ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА
| Сайт: | physics.zfftt.kpi.ua |
| Курс: | physics.zfftt.kpi.ua |
| Книга: | ФІЗИКА ДЛЯ БАКАЛАВРІВ. МЕХАНІКА |
| Напечатано:: | |
| Дата: | Среда, 24 апреля 2024, 00:06 |
Оглавление
КУРС ФІЗИКИ ДЛЯ БАКАЛАВРІВ
В. П. Бригінець, С.О. Подласов
КУРС ФІЗИКИ ДЛЯ БАКАЛАВРІВ
Увага! Для роботи з книгою рекомендуємо користуватися браузерами Google Chrome або Internet Explorer. При використанні Firefox деякі формули можуть відтворюватися некоректно.
ПЕРЕДМОВА
Загальновідомо, що фізика є універсальною базою техніки — на закони фізики спираються всі прикладні й технічні науки технологічного та проектно-конструкторського спрямування. Тому вивчення фізики є конче необхідним для подальшої якісної фахової підготовки спеціалістів.
Пропонований короткий курс загальної фізики є базовим і призначений для студентів усіх спеціальностей. Тoму в курсі представлені основні розділи загальної фізики та фундаментальні положення, але практичним застосуванням законів фізики приділено лише мінімально необхідну увагу.
Навчальний матеріал, представлений в курсі, є адаптованим до рівня математичної підготовки студентів, яким фізику починають викладати з першого навчального семестру. Зокрема, в багатьох випадках, довелося відмовитися від строгих доведень і обмежитися тільки якісними міркуваннями та коментуванням змісту положень, що розглядаються. З тієї ж причини математичні викладки, що наводяться, по можливості виконуються детально й супроводжуються роз’ясненнями загального змісту відповідних математичних величин та операцій. Така інформація, аби не перевантажувати основний текст, подається у вигляді виносок. Слід відзначити, що розуміння та засвоєння навчального матеріалу вимагає знання основних понять вищої математики – границі, похідної, диференціалу, первісної та визначеного інтегралу, уміння брати похідні та інтеграли, аналізувати функції на екстремум, розв’язувати прості диференціальні рівняння. Треба також знати основні поняття векторної алгебри, дії з векторами, вміти знаходити проекції векторів і оперувати ними.
ВСТУП
Фізика — то є наука про природу, що вивчає найбільш прості[1] й загальні властивості матеріального світу. Через таку загальність фізика є універсальною базою всього природознавства та техніки й складається з багатьох окремих наук — класичної та квантової механіки, теорії відносності, електродинаміки, оптики, молекулярної фізики та інших.
Вивчення фізики починають із механіки – розділу, в якому розглядається механічний рух. Рух – то є зміна положення тіл у просторі із плином часу. Тому закони механіки найбільш явно виражають просторово-часові співвідношення між фізичними об’єктами та подіями й через них – властивості самого простору та часу.
Основні закони фізики свого часу були встановлені на основі спостережень відповідних явищ та експериментів і тому, за невеликим винятком, мають обмежену сферу застосовності. Зокрема, закони класичної механіки поширюються тільки на повільні рухи частинок і тіл у макроскопічних областях простору. Швидкі рухи підпорядковані законам спеціальної теорії відносності (релятивістської механіки), а рухи частинок у мікроскопічних областях – законам квантової механіки. При цьому під повільними рухами розуміються рухи зі швидкостями, набагато меншими за швидкість світла с = 3.108 м/с, а під швидкими — із швидкостями, що є сумірними із величиною с. Макроскопічна область простору — область, розміри якої набагато перевищують розміри атомів та молекул, а мікроскопічна — область порядку розмірів атома.
В класичній механіці ставляться і розв’язуються дві основні задачі:
1. Встановлення законів руху – співвідношень, які дозволяють визначати характер і характеристики руху будь-якого тіла чи системи тіл у залежності від його взаємодії з іншими тілами.
2. Знаходження таких загальних співвідношень між механічними характеристиками систем, які не залежать ані від складу та будови системи, ані від природи та характеру взаємодії між тілами системи.
Пошук загальних методів розв’язування першої задачі привело свого часу І. Ньютона до встановлення загальних законів руху (законів динаміки). Розв’язування ж другої задачі дозволило встановити закони збереження (імпульсу, енергії, моменту імпульсу).
