ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ

При єдності загальних властивостей хвилі можуть мати істотні відмінності, пов'язані з їхнім походженням і фізикою процесів, які в них відбуваються. Тому в теорії хвилі класифікуються за відповідними ознаками. До прикладу, окремо розглядають механічні хвилі, з якими, зокрема, пов'язаний звук, та електромагнітні хвилі, що є відповідальні за світло. Крім того, властивості хвиль істотно залежать від умов поширення і можуть бути складними. В даному посібнику розглядаються хвилі в ізотропних середовищах, де характеристики хвиль не залежать від напрямку поширення.

Далі розглядається:

1.1. Поперечні та поздовжні хвилі

1.2. Характеристики та рівняння гармонічних хвиль

1.3. Хвильове рівняння

1.4. Стоячі хвилі

        Контрольні запитання

1.1. Поперечні та поздовжні хвилі

Одним з класифікаторів хвилі є напрям коливань, що відбуваються в ній. За цією ознакою хвилі поділяють на поздовжні та поперечні. При цьому

в поздовжній хвилі коливання в кожній точці відбуваються вздовж напрямку поширення.

Відповідно,

в поперечній хвилі коливання відбуваються перпендикулярно до напрямку поширення.

Теорія і дослід свідчать, що електромагнітні хвилі можуть існувати і в речовині, й у вакуумі, і завжди є поперечними. Натомість механічні хвилі, котрі є можливі тільки в речовині, можуть бути як поперечними, так і поздовжніми. При цьому тип хвиль, які можуть виникати, залежить від взаємодії між молекулами середовища. У твердому тілі, де сили зв'язку між атомами є пружними, виникають хвилі обох типів. Проте в об'ємі рідини, де сили взаємодії між молекулами ними є непружними, та в газі, де їх практично немає, можуть існувати лише поздовжні хвилі. Але на поверхні рідини між молекулами діють споріднені з пружними сили поверхневого натягу. Через це на поверхні рідини виникають і поперечні хвилі, які кожен бачив на водоймах.

Нижче наведена “жива картинка”, що схематично зображує поздовжню та поперечну хвилю в середовищі. Якщо уважно до неї придивитися, можна помітити важливу деталь: точки-частинки середовища, не рухаються в напрямку поширення хвилі, а лише здійснюють коливання навколо фіксованих положень. Отже,

у хвилі відбувається не перенесення речовини, а перенесення коливань.

1.2. Характеристики та рівняння гармонічних хвиль

Вище говорилося, що хвилі різної природи мають спільні загальні властивості й описуються за допомогою єдиного математичного апарату. При цьому найпростішими і найважливішими є гармонічні хвилі, що являють собою поширення у просторі гармонічних коливань.

Рівняння плоскої гармонічної хвилі. Уявімо, що в однорідному пружному середовищі розміщена нескінченна площина-мембрана. Якщо вона почне коливатися, то через сили зчеплення частинки прилеглого шару середовища будуть утягувати в рух сусідній шар, він – наступний, і так далі. Як наслідок, коливання від джерела будуть поширюватись, охоплюючи все більшу область простору, тобто, утвориться хвиля. З міркувань симетрії зрозуміло, що в будь-якій площині паралельній до мембрани всі точки середовища будуть рухатись однаково, тому така хвиля називається плоскою.

Нехай мембрана й прилеглі частинки середовища здійснюють коливання вздовж осі ОХ (рис. 1.1) за законом

\( \xi{(0,t)}=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}t \),

де ξ – зміщення з положення рівноваги, ξ₀ – амплітуда, T - період коливань.

У пружному середовищі відсутні сили тертя, тому з такою самою амплітудою та періодом коливатимуться частинки і в будь-якому іншому шарі. Але, позаяк хвиля поширюється з кінцевою швидкістю, у віддалених шарах частинки почнуть коливатись із деяким запізненням τ , відповідно до рівняння

\( \xi =\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}(t-\tau) \).

Час запізнення дорівнює \( \tau=x/v \), де \( {v}\) – швидкість поширення хвилі, x – відстань від джерела до даної точки (див. рис 1.1). Тому зміщення ξ є функцією двох змінних — координати й часу:

\( \xi(x,t)=\xi_{0}\cos\frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{v}\right) \) або \( \xi(x,t)=\xi_{0}\cos\left(\frac{2\pi}{T}t-\frac{2\pi}{vT}x\right) \).

