Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

Частина II. ХВИЛІ

2. Пружні хвилі

Поширення механічних коливань на значну відстань від джерела можливе тільки в пружному середовищі, де відсутнє (або є не істотним) перетворення механічної енергії в тепло. Тому механічні хвилі називають пружними хвилями. Пружні хвилі в тілі супроводжуються деформаціями стискання-розтягу або зсуву. При деформаціях першого типу хвилі можуть існувати в будь-якій речовині – твердій, рідкій, чи газоподібній і є поздовжніми.  Натомість пружні деформації зсуву можуть виникати тільки в тілах, які мають  “пружність форми”, тобто здатність зберігати та перешкоджати зміні своєї форми. Така властивість є у твердих тіл, тому в них можливі як поздовжні, так і поперечні хвилі. Рідини, на загал, не зберігають форму, але внаслідок поверхневого натягу таку здатність має їхня вільна поверхня. Тому хвилі в об'ємі рідини є поздовжніми, а на поверхні – поперечними. Що ж до газів, то в них можливі тільки поздовжні хвилі.

Далі розглядаються такі питання:

2.1. Швидкість пружних хвиль

2.2. Енергія та інтенсивність пружних хвиль

2.3. Звукові хвилі

2.4. Ефект Допплера

        Контрольні запитання

2.1. Швидкість пружних хвиль.

У пружній хвилі переносяться механічні коливання частинок середовища. Але самі частинки не рухаються разом із хвилею, а лише здійснюють коливання навколо фіксованих положень рівноваги. Тому швидкість поширення хвилі в середовищі та швидкість  руху його частинок – це різні речі.

У рівнянні механічної хвилі функція ξ визначає зміщення частинок середовища з положення рівноваги, тобто, їхні миттєві положення. Тому швидкість руху частинок середовища можна визначити з рівняння (1.15) шляхом диференціювання по часу:

\( {u}=\frac{d\xi }{dt}=-{{\xi }_{0}}\omega \sin \left( \omega t-\vec{k}\vec{r} \right)\),

(2.1)

Частинки середовища у хвилі здійснюють вимушені коливання, частота яких задається джерелом хвилі. Тож і швидкість руху частинок середовища визначається тільки джерелом. Натомість швидкість поширення хвилі (1.9), тобто швидкість передачі коливань частинок середовища від шару до шару, визначається силою пружної взаємодії між частинками та їхньою масою. Тому швидкість поширення хвилі виявляється залежною від властивостей середовища та типу хвилі. Це прямо відображують формули фазової швидкості, які наводимо без доведення.

У твердому тілі фазова швидкість поздовжніх хвиль визначається, як

\( {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{E}{\rho }}\),

(2.2)

де під коренем стоять табличні константами речовини: – густина і модуль Юнга, який визначає пружні властивості тіла при деформаціях стискання-розтягу. Відповідні розрахунки та вимірювання показують, що для переважної більшості металів і мінералів ця величина потрапляє в інтервал v1 = (3÷ 6)×103 м/с.

Поперечні хвилі в твердих тілах поширюються із швидкістю

\( {{v}_{2}}=\sqrt{\frac{G}{\rho }},\)

(2.2а)

де G — модуль зсуву, що визначає пружні властивості тіла при деформаціях зсуву. Швидкість поперечних хвиль для вказаної вище групи твердих тіл складає v2 = (2 ÷ 3)×103 м/с.

Рідини та гази не зберігають форму, але мають об’ємну пружність, тобто чинять опір зміні об’єму при зміні тиску. При малих деформаціях між зміною тиску dP та відносною зміною об’єму dV/V існує прямо пропорційний зв’язок :

\( \mathrm{d}P=-\kappa \frac{\mathrm{d}V}{V}\).

(2.3)

Величина \(\kappa \) називається модулем об’ємної пружності. Саме модуль об'ємної пружності разом із густиною визначають швидкість пружних хвиль у рідинах і газах, відповідно до формули:

\( {v}=\sqrt{\frac{\kappa }{\rho }}\).