Фізика є точною наукою — свої результати вона виражає не тільки словесно, а й за допомогою математичних співвідношень. Але властивості фізичних об’єктів і явищ є настільки багатогранними, що жодна теорія не може відобразити їх у всій повноті. Тому замість реальних об’єктів наука оперує фізичними моделями – ідеалізованими об’єктами, які відтворюють лише суттєві для розгляданих явищ властивості та фактори. В механіці основними моделями є матеріальна точка та абсолютно тверде тіло.
Матеріальною точкою називають тіло, розміри та форма котрого в умовах задачі, що розглядається, є не істотними. Отже, матеріальною точкою може бути не лише маленька частинка, а й велике тіло, приміром, Земля при розгляді її взаємодії з іншими небесними тілами та руху в космічному просторі. Тому в даному посібнику скрізь, за винятком механіки твердого тіла, терміни “частинка”, “матеріальна точка”, та “тіло” не розрізняються.
Абсолютно твердим тілом називається тіло, взаємне розташування точок якого є незмінним, тобто — тіло, що не деформується. При розгляді законів руху всі тіла вважаються абсолютно твердими.
Положення тіла у просторі та його рух можна визначити тільки відносно якогось іншого тіла, яке називають тілом відліку. Задля можливості точного задання положення даного тіла відносно тіла відліку з останнім пов’язують ту чи іншу систему координат. Окрім того, для опису руху треба мати якийсь загально визнаний і узгоджений принцип фіксації моментів і вимірювання проміжків часу в усіх точках простору[2], або, як говорять, треба мати годинник. При цьому
сукупність тіла відліку, пов’язаної з ним системи координат і нерухомого відносно неї годинника називають системою відліку.
Отже, положення та рух тіла є визначеним тільки відносно конкретної системи відліку. В той же час вибір системи відліку є довільним[3] і визначається тільки зручністю опису руху в заданих конкретних умовах. Тому
положення в просторі й рух тіл є відносними за самою природою.
Основні закони механіки розглядаються в розділах:
VІ. ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
[1] Мається на увазі, що фізика не торкається феномену життя та пов’язаних із ним специфічних процесів.
[2] Принагідно відзначимо, що вимірювання часу спираються на періодичні процеси, наприклад, коливання маятника механічного годинника, або коливання напруги на конденсаторі в коливальному контурі електронного годинника, тощо.
[3] Це стосується як тіла відліку, так і системи координат. Так, для опису руху тіл в невеликих областях простору в умовах Землі найчастіше використовують декартову систему координат, а в геодезії та навігації – сферичну.
І. КІНЕМАТИКА
Кінематика – це початковий розділ механіки, в якому встановлюються поняття та величини, що визначають рух, а також способи опису та загальні співвідношення між характеристиками руху без аналізу причин, які їх зумовлюють. Далі розглядаються:
1. Кінематика матеріальної точки
1. Кінематика матеріальної точки
Існують різні способи опису положення і руху тіла в обраній системі відліку – векторний, координатний та природній – і відповідний набір кінематичних величин, які для цього використовуються. В наступних пунктах окремо розглядається кожен із цих способів та зв'язок між кінематичними характеристиками руху в різних системах відліку (перетворення Галілея):
1.1. Векторний спосіб опису руху
1.2. Координатний спосіб опису руху
1.3. Природній спосіб опису руху
Радіус-вектор, траєкторія, шлях, переміщення. Положення точки у просторі можна задати вектором, проведеним із початку відліку в цю точку (рис.1.1), який називається її радіусом-вектором \( \vec{r} \).
Рухома частинка, отже й кінець її радіуса-вектора, описує в просторі неперервну лінію, котра називається траєкторією руху. Можна сказати, що траєкторія є геометричним місцем точок кінця радіуса-вектора частинки, що рухається. Довжина відрізка траєкторії між двома даними точками називається шляхом, пройденим частинкою за відповідний проміжок часу. Шлях визначає відстань, яку пройшла частинка вздовж траєкторії, але шлях не містить жодної інформації про її кінцеве положення. Тому для визначення зміни положення точки в просторі використовують
переміщення \( \Delta\vec{r} \) – вектор, який проводять із початкового в кінцеве положення точки на траєкторії (рис. 1.1).