Це рівняння можна переписати зручніше у вигляді

або

де враховано співвідношення ω = 2π/T та введено величини λ і k , які називаються відповідно довжиною хвилі та хвильовим числом і визначаються співвідношеннями:

Вираз (1.2) (або (1.1)) є рівнянням плоскої гармонічної хвилі. Воно визначає зміщення ξ частинок середовища у будь-якій точці простору і в будь-який момент часу.

(Примітка. Для хвилі іншої природи під “зміщенням” слід розуміти збурення тієї фізичної величини, що визначає природу хвилі).

Розглянута хвиля утворюється праворуч від мембрани й поширюється в додатньому напрямку осі ОХ. По інший бік мембрани утворюється така сама хвиля, що поширюється в протилежному напрямі. Її рівняння отримаємо з (1.2) заміною \( {v}\) на \( {-v}\):

Характеристики гармонічної хвилі. Зрозуміло, що всі характеристики гармонічних коливань одночасно є характеристиками й гармонічної хвилі. Це амплітуда ξ₀, період T, циклічна ω або лінійна ν частота та фаза (аргумент гармонічної функції у рівнянні хвилі). У цьому зв’язку одразу зауважимо, що коливання в гармонічній хвилі створюються й підтримуються певним джерелом, тобто є вимушеними. Тому

період (частота) хвилі визначається тільки джерелом і не залежить від властивостей середовища.

Дві інші величини – λ і k – є специфічними саме для хвилі й пов’язані з її поширенням у просторі. Зокрема із (1.3) видно, що

довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за час одного періоду коливань.

Для кращого розуміння особливостей хвильового процесу розглянемо залежність величини ξ від часу ξ(t) в заданій точці простору x = x₀ та від координати ξ(х) в заданий момент часу t = t₀. Згідно з (1.1), ці залежності мають вигляд:

Графіки ξ(t) та ξ(x) показані на рис. 1.2.

Рис. 1.2а показує, що в будь-якій точці простору відбуваються гармонічні коливання величини ξ з періодом T і частотою ω = 2π/T, а з рис. 1.2б видно, що в будь-який момент часу значення ξ розподілені у просторі теж за гармонічним законом. При цьому величина λ дорівнює найменшій відстані у напрямку поширення хвилі між точками, в яких коливання відбуваються в однаковій фазі.

(Примітка. Формально зсув фаз складає 2π, але, позаяк частинки в таких точках рухаються однаково, говорять, що вони коливаються в однаковій фазі, або синфазно).

Отже, можна сказати, що

довжина хвилі є просторовим періодом хвилі.

Як і для локальних коливань,

аргумент гармонічної функції в рівняннях (1.1), (1.2) називається фазою хвилі.

Згідно з (1.2), фаза хвилі через частоту та хвильове число визначається, як

Фаза визначає і величину ξ, і характер її зміни в різних точках і в різні моменти часу. Тому різниця фаз δ = φ₁ - φ₂ в двох точках простору характеризує узгодженість коливань, які збуджуються хвилею в цих точках. Для хвилі в однорідному ізотропному середовищі різниця фаз у двох точках  в заданий момент часу дорівнює

де літерою l позначено відстань від джерела до даної точки й ураховано зв’вязок (1.4) між хвильовим числом і довжиною хвилі. Співвідношення (1.7а) визначає також і різницю фаз двох різних хвиль у даній точці простору за умови, що вони мають однакові частоти і початкові фази. В цьому випадку величина Δl  називається різницею ходу хвиль; вона є зручною при аналізі різних хвильових явищ.

Хвильові поверхні та фазова швидкість. Фаза хвилі є функцією координат і часу. В даній точці простору вона змінюється з часом. Так само, в даний момент часу фаза змінюється при переході від однієї точки до іншої. При цьому задане значення фази хвиля має не в одній, а в цілій множині точок, які утворюють відповідну “хвильову поверхню”. Отже,

хвильовою поверхнею називається множина точок у просторі хвилі, в яких у фіксований момент часу фаза хвилі має однакове значення.

В однорідному й ізотропному середовищі, як випливає з (1.7), всі точки хвильової поверхні є рівновіддаленими від джерела. Справді, при заданих величинах φ = φ₀ і t = t₀

Через кожну точку з будь-якою координатою x проходить хвильова поверхня із відповідною фазою

φ₀ = ωt₀ - kx,

отож у просторі хвилі існує нескінченна множина хвильових поверхонь.