(2.4)

Модуль об'ємної пружності залежить від виду процесу стискання та розширення речовини. При цьому для ідеального газу (газ можна вважати ідеальним при не дуже високих тисках і не наднизьких температурах) його можна визначити теоретично з рівняння процесу. Зокрема, при малій частоті, коли частинки газу рухаються з невеликою швидкістю, процес можна вважати ізотермічним. У такому разі

\( {PV}=\mathrm{const}\) \( \Rightarrow \) \( {V}\mathrm{d}P+P\mathrm{d}V=0 \) \( \Rightarrow \) \( \mathrm{d}P=-P\frac{\mathrm{d}V}{V}\).

Порівнюючи цей вираз із (2.3), маємо \( \kappa =P \). При великій частоті хвилі й, відповідно, швидкій зміні тиску процес іде адіабатично. Тому з рівняння адіабати \( PV^{\gamma}=\mathrm{const}\) аналогічно виходить \( \kappa =\gamma{P}\), де \( \gamma={{{C}_{P}}}/{{{C}_{V}}}\). Урахувавши ці результати та вираз густини ідеального газу \( \rho ={PM}/{RT}\) через тиск \( {P}\), температуру \( {T}\) та молярну масу \( {M}\), отримаємо для швидкості поширення низькочастотних \( {v}_{1}\) та високочастотних хвиль у газі:

\( {{v}_{1}}=\sqrt{\frac{RT}{M}}\) \( {{v}_{2}}=\sqrt{\frac{\gamma{RT}}{M}}\)

(2.4а)

Звукові хвилі мають велику частоту. Тому швидкість звуку в газах визначає друга формула. Зокрема, для звуку в повітрі (\( {M}=29\cdot{{10}^{-3}}\)кг/моль  і  \( \gamma=1,4 \)) при температурі \( {t}=17{}^{\circ}{С}\) вона дає 340 м/с, що узгоджується із результатами вимірів. Швидкість звуку в інших газах, за винятком дуже легкого водню, має подібні значення. Рідини порівняно з газами мають великі модулі об’ємної пружності й, відповідно, більші швидкості поширення пружних хвиль. Так, швидкість звуку у воді становить приблизно 1,5·103 м/с. В інших рідинах вона лежить в інтервалі (1÷2)·103 м/с.


2.2. Енергія та інтенсивність пружної хвилі

Об’ємна густина енергії хвилі. Винятково важливою властивістю хвиль є те, що вони переносять енергію від джерела до віддалених точок простору. Достатньо сказати, що практично всі процеси на Землі, включно із самим життям, відбуваються завдяки енергії, що переноситься від Сонця електромагнітними хвилями. Енергія пружної хвилі складається з кінетичної енергії коливального руху частинок К і потенціальної енергії їхньої взаємодії U у формі енергії пружної деформації середовища, в якому поширюється хвиля.

Розподіл енергії хвилі в просторі визначається об’ємною густиною енергії, тобто, відношенням енергії \( \mathrm{d}W \) в елементарному об’ємі \( \mathrm{d}{V}\) до його величини:

\( {w}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}V}=\frac{\mathrm{d}K+\mathrm{d}U}{\mathrm{d}V}\).

Знайдемо величину \( {w}\) на прикладі поздовжньої пружної хвилі. Кінетична енергія \( \mathrm{d}{K}\) в об’ємі \( \mathrm{d}V \) визначається швидкістю коливального руху частинок u та їхньою загальною масою \( \mathrm{d}m=\rho \mathrm{d}{V}\), де \( \rho \) – густина середовища:

\( \mathrm{d}K=\frac{{{u}^{2}}\mathrm{d}m}{2}=\frac{\rho {{u}^{2}}}{2}\mathrm{d}{V}\).

Для плоскої гармонічної хвилі швидкість u дається виразом (2.1), отже

\( \mathrm{d}K=\frac{\rho \xi _{0}^{2}{{\omega }^{2}}\text{d}V}{2}{{\sin }^{2}}(\omega{t}-kx)\).

