_{1}(t)=\vec{v}_{01}+\vec{g}{t}\),

 \( \vec{v}_{2}(t)=\vec{v}_{02}+\vec{g}{t}\)

одним із двох способів.

І спосіб. Згадаємо, що скалярний добуток векторів \( \vec{b}\) і \( \vec{c}\) визначається як \( \vec{b}\cdot\vec{c}=b{c}\cos\alpha \), де \( \alpha \) – кут між векторами. Для взаємно перпендикулярних векторів  він дорівнює нулю, отже:

\( \vec{v}_{1}(t)\vec{v}_{2}(t)=\left(\vec{v}_{01}+\vec{g}t\right)\left(\vec{v}_{02}+\vec{g}t\right){=}\)

\( {=}\vec{v}_{01}\vec{v}_{02}+\vec{v}_{01}\vec{g}t+\vec{v}_{02}\vec{g}t+\vec{g}t\vec{g}{t}={0}\).

За умовою задачі кут між векторами \( \vec{v}_{01}\) та \( \vec{v}_{02}\) дорівнює \( {\pi}\). Отже,

\( \vec{v}_{01}\vec{v}_{02}=-v_{01}{v}_{02}\).

При цьому кути між векторами \( \vec{v}_{01}\) і \( \vec{g}\) та  \( \vec{v}_{02}\) і \( \vec{g}\) дорівнюють \( \pi{/2}\), тому\( \vec{v}_{01}\vec{g}=\vec{v}_{02}\vec{g}={0}\).

Крім того, скалярний добуток вектора самого на себе дорівнює квадрату його модуля: \( \vec{g}\cdot\vec{g}=g^{2}\). Таким чином,

\( \vec{v}_{1}\vec{v}_{2}=-v_{01}{v}_{02}+g^{2}t^{2}={0}\),

і

\( {t}=\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}={0,6}\) c.

ІІ спосіб. Оскільки вектори \( \vec{v}_{01},\,\vec{v}_{02}\) є перпендикулярні до вектора \( \vec{g}\), то для квадратів їхніх модулів можна записати (див. рис. 1.24):

\( {v}_{1}^{2}=v_{01}^{2}+(gt)^{2}\),       \( {v}_{2}^{2}=v_{02}^{2}+(gt)^{2}\). (1)

З іншого боку, позаяк за умовою вектори \( \vec{v}_{1}\) і \( \vec{v}_{2} \) є взаємно перпендикулярні (рис. 1.23б), то

\( {v}_{1}^{2}+v_{2}^{2}=(v_{01}+v_{02})^{2}\).

Підставивши сюди вирази (1), дістанемо:

\( {v}_{01}^{2}+2(gt)^{2}+v_{02}^{2}=v_{01}^{2}+2v_{01}v_{01}+v_{02}^{2}\)       \( \Rightarrow \)     

\( {gt}=\sqrt{v_{01}v_{02}}\)       \( \Rightarrow \)       \( {t}=\frac{\sqrt{v_{01}v_{02}}}{g}={0,6}\) c.

Задача 1.24
Задача 1.25

З однієї точки одночасно і з однаковою швидкістю \( {v}\) = 20 м/с кидають вгору два тіла: одне вертикально, а інше – під кутом \( \alpha=50^{\circ}\) до горизонту. 

Визначити 

відстань L між тілами через час t = 0,5 c після початку руху.

Дано:

v = 20 м/с
α  = 50°
t = 0,5 с

L - ?

Розв'язання

Залежно від вибору системи відліку, задачу можна розв'язати двома способами.

І спосіб. Оберемо координатну систему XOY з початком у точці кидання (рис. 1.25), в якій початкові координати обох тіл дорівнюють нулю, а проєкції початкових швидкостей \( {v}_{1x}={0}\), \( {v}_{1y}={v}\) і  \( {v}_{2x}=v\cos\alpha\)\( {v}_{2y}=v\sin\alpha \). Координати тіл на момент часу t визначаються рівняннями (1.16а):

\( {x}_{1}={0}\),                  \( {x}_{2}=vt\cos\alpha \);

\( {y}_{1}=vt-\frac{gt^{2}}{2}\),      \( {y}_{2}=vt\sin\alpha-\frac{gt^{2}}{2}\).

(1)

Відстань між двома точками через їхні координати виражається формулою:

\( {L}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}\).

Тож, підставивши сюди вирази (1) для координат, після простих перетворень отримаємо:

$L=vt\sqrt{{{\cos }^{2}}\alpha +{{\left( \sin \alpha -1 \right)}^{2}}}=vt\sqrt{2\left( 1-\sin \alpha  \right)}$

Обчислення дають

L = 6,84 м.

ІІ спосіб. Пов'яжемо з першим тілом рухому систему відліку, швидкість V якої відносно нерухомої (земна поверхня) складає \( \vec{V}\) = \( \vec{v}_{1}\).  Тоді швидкість другого тіла відносно першого (швидкість в  рухомій системі відліку) визначається  формулою (1.11а):

\( \vec{u}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}=(\vec{v}_{02}+\vec{g}t)-(\vec{v}_{01}+\vec{g}t)=\vec{v}_{02}-\vec{v}_{01}=\mathrm{const}\).

  

 

Отже, позаяк прискорення тіл однакові, їхній відносний рух є рівномірним прямолінійним, і відстань між ними змінюється з часом, як

\( {L}=ut=\left|\vec{v}_{02}-\vec{v}_{01}\right|{t}\).

 Величину $u=\left| {{{\vec{v}}}_{02}}-{{{\vec{v}}}_{01}} \right|$ знайдемо за теоремою косинусів (див. рис. 24):

\( {u}=\sqrt{v^{2}+v^{2}-2vv\cos^{2}\beta}\)v\(\sqrt{2\left( 1-\cos \beta  \right)}\) = \( {L}=vt\sqrt{2(1-\sin\alpha)}\).