Гармонічна хвиля, що тут розглядається, є ідеалізацією: вона займає увесь нескінченний простір і ніяк не обмежена у часі, позаяк у рівнянні (1.2) величини x і t можуть бути якими завгодно. Але реальна хвиля за час від моменту виникнення до заданої миті досягає точок, які віддалені від джерела на певну скінченну відстань. Тому існує хвильова поверхня, що відокремлює область простору, в якій хвиля є, від тієї, куди вона ще не дісталась. Така межова поверхня називається фронтом хвилі.

Із рівнянь (1.7) і (1.8) випливає також, що хвильові поверхні рухаються. Рівняння руху хвильової поверхні отримаємо з (1.8), увівши замість заданого моменту t₀ поточний час t:

\( {x}=-\frac{\varphi_{0}}{k}+\frac{\omega}{k}{t} \) \( \Rightarrow \) \( {v}=\frac{\omega}{k}\).

Отже, хвильові поверхні рухаються із швидкістю

яка називається фазовою швидкістю.

Зіставлення цього виразу з (1.4) показує, що саме з такою швидкістю поширюється гармонічна хвиля. Тому визначник “фазова” може здатися зайвим. Але в теорії він є необхідним, оскільки реальні хвилі не є строго гармонічними і поширюються з іншою, так званою груповою швидкістю, що збігається фазовою лише в окремих випадках.

Плоскі, циліндричні та сферичні хвилі. Оскільки в однорідному й ізотропному середовищі всі точки хвильової поверхні є рівновіддаленими від джерела, їхня форма визначається геометричною конфігурацією джерела і може бути складною. Але в теорії та практиці найчастіше розглядаються три найпростіші типи хвиль – плоскі, циліндричні та сферичні.

Плоскою хвилею називається така, що має плоскі хвильові поверхні. Саме тому розглянута вище хвиля (1.2), що створюється джерелом у формі нескінченної площини і в усіх точках поширюється в одному напрямку ОХ, називається плоскою. Відповідно до (1.8), координати точок довільної хвильової поверхні хвилі (1.2) визначаються загальним рівнянням x = const, яке є рівнянням площини, перпендикулярної до осі ОХ. Отже, хвильові поверхні плоскої хвилі (1.2) складають множину площин, які орієнтовані перпендикулярно до напрямку поширення хвилі (рис. 1.3а ).

Розглянемо тепер хвилю, що створюється джерелом у вигляді нескінченної прямої пульсуючої нитки. З міркувань симетрії зрозуміло, що така хвиля в однорідному ізотропному просторі поширюється від нитки радіально по всіх напрямках і з однаковою швидкістю. Відповідно, хвильові поверхні такої хвилі являють собою множину коаксіальних циліндрів (рис. 1.3б), через що вона й називається циліндричною хвилею.

Рівняння циліндричної хвилі можна з відповідними корекціями отримати з (1.2). По-перше, циліндрична хвиля поширюється по всіх радіальних напрямках, тому координату x в (1.2) треба замінити на відстань r від даної точки хвилі до нитки:

ξ(r,t) = ξ₀cos(ωt - kr).

І, по-друге, слід урахувати залежність амплітуди циліндричної хвилі від відстані r до джерела. Джерело має певну потужність і створює у просторі відповідний потік енергії. Тому в середовищі без поглинання крізь будь-яку хвильову поверхню щосекунди проходить однакова енергія Φ₀ .

(Примітка. В ідеальній циліндричній хвилі лінійне джерело вважається нескінченним. Тому під Φ₀ слід розуміти потік енергії, що проходить крізь ділянку циліндричної хвильової поверхні заданої довжини).

Енергія коливань розподіляється по хвильовій поверхні S із поверхневою густиною

\( {j}=\frac{\Phi_{0}}{S} \).

Величина j визначає концентрацію енергії, тож і амплітуду коливань у кожній точці хвильової поверхні. Енергія коливань є прямо пропорційною квадратові амплітуди (див. Частина І, п. 2.4), отже

У циліндричній хвилі площа ділянки хвильової поверхні довжини \( {l} \) і радіуса r дорівнює \( {S} = 2\pi{rl} \), Тому можна записати

де a – амплітудний множник залежний від потужності джерела.