(2.5)

Потенціальна енергію dU в об’ємі dV при пружних деформаціях стиску-розтягу, як відомо з механіки, визначається виразом

\( \mathrm{d}U=\frac{E{{\varepsilon}^{2}}}{2}\mathrm{d}{V}\),

(2.6)

де \( {E}\) – модуль пружності (модуль Юнга) і \( \varepsilon \) – відносна деформація. Для визначення величини \( \varepsilon \) подумки виділимо в деякій точці \( {x}\) середовища елементарний циліндричний шар із товщиною \( \mathrm{d}x\) і основами площею S, які перпендикулярні до напрямку поширення хвилі (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Об’єм цього шару \( \mathrm{d}V=S\mathrm{d}{x}\). Відповідно до рівняння хвилі (1.2), зміщення частинок із положень рівноваги на основах шару будь-якої миті відрізняються на величину

\( {|}\mathrm{d}\xi{|}=|\frac{\partial\xi}{\partial{x}} |\mathrm{d}x={{\xi }_{0}}k\sin{(}\omega{t}-kx)\mathrm{d}x\),

яка є величиною деформації шару. Тоді відносна деформація \( \varepsilon ={|}\mathrm{d}\xi{|}/{\mathrm{d}x}\) визначається, як

\( \varepsilon =\frac{\partial\xi}{\partial{x}}=\xi_{0}k\sin{(}\omega{t}-kx{)}\).

Підставляючи цей результат у (2.6), отримуємо:

\( \varepsilon =\frac{\partial\xi}{\partial x}\),

\( \mathrm{d}U=\frac{E\xi_{0}^{2}{{k}^{2}}\mathrm{d}V}{2}{{\sin }^{2}}(\omega{t}-kx) \).

(2.7)

Виразивши хвильове число як \( {k}={\omega}/{v}\), і взявши для \( {v}\) формулу (2.2) отримаємо для потенціальної енергії:

\( \mathrm{d}U=\frac{\rho\xi_{0}^{2}{{\omega }^{2}}\mathrm{d}V}{2}{{\sin}^{2}}(\omega{t}-kx).\)

(2.7а)

Відтак повна енергія хвилі в об’ємі \( \mathrm{d}{V}\)

\( \mathrm{d}W=\mathrm{d}K+\mathrm{d}U=\rho \xi _{0}^{2}{{\omega }^{2}}\mathrm{d}V{{\sin }^{2}}(\omega{t}-kx) \),

а об’ємна густина енергії

\( {w}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}V}=\rho \xi _{0}^{2}{{\omega }^{2}}{{\sin }^{2}}(\omega{t}-kx) \).

(2.8)

Густина потоку енергії та інтенсивність хвилі. Із виразу (2.8) видно, що енергія хвилі в будь-який заданий момент часу неоднорідно розподілена в просторі й у будь-якій точці змінюється з часом. При цьому координата точки із заданим значенням густини енергії \( {w}=\mathrm{const}\) задовольняє рівняння

\( \omega{t}-kx=\mathrm{const}\) \( \Rightarrow \) \( {x}=vt-\mathrm{const}\) \( {v}=\frac{\omega }{k}\).

Це означає, що в ідеальній гармонічній хвилі швидкість перенесення енергії від джерела до віддалених точок збігається із фазовою швидкістю (1.9). (Але в реальних хвилях, як говорилося раніше, енергія переноситься з груповою швидкістю, відмінною від фазової).

Енергія, що переноситься хвилею через задану поверхню за заданий проміжок часу залежить як від площі цієї поверхні, так і від величини проміжку часу. Тому кількісною мірою самого процесу перенесення в кожній точці є густина потоку енергії

\( {j}=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t\mathrm{d}{{S}_{\bot }}}\).

(2.9)

Можна сказати, що

густина потоку дорівнює енергії, котра переноситься за одиницю часу через одинцю площі поверхні, перпендикулярної до напрямку перенесення.

Якщо хвиля поширюється із швидкістю \(v\), то за час \( \mathrm{d}{t}\) енергія переноситься на відстань \( \mathrm{d}l=v\mathrm{d}{t}\). Тому при об’ємній густині енергії w через якусь площадку \( \mathrm{d}{{S}_{\bot }}\) за час \( \mathrm{d}{t}\) проходить енергія \( \mathrm{d}W=w\mathrm{d}{{S}_{\bot}}\mathrm{d}l=w\mathrm{d}{{S}_{\bot }}v\mathrm{d}{t}\). Відповідно, величина густини потоку енергії дорівнює

\( {j}=wv \).

