Print this chapterPrint this chapter

ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА

IІІ. ДИНАМІКА СИСТЕМИ

1. Імпульс системи

Однією з величин, які визначають механічний стан не лише окремих тіл, а й систем у цілому, є імпульс. Нагадаємо, що імпульс \( \vec{p}\) окремого тіла (матеріальної точки) визначається добутком її маси на швидкість, а для системи — сумою імпульсів усіх, тіл, які входять до її складу:

\( \vec{P}=\sum_{i}\vec{p}_{i}=\sum_{i}m\vec{v}_{i}\)

Що відбувається з цією величиною за різних умов, розглядається наступних пунктах.

1.1. Імпульс незамкненої системи

1.2. Закон збереження імпульсу

1.3. Рух тіл змінної маси (рівняння Мещерського)

Контрольні запитання

1.1. Імпульс незамкненої системи

Розглянемо найпростішу систему, що складається всього з двох матеріальних точок 1 і 2, які взаємодіють між собою із силами \(\vec{f}_{12} \) та \(\vec{f}_{21} \) і на які діють зовнішні сили \(\vec{F}_1 \) і \(\vec{F}_2 \) (рис. 5.1). Рух кожної частинки визначається другим законом Ньютона (розділ І, (1.3)), тож зміна імпульсу системи виражається, як

\(\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}\) = \(\sum_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{i}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{1}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{2}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{1}+\vec{f}_{12}+\vec{F}_{2}+\vec{f}_{21}\).

Але, згідно з третім законом Ньютона, \(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21}=0 \), тому

\( \frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=\sum_{i}\vec{F}_{i}\).

Позаяк третій закон Ньютона виконується і в довільній системі для кожної пари частинок, то отриманий результат є загальним і згорнуто записується як

\(\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\vec{F} \),

(1.1)

де величина \( \vec{F}=\sum_{i}\vec{F}_{i}\) є сумарною зовнішньою силою[1], що діє на тіла системи.

Таким чином,

швидкість зміни імпульсу довільної системи дорівнює сумарній зовнішній силі, що діє на систему.

Це твердження й рівняння (1.1) інколи називають законом зміни імпульсу системи. Воно виражає той дуже важливий факт, що, на відміну від окремих частинок,

імпульс всієї системи можуть змінювати лише зовнішні сили[2].

Зміна імпульсу системи за скінченний проміжок часу \( [t_1,\,\,t_2] \) визначається повним імпульсом зовнішніх сил за цей проміжок:

\(\Delta\vec{P}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}\mathrm{d}t \).

(1.1а)

1.2. Закон збереження імпульсу

Збереження імпульсу системи. Якщо система є замкненою (зовнішні сили \(\vec{F}_i \) відсутні), то в рівнянні (1.1) \(\vec{F}=0 \), отже

\( \frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=0\) \(\Rightarrow \) \( \vec{P}=\mathrm{const} \).

(1.2)

У цьому полягає закон збереження імпульсу:

імпульс замкненої системи зберігається, тобто залишається незмінним у часі.

При цьому імпульси окремих тіл системи можуть змінюватися внаслідок взаємодії між собою, але лише так, аби їхній сумарний імпульс лишався незмінним. Іншими словами, взаємодія між тілами призводить тільки до обміну імпульсами без зміни загального імпульсу системи. Тому рівняння (1.2) розгорнуто можна записати так:

\( {m}_{1}\vec{v}_{1}^{\prime}+m_{2}\vec{v}_{2}^{\prime}+... \) =\( {m}_{1}\vec{v}_{1}^{\prime\prime}\) + \( {m}_{2}\vec{v}_{2}^{\prime\prime}+{...} \)

(1.2а)

де ліва та права частини відносяться до двох довільних моментів часу.

З наведених викладок можна зробити висновок, що закон збереження імпульсу є наслідком законів Ньютона, і це є цілком слушно. Але в науці трапляється, що висновок виявляється глибшим за формальний положення, з яких він випливає. Це можна сказати й про закон збереження імпульсу, який є одним із загальних фізичних законів. Він виконується не лише в механічних, а й у будь-яких ізольованих фізичних системах і за будь-яких умов. Зокрема, він є чинним в електромагнітних полях і квантових системах, хоча  в обох випадках закони Ньютона не виконуються. Те саме стосується й релятивістської механіки.

Використання закону збереження імпульсу. Універсальність закону збереження імпульсу робить його дуже важливим як для теорії, так і для практики. До прикладу, в багатьох випадках він дозволяє визначити кінцевий стан системи, не досліджуючи її еволюції в часі, коли в тому немає потреби чи не вистачає даних. А при аналізі маловивчених систем, як от у фізиці елементарних частинок, де доводиться розглядати багато гіпотетичних процесів, закони збереження висвітлюють усі ті, що є апріорі неможливими.

Практична цінність закону збереження імпульсу визначається тим, що він може достатньо точно виконуватись і в реальних системах, яку ніколи не бувають строго замкненими. Це можливо у таких випадках.

1. Зовнішні сили є компенсованими. Так буває, до прикладу, при русі тіл по гладкій горизонтальній поверхні, коли сили тяжіння, що діють на тіла є точно компенсовані і тертя практично відсутнє. За таких умов зіткнення між тілами відбуваються у точній відповідності до закону збереження імпульсу.

2. Зовнішні сили є неістотними. Класичним прикладом такої ситуації є розрив снаряда в повітрі що відбувається за дуже короткий проміжок часу під дією внутрішніх сил тиску порохових газів, які на порядки перевищують зовнішні сили тяжінні та опору повітря. І хоча осколки розлітаються з великими швидкостями, їхній сумарний імпульс дорівнює початковому імпульсу снаряда, позаяк зовнішні сили за час розриву не встигають помітно змінити імпульс системи. Але як перед, так і після розриву сили тяжіння та опору є визначальними в зміні імпульсу в процесі руху снаряда та утворених осколків .