Відтак рівняння циліндричної хвилі набуває вигляду:

Третя з названих простих є сферична хвиля. Вона створюється в однорідному ізотропному середовищі точковим джерелом і має хвильові поверхні у формі сфер із центром у джерелі (рис.1.3в). Очевидно, що миттєві значення величини ξ(r, t) зменшуються при віддаленні від джерела, тому рівняння сферичної хвилі є подібним до рівняння циліндричної хвилі. Відміна полягає тільки в залежності амплітуди ξ₀ від відстані r до джерела. В сферичній хвилі на відстані r від джерела потік енергії Φ₀ рівномірно розподіляється по поверхні сфери площею S = 4πr², тож густина потоку є обернено пропорційна квадратові відстані: j ~ (1/r²). Отже, згідно з (1.10) і (1.11),

і рівняння сферичної хвилі має вигляд

Стосовно отриманих результатів слід зробити деякі зауваження. По-перше, можливі значення координат і часу в рівняннях (1.2), (1.11) і (1.13) формально є нічим не обмежені. Тож вони описують абстрактні хвилі, що охоплюють увесь простір і ніяк не обмежені в часі. Реальні ж хвилі десь і колись починаються та закінчуються і тому мають складніші властивості, зокрема, характеризуються двома швидкостями – фазовою та груповою. Крім того плоске та лінійне джерело не можуть бути нескінченними, тому створити плоску або циліндричну хвилю в усьому просторі є принципово неможливо.

(Правда, за допомогою відповідних технічних засобів їх можна створити в обмеженій області простору. До прикладу, в оптиці це роблять за допомогою лінз або дзеркал).

Неможливим є й необмежене зростання амплітуди (\( \xi_{0}\to\infty\)) циліндричної та сферичної хвиль при наближенні до джерела (\( {r}\to{0}\)), яке випливає з рівнянь (1.11) і (1.13), оскільки в дійсності лінійне (нитка) та точкове (кулька) джерело мають певний скінченний радіус r₀. Тому рівняння (1.11) і (1.13) реально виконуються тільки хвильовій зоні — на відстанях r, які суттєво перевищують r₀.

Хвильовий вектор. Для однієї плоскої хвилі завжди можна вибрати систему координат так, аби хвиля поширювалась уздовж осі ОХ і описувалася рівнянням (1.2). Але при одночасному розгляді декількох хвиль, які поширюються в різних напрямках, це неможливо. Тому треба встановити загальне рівняння хвилі, тобто визначити функцію \( \xi{(\vec{r}t)}\) у довільній точці з радіусом-вектором \( \vec{r}\). Для зручності розглянемо хвилю, що поширюється перпендикулярно до осі OZ у довільному напрямку. Покажемо цей напрямок на рис. 1.4 одиничним вектором (ортом) \( \vec{n} \) і проведемо в напрямку \(\vec{n}\) допоміжну координатну вісь ОХ′.

Виберемо тепер якусь точку \( \mathrm{P}(\vec{r}) \) із радіусом-вектором \( \vec{r} \) і проведемо через неї відрізок АВ перпендикулярно до осі ОХ′, який зображує хвильову поверхню, що проходить через точку Р і перетинається з віссю ОХ′ в точці Р′. Оскільки обидві точки лежать на одній хвильовій поверхні, коливання в них однакові і, згідно з (1.2), записуються, як:

\( \xi = \xi_{0}\cos{(\omega{t}-kx^{\prime})} \).

Із рис. 1.4 видно, що \( {x}^{\prime}=r\cos\alpha =\vec{n}\cdot\vec{r} \). То ж рівняння коливань в точці \( {P}(\vec{r}) \) має вигляд

\( \xi{(r,t)}=\xi_{0}\cos{(\omega{t}-kr\cos\alpha )}=\xi_{0}\cos{(\omega{t}-k\vec{n}\cdot\vec{r})}\).

Це рівняння є чинним для будь-якої точки та будь-якого напрямку поширення плоскої хвилі й по суті є її загальним рівнянням. Але його можна подати краще, увівши замість хвильового числа k = 2π/λ хвильовий вектор

який визначає не лише довжину хвилі λ, а й напрям її поширення. Тому загальне рівняння плоскої гармонічної хвилі у векторній формі записується як

У декартовій системі координат

При поширенні плоскої хвилі вздовж осі OX k_y = k_z =0, k_x = k, і рівняння (1.15а) трансформується в розглянуте раніше рівняння (1.2). Також, з урахуванням виразів (1.10а) і (1.12), рівняння (1.15) можна застосовувати й для циліндричних та сферичних хвиль.