(2.10)

В кожній точці енергія переноситься у напрямку вектора швидкості поширення хвилі \( \vec{v}\). Аби це відобразити у формулі, густину потоку енергії трактують як вектор

\( \vec{j}=w\vec{v}\).

(2.11)

Розгорнуто він, згідно з (2.8), записується у вигляді:

\( \vec{j}=\rho\xi_{0}^{2}{{\omega}^{2}}\vec{v}{{\sin}^{2}}{(}\omega{t}-kx)\).

(2.12)

Вираз \( \vec{j} \) можна подати інакше, використавши тотожність \( {2}{{\sin }^{2}}\alpha=(1-\cos{2}\alpha{)}\):

\( \vec{j}=\frac{\rho \xi_{0}^{2}{{\omega }^{2}}\vec{v}}{2} (1-\cos{2}(\omega{t}-kx)) \).

(2.12а)

Із отриманих виразів випливає, що напрям вектора \( \vec{j}\) лишається незмінним, а модуль змінюється з подвоєною частотою хвилі \( {2}\omega \), тобто перенесення енергії має пульсуючий характер. Але частота хвиль переважно є досить високою, тому реально перенесення енергії визначається

середньою величиною густини потоку енергії, яка називається інтенсивністю хвилі \( {I}\):

\( {I}=\langle{j} \rangle \).

(2.13)

Згідно з (2.12а), інтенсивність пружної хвилі

\( {I}=\frac{\rho\xi _{0}^{2}\omega^{2}v}{2}\langle{1}-\cos{2}(\omega{t}-kx) \rangle =\frac{\rho\xi_{0}^{2}\omega ^{2}v}{2}(1- \langle\cos{2}(\omega{t}-kx)\rangle{)} \).

На інтервалі одного періоду кожному додатньому значенню функції косинус відповідає таке саме по модулю від’ємне значення, тому її середня величина за період дорівнює нулю.

(Зауважимо, що цей результат є чинним і для будь-якої іншої періодичної знакозмінної функції, графік якої є симетричним відносно осі абсцис).

Отже, в наведеному виразі другий доданок у дужках дорівнює нулю, й інтенсивність гармонічної хвилі виражається, як

\( {I}=\frac{1}{2}\rho\xi_{0}^{2}{{\omega}^{2}}{v}\).

(2.14)

В однорідному середовищі величини \(\rho \) і \( {v}\) скрізь однакові, тому в будь-якій точці інтенсивність хвилі заданої частоти \(\omega \) визначається тільки квадратом амплітуди:

\( {I}\sim\xi_{0}^{2}\).

(2.14а)

Тому, коли треба знати не саму інтенсивність, а лише характер її розподілу в просторі, замість величини I (2.14), оперують квадратом амплітуди \( \xi_{0}^{2}\).

2.3. Звукові хвилі

Характеристики звуку. Пружні хвилі певних частот створюють у людини та інших істот специфічне відчуття звуку й називаються звуковими хвилями. Діапазон частот звукових хвиль, який сприймається людським вухом, складає \( (16\div{20000})\,{Гц}\). Пружні хвилі з частотами меншими за 16 Гц і більшими, ніж 20 кГц називаються інфразвуком та ультразвуком, відповідно.

Суб’єктивне сприйняття звуку залежить від спектрального складу (набору частот) та інтенсивності пружної хвилі, що потрапляє у вухо. Залежно від спектрального складу розрізняють музичні звуки та шуми. Музичні звуки створюються хвилями з упорядкованим набором частот. Характерною ознакою музичного звуку є висота тону – суб’єктивне відчуття, завдяки якому ми, до прикладу, легко розрізняємо дзижчання комара та джмеля. За висоту тону є відповідальною частота коливань у звуковій хвилі: чим вона більша, тим вищим є звук. Але й при однаковій висоті тону звуки, що створюються різними джерелами, приміром, голосом чи музичними інструментами, легко пізнаються, бо мають характерне “забарвлення”, або тембр. Природа тембру така. При видобуванні звуку, скажімо в скрипці або роялі, через обмежену довжину струн в них виникають власні коливання з різними частотами, які збуджують у порожнині інструменту (резонаторі) відповідні звукові хвилі. Далі при відбиванні від стінок резонатора й накладанні одні з цих хвиль підсилюються, а інші послаблюються. Відтак у резонаторі встановлюється та випромінюється в простір система звукових хвиль із характерним для даного інструменту (джерела звуку) спектром, тобто, розподілом по частотах та амплітудах. При цьому коливання найнижчої частоти, які називаються основним тоном, мають найбільшу амплітуду й визначають наше сприйняття висоти звуку. Всі інші частоти називаються обертонами, або гармоніками. Набір гармонік і їхній розподіл по амплітудах саме і визначає тембр звуку. Треба зазначити, що хоча людина розрізняє з частотою лише до 20 кГц, більш високочастотні обертони все ж впливають на темброве забарвлення звуку. Тому в пристроях для звукозапису та відтворення звуку намагаються отримати весь діапазон коливань, який дає джерело звуку.

