Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА. Вчимося розв'язувати задачі. "МЕХАНІКА". Компенсаційний курс

Розділ 1. КІНЕМАТИКА

1.3. Теоретичні відомості. Рух з постійним прискоренням

Усі миттєві характеристики руху точки можна обчислити, якщо відомий закон руху, тобто, залежність її радіуса-вектора від часу \(\vec{r}\left( t \right)\). Ця залежність визначається змінами прискорення і може виявитися складною. Але при русі з постійним прискоренням \( \vec{a}=\mathrm{const} \), закон руху спрощується і має вигляд:

\(\vec{r}\left( t \right)={{\vec{r}}_{0}}+{{\vec{v}}_{0}}t+\frac{\vec{a}{{t}^{2}}}{2}\),

(1.12)

де \( \vec{r}_{0}=\vec{r}(0) \), \( \vec{v}_{0}=\vec{v}(0) \) – радіус-вектор та вектор швидкості в початковий момент часу (t = 0), відповідно.

Із рівняння (1.12) можна знайти будь-яку величину, що визначає рух (див. п.1.1), тож воно містить всю інформацію про рух точки із сталим прискоренням. Але задля зручності для загальної характеристики рівнозмінного руху записують два окремі рівняння – рівняння переміщення та рівнянням швидкості. Вони безпосередньо випливають з рівняння (1.12) і формул (1.1), (1.4) і мають вигляд:

\( \Delta\vec{r}=\vec{v}_{0}t+\frac{\vec{a}t^{2}}{2}\), (1.13)
\( \vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}t \). (1.14)

Слід наголосити на тому, що наведені рівняння є однаково чинні як для прямолінійного, так і для криволінійного рухів. При цьому, яким буде рух, залежить від напрямків початкової швидкості та прискорення: якщо ці вектори напрямлені вздовж однієї прямої (однаково, або протилежно), рух є прямолінійним; якщо ж вони напрямлені під кутом один до одного, то рух відбувається по криволінійній траєкторії. Це ілюструє рух тіла, що кинуте вертикально та під кутом до горизонту.

Рівняння (1.12) або (1.13) і (1.14) включають як окремий випадок і кінематику рівномірного прямолінійного руху. При такому русі \( \vec{a}=0 \) і \(\vec{v}=\mathrm{const} \), тому

\( \vec{r}(t)=\vec{r}_{0}+\vec{v}t \) (1.15)

У задачах для обчислень використовують скалярні рівняння руху, тобто рівняння для проєкцій векторів на координатні осі:

\( {x}=x_{0}+v_{0x}t+\frac{a_{x}t^2}{2}\) \( {y}=y_{0}+v_{0y}t+\frac{a_{y}t^{2}}{2}\) (1.16)
\( {v}_{x}=v_{0x}+a_{x}t \) \( {v}_{y}=v_{0y}+a_{y}t \)
\( {a}_{x}=\mathrm{const} \) \( {a}_{y}=\mathrm{const} \)

(Примітка. Вісь ОZ в рівняннях не фігурує, бо при вивченні теорії та для вправ достатньо розглядати лише рухи, що відбуваються по плоских траєкторіях).

При рівномірному прямолінійному русі  координатну вісь ОХ вибирають паралельно до напряму руху, тож рух визначається одним рівнянням:

\(x={{x}_{0}}+{{v}_{x}}t\).

(1.17)

При цьому, позаяк  vх = ± v, індекс проєкції зазвичай опускають, а напрям швидкості в рівнянні (1.17)  враховують знаком.

У багатьох задачах зручно користуватись формулами, що випливають з рівнянь (1.16) і прямо пов'язують між собою переміщення, швидкість і прискорення:

\( {v}_{x}^{2}-v_{0x}^{2}=2a_{x}(x-x_{0}) \), (1.18)
\( {v}_{y}^{2}-v_{0y}^{2}=2a_{y}(y-y_{0}) \).

У найпростішому випадку прямолінійного руху, що відбувається без зміни напрямку, аналогічна формула пов'язує  модулі векторів і пройдений точкою шлях:

\(\left| {{v}^{2}}-v_{0}^{2} \right|=2aS\).

(1.19)