Загасаючі хвилі. Досі розглядалися хвилі в абсолютно пружному середовищі, де відсутні втрати енергії коливань. Якщо ж середовище поглинає енергію хвилі, то це призводить до додаткового зменшення амплітуди із віддаленням від джерела, і хвиля є загасаючою. Як свідчить дослід, зменшення амплітуди через поглинання відбувається за експоненціальним законом \( \xi=\xi_{0}\mathrm{e}^{-\gamma{x}}\). Тому рівняння плоскої, сферичної та циліндричної хвиль у середовищі із загасанням, відповідно, мають вигляд:

\( \xi=\xi_{0}\mathrm{e}^{-\eta{x}}\cos{(\omega{t}-kx)}\),

\( \xi=\frac{A}{r}\mathrm{e}^{-\eta{r}}\cos{(\omega{t}-kr)} \),

\( \xi=\frac{A}{\sqrt{r}}\mathrm{e}^{-\eta{r}}\cos{(\omega{t}-kr)} \).

1.3. Хвильове рівняння

На початку відмічалося, що всі хвильові процеси мають низку спільних властивостей. Це виявляється в тому, що хвильова функція ξ будь-якої хвилі є розв’язком єдиного диференціального рівняння, що називається хвильовим рівнянням. Знайдемо хвильове рівняння незагасаючої хвилі на прикладі плоскої гармонічної хвилі (1.15а). Для цього визначимо другі частинні похідні по часу та по координатах від функції ξ(x,y,z,t):

\( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial{x}^{2}}=-\xi_{0}k_{x}^{2}\cos{(\omega{t}-k_{x}x-k_{y}y-k_{z}z)}=-k_{x}^{2}\xi \).

Аналогічно отримаємо:

\( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial{y}^{2}}=-k_{y}^{2}\xi \), \( \frac{\partial^{2}\xi}{\partial{z}^{2}}=-k_{z}^{2}\xi \).

Додавши координатні похідні і врахувавши, що \( {k}_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k^{2}\), одержимо:

Вираз в дужках записують скорочено, як

де символи \( \Delta \) або \( \nabla^{2}\) позначають оператор Лапласа.

(Довідка. У математиці терміном “оператор” і відповідним символом позначають задану послідовність математичних дій (операцій), які належить виконати над тою чи іншою функцією. Зокрема, в декартових координатах (1.17) оператор Лапласа передбачає взяття других похідних по координатах від заданої функції \( \xi{(x,y,z,t)}\) вираз буде іншим.

З урахуванням цього вираз (1.17) можна переписати, як

\( \xi=-\frac{1}{k^{2}}\nabla^{2}\xi\).

Відтак, порівнюючи його з виразом (1.16), отримуємо:

\( \frac{1}{k^{2}}\nabla^{2}\xi=\frac{1}{\omega^{2}}\frac{\partial^{2}\xi}{\partial{t}^{2}}\).

Звідси випливає хвильове рівняння:

в якому параметр \( {v}=(\omega{/k}) \) є фазовою швидкістю хвилі.

Можна довести, що це диференціальне рівняння виконується не лише для плоскої гармонічної хвилі (1.15а), а й для незагасаючої хвилі будь-якого виду та природи.

1.4 Стоячі хвилі

При накладанні хвиль, які поширюються в зустрічних напрямах, за відповідних умов виникає специфічний коливальний процес, відомий як стояча хвиля. Розглянемо утворення стоячої хвилі при накладанні двох плоских гармонічних хвиль, які поширюються у протилежних напрямах осі ОХ (див. анімацію) і в яких коливання відбуваються вздовж одного напрямку з однаковою амплітудою ξ₀ і частотою ω, але з певним зсувом фаз α.

Відповідно до (1.2) і (1.5), запишемо рівняння указаних хвиль у вигляді:

Відомо, що хвилі задовольняють принцип суперпозиції. Тому при накладанні даних двох хвиль результуючі коливання в кожній точці й у кожен момент часу визначаються як ξ = ξ₁ + ξ₂, або розгорнуто:

Це рівняння можна переписати у вигляді

де

Отже, при накладанні указаних зустрічних хвиль у кожній точці простору виникають гармонічні коливання з частотою ω та залежною від координати амплітудою A(x). Згідно з (1.23), амплітуда коливань періодично змінюється так, що вздовж осі ОХ утворюється низка пучностей — точок із максимальною амплітудою A_п = 2ξ₀ та вузлів — точок, у яких амплітуда A_в = 0, тобто, коливання відсутні. Визначимо координати таких точок, узявши до уваги, що k = (2π/ λ). Для пучностей маємо:

Виходячи з умови cos(kx - (α/2)) = 0, аналогічно отримаємо координати вузлів:

Координати пучностей і вузлів не залежать від часу. Це означає, що утворені при накладанні зустрічних хвиль коливання (1.22) не поширюються в просторі. Тому такий коливальний процес називається стоячою хвилею. Відповідно, рівняння (1.21) є рівнянням плоскої стоячої хвилі. У цьому контексті хвилю, що поширюється, називають біжучою хвилею. Краще уявити характер коливань у стоячій хвилі та її відміну від біжучої допоможе рис. 1.5, на якому показано графіки ξ(x) при α = – π для моментів часу t₁ < t₂ < t₃ у випадку біжучої (а) та стоячої (б) хвиль.

Видно, що в біжучій хвилі коливання зміщуються в напрямку поширення хвилі, а в стоячій хвилі вони не переміщуються в просторі й мають характер пульсацій. Як наслідок, енергія в стоячій хвилі виявляється запертою в областях між вузлами й не переноситься в просторі.

Положення вузлів та пучностей залежить від зсуву фаз α в (1.23), який для двох абстрактних хвиль може бути довільним. Але практично зустрічні хвилі (1.20) утворюють, спрямовуючи плоску хвилю по нормалі на плоску поверхню, що відбиває падаючу хвилю у зворотньому напрямку. В такому разі величина α може дорівнювати тільки 0, або π, залежно від умов відбивання. При відбиванні від більш густого середовища (див. анімацію), як, наприклад, при відбиванні звукової хвилі в повітрі від твердої стінки, фаза в точці відбивання змінюється на протилежну, тож α = π. А при відбиванні від менш густого середовища (див. анімацію), приміром, як у випадку звукової хвилі, що поширюється всередині твердого стержня й відбивається від його торців, фаза не змінюється, і α = 0. Тому, відповідно до (1.24) і (1.24а), координати пучностей та вузлів стоячої хвилі у першому випадку визначаються, як

а в другому – як

Із цих виразів випливає, що в точці відбивання (x = 0) при відбиванні від більш густого середовища утворюється вузол, а при відбиванні від менш густого середовища – пучність стоячої хвилі. Але за будь-яких умов відстань Δx між сусідніми вузлами або пучностями стоячої хвилі дорівнює

Реально стоячі хвилі утворюються в обмеженому об’ємі, наприклад, при відбиванні від основ пружного стержня. При цьому на обох основах утворюються або вузли, або пучності, тому на довжині стержня вкладається ціла кількість вузлів або пучностей. Це означає, що між двома відбиваючими поверхнями, розміщеними одна від одної на відстані l, можуть утворюватися лише стоячі хвилі з дискретними наборами довжин хвилі λ_п і хвильових чисел k_п, які задовольняють умови:

Частоти таких хвиль, які інакше називають власними частотами, мають значення

де \( {v}\) – фазова швидкість хвилі.

Як наслідок, при збудженні й поширенні в обмеженому просторі багатьох коливань із будь-якими можливими частотами, в ньому утворюються система стоячих хвиль із відповідним дискретним набором (спектром) власних частот і довжин хвилі. При цьому частотний спектр стоячих хвиль залежить від форми та розмірів області простору, в якій вони утворюються і у випадку звукових хвиль визначає характерне "забарвлення" або тембр звуку.

Контрольні запитання

1. Що таке хвиля? Наведіть приклади хвиль різної природи.

2. Які хвилі називаються гармонічними?

3. Що таке довжина хвилі та хвильове число?

4. Як пов’язані між собою довжина хвилі, період коливань і швидкість поширення хвилі? Від чого залежить кожна з цих величин?

5. Що називається фазою хвилі? Чи можна сказати, чому дорівнює фаза хвилі із заданою частотою та довжиною хвилі: а) у даній точці простору ; б) у даний момент часу?

6. Що називається хвильовою поверхнею? Фронтом хвилі?

7. З якою швидкістю рухаються хвильові поверхні? Як ця швидкість називається?

8. Чи визначає фазова швидкість механічної хвилі рух частинок середовища? А групова?

9. Яка відміна існує між термінами “рівняння хвилі” та “хвильове рівняння”? Запишіть хвильове рівняння та загальне рівняння плоскої гармонічної хвилі.

10. Що таке стояча хвиля та за яких умов вона утворюється?

11. Плоска звукова хвиля падає по нормалі на плоску стінку й відбивається. Запишіть координати вузлів та пучностей стоячої хвилі, що утворюється.