Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

IІІ. ДИНАМІКА СИСТЕМИ

2. Центр мас

На загал у будь-якій системі окремі тіла рухаються з різними за модулем і напрямом швидкостями. Тому вираз імпульсу системи через імпульси окремих частинок \( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}\) не дає наочного уявлення про напрям та величину швидкості всієї системи. Але таку цілісну картину дає визначена точка, що є зв’язана із системою і називається її центром мас. При цьому виявляється, що в багатьох задачах систему тіл можна трактувати як одну матеріальну точку, розміщену в центрі мас системи. Далі розглянуто:

2.1. Положення центра мас

2.2. Рух центра мас

2.3. Система відліку центра мас

Контрольні запитання

2.1. Положення центра мас

В існуванні такої точки можна переконатись і встановити її розташування можна, певним чином перетворивши вираз імпульсу системи \( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}\). Для цього замінимо в ньому швидкості тіл \( \vec{v}_i \) похідними \({{{r}'}_{i}}\) їхніх радіусів-векторів по часові і виконаємо низку наступних тотожних перетворень:

\( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}^{\prime}=\left(\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}\right)^{\prime}\)= \(= \sum_{i}m_{i}\left(\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}\right)^{\prime}=m\cdot\left(\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}\right)^{\prime} \) ,

(2.1)

де \( {m}=\sum_{i}m_{i}\) — загальна маса системи.

Величина під знаком похідної у двох останніх виразах являє собою вектор із початком у початку відліку О, тобто, є радіусом-вектором \(\vec{R}_c \) певної точки С, яка й називається центром мас системи. Рис. 5.2 ілюструє графічне визначення радіуса-вектора \(\vec{R}_c \) і розташування цієї точки для системи з двох тіл із масами m1 та m2 = 2 m1.

Таким чином, за означенням

центром мас механічної системи називається точка, положення котрої визначається радіусом-вектором

\( \vec{R}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{m}\).

(2.2)

Координати центра мас визначаються аналогічно:

\( {X}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}x_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}x_{i}}{m}\),

\( {Y}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}y_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}y_{i}}{m}\),

\( {Z}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}z_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}z_{i}}{m}\).

(2.2а)

2.2. Рух центра мас

Відповідно виразу (2.2), вектор швидкості центра мас системи \({{\vec{V}}_{c}}={{{\vec{R}}'}_{c}}\) виражається через швидкості окремих частинок системи, як

\({{\vec{V}}_{c}}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}}\).

(2.3)

Таким чином, результат викладок (2.1) для імпульсу системи набуває вигляду:

\(\vec{P}=m{{\vec{V}}_{c}}\)

(2.4)

Підставивши цей вираз у закон зміни імпульсу системи (1.1), отримаємо рівняння руху центра мас:

\( m\frac{d{{{\vec{v}}}_{c}}}{dt}=\vec{F}\), (2.5)

або

\( m{{a}_{c}}=\vec{F}\). (2.5а)

Отже,

центр мас довільної системи рухається, як матеріальна точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на тіла системи.

Це твердження називають теоремою про рух центра мас.

(Варто зауважити, що наведене формулювання декого може спровокувати на хибну думку, що центр мас є точкою, “в якій зосереджена маса системи”. Зрозуміло, що це абсолютно неправильно. Зокрема, для системи рознесених у просторі тіл із сумірними масами центр мас зазвичай розташовується поза межами будь-якого з них).

2.3. Система відліку центра мас

З теореми про рух центра мас випливає, що при аналізі руху системи тіл як цілого її можна трактувати як одну матеріальну точку з масою всієї системи, котра розміщена в центрі мас і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють в системі. Але поняття центра мас виявляється корисним і при розгляді рухів тіл усередині системи. Для цього з центром мас пов’язують систему відліку, що називається системою відліку центра мас, або коротко  Ц-системою відліку. Позаяк початок відліку є нерухомим за означенням, то, згідно з (2.9),

в Ц-системі відліку центр імпульс будь якої системи тіл[1] дорівнює нулю:

\( \tilde{\vec{P}}=\sum _{i}{{{{\tilde{\vec{p}}}}_{i}}}=0 \).

Це істотно полегшує розгляд багатьох процесів, зокрема, зіткнень між частинками. До прикладу, для системи з двох частинок

\( {{\tilde{\vec{p}}}_{1}}+{{\tilde{\vec{p}}}_{2}}={0}\) \( \Rightarrow \) \({{\tilde{\vec{p}}}_{1}}=-\tilde{\vec{p}}\),

(2.6)

тобто,

в Ц-системі відліку двох частинок вони завжди мають однакові за величиною й протилежні за напрямом імпульси.

Така симетричність рухів є дуже зручною, зокрема, при розгляді зіткнень між частинками. Приміром, якщо дві частинки стикаються непружно (“злипаються”), то в Ц-системі вони зупиняються, отже в К-системі їхня швидкість після зіткнення \( \vec{u}=\vec{V}_c \) i визначається виразом (2.9).

Наостанку зауважимо, що Ц-система відліку незамкненої системи тіл є неінерціальною, оскільки \({{\vec{a}}_{c}}\ne 0\) (див. рівняння (2.10а)). Але

Ц-система відліку замкненої системи тіл завжди є інерціальною.

Контрольні запитання

1. Якими формулами визначається положення центра мас системи?

2. Який зв’язок існує між імпульсом системи та рухом її центра мас?

3. Виходячи з того, що центр мас однорідного симетричного тіла знаходиться в центрі симетрії, визначте положення центра мас пластини у формі довільного трикутника та сформулюйте результат.

4. Як записується та формулюється теорема про рух центра мас системи?

5. Як визначаються швидкості та імпульси двох частинок у їхній Ц - системі відліку?

6. Чому дорівнює сумарний імпульс тіл довільної системи в їхній Ц - системі відліку?


[1] Величини, що визначені в Ц-системі відліку, будемо відмічати позначкою ~ (тильда) над символом величини.