Поряд із музичними звуками існують шуми – звуки з невпорядкованим, переважно неперервним частотним спектром. Такими, зокрема, є звук працюючого двигуна авто чи літака, аплодисменти, приголосні звуки мови, тощо. Шуми сприймаються як беззмістовні звуки, що не мають ані певної висоти, ані тембру. Але суб’єктивне сприйняття шуму все ж таки залежить від характеру розподілу енергії звуку по частотах, подібно до того, як від спектрального складу залежить кольорова гама світла, що сприймається оком. Тому в акустиці, по аналогії з оптикою, шумам умовно приписують різні “кольори”. Так, якщо енергія коливань рівномірно розподілена по всьому звуковому діапазону, шум називається білим. Натомість у “рожевому” шумі більш інтенсивними є низькочастотні коливання, а в “блакитному” – високочастотні.

Гучність звуку. Усі звуки характеризуються гучністю – величиною, що пов’язана з інтенсивністю звукової хвилі , яка потрапляє у вухо. Вухо є дуже чутливим приймачем звуку і характеризується порогом чутності інтенсивністю найтихішого звуку, який воно здатне сприймати. Для вуха людини поріг чутності складає всього \( {I}_{0}={10}^{-12}\,{Вт/м^{2}}\). Із ростом інтенсивності звуку зростає і гучність. Але відчуття гучності звуку підсилюється значно повільніше, ніж зростає інтенсивність, так що зв’язок між ними є нелінійним і близьким до логарифмічного. Тому для адекватної характеристики гучності використовують логарифмічну величину, що називається рівнем інтенсивності звуку L і визначається як

\( {L}=\lg\frac{I}{{{I}_{0}}}\).

Вимірюється величина L у белах (Б): при L = 1 Б інтенсивність звуку перевищує поріг чутності в 10 разів. Це досить велика різниця, тому на практиці використовують частинну одиницю децибел, котра складає 0,1 бела. То ж

\( {L} ({дБ})=10\lg \frac{I}{{{I}_{0}}}\).

(2.15)

У цій шкалі рівень інтенсивності звуку, що створюється при тихій розмові на відстані 1 м, складає приблизно 50 дБ, при грі на гітарі на відстані 0,5 м – 70 дБ, на рок-концерті в залі біля сцени – 110 дБ, тощо. Звукові коливання з рівнем інтенсивності > 120 дБ вже не сприймаються як власне звук і створюють у вусі відчуття болю. Тому рівень 120 дБ, якому відповідає інтенсивність 1 Вт/м2, називають порогом больового відчуття. Такі та більш гучні звуки є шкідливими для здоров’я й можуть бути небезпечним. Зокрема, звук при рівні інтенсивності > 160 дБ може спричинити розрив барабанних перетинок і глухоту, а при рівні > 200 дБ – заподіяти смерть.

Таким чином, діапазон рівнів інтенсивності звуку, що його сприймає людина, простягається від 10–12 Вт/м2 до 1 Вт/м2, тобто складає дванадцять порядків. Ця цифра вражає. Для порівняння зазначимо, що коли б ми мали фантастичну лінійку з таким діапазоном вимірювань, то могли би нею визначати відстані, починаючи від розмірів атома (~ 10–10 м) й аж до розмірів футбольного поля (~ 100 м).