3. Зовнішня сила має незмінний напрям. Якщо вектор сумарної зовнішньої сили \(\vec{F} \) має незмінний напрям, скажімо, вертикальний OY, то її проєкція на будь-який горизонтальний напрям ОX  Fх = 0, і dPx = 0. Відповідно, проєкція імпульсу системи на цей напрям зберігається:

\( {P}_{x}=\sum_{i}p_{ix}=\mathrm{const}\)

(1.3)

Ілюстрацією може бути незмінність (без урахування опору повітря) горизонтальної складової швидкості руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, .

Збереження імпульсу при наявності тільки внутрішніх сил демонструє відеофільм.

1.3. Рух тіл змінної маси (рівняння Мещерського)

Одним із цікавих і важливих наслідків збереження імпульсу є виникнення так званої “реактивної сили” при зміні маси тіла внаслідок витоку або притоку речовини. Це  спостерігається при русі автоцистерни, що поливає вулицю, навантаженні (чи розвантаженні) платформи на ходу, русі ракети з увімкненими двигунами, тощо.

Знайдемо рівняння руху такого тіла на прикладі космічної ракети, що виходить на орбіту. Позначимо як m і \( \vec{v} \) масу ракети та її швидкість відносно Землі. Відповідно, імпульс ракети \(\vec{p}=m\vec{v}\). Нехай за час dt двигун ракети викидає продукти згоряння палива масою \(\delta m\) зі швидкістю \( \vec{u} \) відносно ракети. Тоді її маса змінюється на величину –\(\delta m\), а швидкість – на деяку величину \(\mathrm{d}\vec{v} \), й імпульс стає рівним \(\left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\). Швидкість витоку продуктів згоряння відносно Землі дорівнює \(\vec{v}+\vec{u}\), а їхній імпульс складає \(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \). Отже, сумарний імпульс системи ракета-продукти згоряння стає рівним \(\left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\)+\(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \). Відповідно, зміна імпульсу системи за час dt становить

\( \left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\)+\(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \)\( m\vec{v}\).

Розкривши дужки і нехтуючи доданком \( \delta{m}\cdot\mathrm{d}\vec{v} \) (мала вищого порядку відносно інших), одержимо

\( d\left( m\vec{v} \right)=md\vec{v}+\vec{u}dm\)

Відтак поділимо обидві частини цієї рівності на dt:

\( \frac{d\left( m\vec{v} \right)}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{u}\frac{dm}{dt}\)

Згідно з виразом (1.1), ліва частина даного рівняння дорівнює сумарній зовнішній силі \(\vec{F} \), яка діє на систему[3]. Тому, врахувавши, що \(\delta{m}= -\mathrm{d}m \) (спад маси ракети), отримаємо:

\( \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}-\vec{u}\frac{dm}{dt}\) \(\Rightarrow \) \( m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}+\vec{u}\frac{dm}{dt}\)

(1.4)

Це є

основне рівняння динаміки тіла змінної маси, або рівняння Мещерського.

У розглянутому прикладі зміна маси тіла (ракети) була зумовлена відокремленням речовини (газів), отже dm < 0. Але рівняння Мещерського є чинним й у випадку, коли речовина приєднується, до прикладу, при завантаженні рухомої платформи піском (у цьому випадку dm > 0).

Рівняння (1.4) показує, що прискорення тіла змінної маси визначається не тільки зовнішньою силою \(\vec{F} \), а й величиною

\( \vec{F}_p=\vec{u}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \),

(1.5)

яку називають реактивною силою. Її модуль визначається швидкістю зміни маси тіла dm/dt, а напрям – характером зміни маси: якщо маса приєднується (dm/dt > 0), то \(\vec{F}_p \) за напрямом збігається з вектором відносної швидкості \(\vec{u} \), якщо ж маса відокремлюється (dm/dt < 0), то вектори \(\vec{F}_p \) та \(\vec{u} \) є антипаралельними. Зокрема, якщо продукти згоряння палива вилітають із сопла ракети вертикально вниз, то реактивна сила напрямлена вертикально вгору, що й забезпечує підйом ракети.

Контрольні запитання

1. Чи змінюється імпульс тіла при його рівномірному русі?

2. Чи однакове значення має в різних інерціальних системах відліку імпульс тіла або системи тіл? Зміна імпульсу?

3. Що таке ізольована система? Чи існують у природі строго ізольовані системи?

4. Які сили в механічній системі називаються внутрішніми та які – зовнішніми?

5. Від чого залежить зміна імпульсу системи з часом?

6. У чому полягає закон збереження імпульсу? Яке його значення?

7. Чи можна використовувати закон збереження імпульсу для неізольованих систем? Наведіть приклади.

8. Як  записується рівняння Мещерського?

9. Що таке реактивна сила та реактивний рух? Наведіть приклади.

10. Чому при пострілі з рушниці треба щільно притискати її до плеча?

11. Від чого залежить сила тяги реактивного двигуна?

 

[1] Зауважимо, що величину F не можна розглядати як “рівнодійну” за винятком ситуації, коли лінії дії всіх зовнішніх сил перетинаються в одній точці.

[2] Сили інерції, що діють на тіла в неінерціальних системах відліку, відносяться до зовнішніх сил.

[3] У нашому випадку – це сила тяжіння, що діє на ракету та на викинуті гази.