Рівень інтенсивності є об’єктивною характеристикою сили звуку. Але суб’єктивне сприйняття гучності залежить не тільки від рівня інтенсивності, а й від частоти звуку так, що чутливість вуха є максимальною на частоті приблизно 1000 Гц і помітно зменшується на низьких та на високих частотах. Наприклад, звук із рівнем інтенсивності 30 дБ, який людина добре розрізняє на частоті 1000 Гц, на частоті 100 Гц є вже не чутним. Тому для кількісної характеристики суб’єктивного сприйняття гучності звуку вводять одиницю фон. При цьому приймається, що на частоті 1000 Гц гучність звуку у фонах дорівнює рівню його інтенсивності в децибелах. У такому разі звук з рівнем інтенсивності, скажімо, 60 дБ, на частоті 1000 Гц має гучність 60 фон. Але при такому самому рівні інтенсивності гучність звуку з частотою 50 Гц буде складати вже тільки біля 25 фон.

Відбивання звуку. Пружні хвилі, як і будь-які інші, мають здатність відбиватися від перешкод на своєму шляху й повертатися до місця випромінювання. Цей ефект, який називається луною, у випадку звукових хвиль сприймається як послаблений повторний звук. В однорідному середовищі, такому, як повітря чи вода, швидкість звуку є сталою. Тому, знаючи величину і вимірюючи час повернення τ відбитого сигналу (відлуння), можна знайти відстань l від джерела звуку до предмета, від якого він відбивається:

\( {l}=\frac{1}{2}v\tau \).

(2.16)

На цьому ґрунтується ехолокація – спосіб виявлення різних цілей та визначення їхнього положення в просторі за допомогою відбивання ультразвуку.

При відбиванні звуку від декількох перешкод, відстані від яких до джерела суттєво відрізняються, спостерігається декілька послідовних загасаючих лун. Цей ефект створює своєрідний емоційний вплив на слухача й використовується в музичній акустиці шляхом створення в звуковідтворюючій апаратурі послідовності штучних загасаючих сигналів-копій. У приміщеннях, унаслідок многократного відбивання звуку від стін та різних предметів, утворюється велика кількість лун, які розділені дуже малими проміжками часу – (0,01 ÷ 1) мс. Тому вони сприймаються купно, створюючи характерний звуковий шлейф, або відгомін, який називається реверберацією. Завдяки цьому, після припинення дії джерела звук відчувається ще протягом певного часу реверберації. Реверберація впливає на суб’єктивне сприйняття звуку, створюючи ефект глибини простору. При цьому суттєву роль відіграє час реверберації. Якщо він занадто великий, то послідовні звуки “наповзають” один на одного, що утруднює сприйняття музики й, особливо, мови. Аналогічно, при малому часі реверберації звук стає “сухим” і “тусклим”. При цьому кожен різновид звуку має свій оптимальний час реверберації. Наприклад, для камерної та оркестрової музики це приблизно (1÷2) мс, а для органа – набагато більше. Час реверберації залежить від розмірів і конфігурації приміщення та від матеріалу стін і предметів, які знаходяться в ньому. Тому великі приміщення при проектуванні розраховують на оптимальний час реверберації, залежно від їхнього функціонального призначення.


2.4. Ефект Допплера

Раніше відмічалося, що швидкість поширення пружних, зокрема звукових, хвиль визначається тільки властивостями середовища (див. (1.18) - (1.20)), а частота задається джерелом, яке генерує хвилю. При цьому передбачалося, що джерело та приймач  (спостерігач)  не рухаються відносно середовища. Але коли джерело або приймач перебувають у русі, частота звуку ν, яку реєструє приймач, на загал, відрізняється від частоти ν0, яку генерує джерело. Мабуть кожен спостерігав різке пониження висоти звуку сирени локомотива потяга в момент проходження повз спостерігача на великій швидкості (див. відео та аудіо трек).  

 

Зміна частоти звуку, яку фіксує приймач, унаслідок його руху відносно джерела, чи джерела відносно нього, називається ефектом Допплера.

Ефект Допплера існує як для звукових, так і для інших, до прикладу, електромагнітних хвиль. Розглянемо теорію класичного ефекту Допплера, коли рух джерела та приймача відбувається з нерелятивістською швидкістю.

Нехай маємо розміщені на осі ОХ нерухомі приймач Пр і джерело Дж, яке випромінює звукову хвилю у вигляді коротких імпульсів із частотою повторення ν0 і періодом T0 і поширюються відносно середовища із заданою швидкістю \( {v}\). В такому разі  відстань між двома послідовними імпульсами (довжина хвилі) складає \( \lambda_{0}=vT_{0}=v/\nu_{0}\), як схематично показано на рис. 2.2. 

Рис. 2.2

Проаналізуємо, яку частоту звуку буде реєструвати приймач, якщо він і джерело рухаються вздовж осі ОХ. Розглянемо спочатку окремі випадки.

Випадок 1: рухається тільки приймач . Нехай приймач наближається до нерухомого джерела із швидкістю \( {u}_{п}\). У такому разі його швидкість відносно імпульсів дорівнює \( {u}^{\prime}_{п}={u}_{п}+{v}\), і відстань λ0 між послідовними імпульсами приймач долає за час

T = \(\frac{{{\lambda }_{0}}}{{{{{u}'}}_{\text{п}}}}\) = \(\frac{v{{T}_{0}}}{v+{{u}_{\text{п}}}}\).

Цей час є періодом повторення звукових імпульсів, які приходять на приймач, тож  частота звуку, яку він реєструє  становить

\( \nu =\frac{v+u_{п}}{v}\nu_{0}\).

(2.17)

Випадок 2: рухається тільки джерело (рис. 2.2б). Нехай тепер джерело рухається в бік нерухомого приймача із швидкістю uд, і випускає імпульс 1 у момент t1. Тоді на момент випускання наступного імпульсу t2 = t1 + T0 перший пройде в середовищі відстань \( {{\lambda }_{0}}=v{{T}_{0}}\), а джерело переміститься в тому самому напрямі на відстань \( {l}=u_{д}T_{0}=u_{д}/\nu_{0}\). Тож відстань між імпульсами (довжина хвилі) складатиме \( \lambda =\lambda_{0}-l=(v-{u}_{д})/\nu_{0}\). Позаяк відносно нерухомого приймача швидкість переміщення імпульсів дорівнює  \( {v}\), вони потраплятимуть на нього з інтервалом часу (періодом)

\( {T}=\frac{\lambda}{v}=\frac{v-{v}_{д}}{v}T_{0}\).

Отже,  приймач  реєструватиме звук із частотою

\( \nu =\frac{v}{(v-u_{д})}\nu_{0}\).

(2.18)

Загальний випадок.  Якщо рухаються і приймач, і джерело, то на частоту ν, що реєструється приймачем, впливають обидва фактори. Тому можна записати загальний вираз ν, який вбирає обидві формули (2.17) і (2.18):

\( \nu =\frac{v\mathsf{+}{u}_{п}}{v-u_{д}}\nu_{0}\).

(2.19)

В обох розглянутих випадках частота звуку, що реєструється  приймачем, є більша за частоту звукових імпульсів, які створюються в джерелі. Не важко збагнути, що це зумовлено тим, що в обох випадках відносний рух джерела і приймача був зустрічним. При русі джерела або приймача в протилежному напрямку, у виразах (2.17) – (2.19) треба змінити знак перед відповідною швидкістю. Але цим можна не спеціально не перейматися  в кожному окремому випадку, якщо в указаних виразах модулі швидкостей приймача та джерела замінити їхніми проекціями на напрям поширення імпульсів (вісь ОХ ):

\( \nu =\frac{v+u_{пx}}{v-u_{дx}}\nu_{0}\).

(2.20)

У проведеному аналізі задля більшої наочності розглядалась умовна хвиля у вигляді послідовності імпульсів. Але отримані результати є чинними для хвиль будь-якого вигляду, зокрема для гармонічних хвиль, у яких такими імпульсами слугують “горби”, або “впадини”. Проте слід зазначити, що вираз (2.20) не є загальним, позаяк отриманий лише для випадку, коли джерело та приймач рухаються вздовж однієї прямої. Якщо це не так, зв’язок між частотами є більш складним. Але при не дуже великій відстані між джерелом і приймачем і малій (порівняно із звуковою) швидкості їхнього руху формула (2.20) з достатньою точністю справджується й при довільних напрямах руху джерела чи приймача.

Контрольні запитання