Очевидно, що
|
\( \Delta\vec{r}=\vec{r}_2- \vec{r}_1. \) |
(1.1) |
|
Модуль вектора переміщення \( |\Delta\vec{r}| \) дорівнює відстані між початковим та кінцевим положенням точки на траєкторії і в загальному випадку не дорівнює пройденому шляху S (рис. 1.1.): \( \left|\Delta\vec{r}\right| \le S \).
Але переміщення \( \mathrm{d}\vec{r} \) за нескінченно малий проміжок часу співпадає з відповідною нескінченно малою ділянкою траєкторії (рис. 1.2).
Тому модуль вектора елементарного переміщення \( \left|\mathrm{d}\vec{r}\right| \) і пройдений точкою шлях dS збігаються:
|
\( \left|\mathrm{d}\vec{r}\right|=\mathrm{d}S. \) |
(1.1а) |
Вектор \( \mathrm{d}\vec{r} \) є напрямлений по дотичній до траєкторії, тож указує напрям руху тіла в даній точці траєкторії.
Швидкість. Стан руху точки визначається не просто зміною її положення в просторі, а тим, як ця зміна відбувається у часі. Наближено це відображає відношення переміщення \( \Delta{\vec{r}} \) до проміжку часу Δt, за який воно здійснене. Така величина називається середнім вектором швидкості (або вектором середньої швидкості переміщення) \( \langle\vec{v}\rangle \):
|
\( \langle\vec{v}\rangle=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}} \). |
(1.2) |
Напрям вектора \( \langle\vec{v}\rangle \) співпадає з напрямом вектора переміщення (рис.1.1), і його модуль
|
\( \left|\left\langle \vec{v} \right\rangle\right| =\frac{\left| \Delta \vec{r} \right|}{\Delta t} \). |
(1.2а) |
Слід зазначити, що вектор середньої швидкості є визначеним тільки для заданого проміжку часу Δt, тож для різних проміжків він може відрізнятись як за модулем, так і за напрямком. Але при поступовому зменшенні величини Δt відношення \( \Delta{\vec{r}}/ \Delta{t} \) прямує до визначеної границі \( \vec{v} \), яка є точною характеристикою руху в кожну мить і називається миттєвою швидкістю (або просто швидкістю):
|
\( \vec{v}=\underset{\Delta t\to{0}}\lim\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta{t}}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\equiv {\vec{r}}^{\prime}(t)\equiv \dot{\vec{r}}(t) \). |
(1.3) |
Оскільки переміщення \( \Delta\vec{r} \) є приростом радіуса-вектора, то миттєва швидкість є похідною від радіуса-вектора по часу[1]. При цьому вектор \( \vec{v} \) є співнапрямлений з вектором \( \mathrm{d}\vec{r} \) , отже,
вектор миттєвої швидкості в кожній точці напрямлений по дотичній до траєкторії .
Вектор \( \vec{v} \) показує не тільки як швидко, а й у якому напрямі переміщується тіло в кожен момент часу. Тому говорять, що вектор швидкості є мірою стану руху тіла. Зокрема, поведінка вектора швидкості дає загальну інформацію про характер руху. До прикладу, якщо \( \vec{v}=\mathrm{const} \), то ані величина, ані напрям швидкості не змінюються, тож тіло рухається рівномірно і прямолінійно. Якщо ж незмінною лишається тільки модуль вектора швидкості, то тіло здійснює рівномірний криволінійний рух, тощо.
У практичних задачах часто буває істотним не напрям руху, а лише швидкість подолання тілом шляху. Тому, крім величин \( \left\langle\vec{v}\right\rangle \) і \( \vec{v} \), використовують середню \( \langle{v}\rangle \) та миттєву v скалярні або шляхові швидкості, які означають через пройдений шлях аналогічно до співвідношень (1.2) і (1.3):
|
\( \langle{v}\rangle=\frac{S}{\Delta{t} }, \) |
(1.4) |
і
|
\( {v}=\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}\). |
(1.5) |
Зауважимо, що із співвідношення (1.1а) випливає, що миттєва шляхова швидкість v збігається із модулем вектора миттєвої швидкості, але для середніх швидкостей це, на загал, не так.
Прискорення. Ще однією характеристикою руху є прискорення. Вектор миттєвого прискорення (або просто прискорення) \( \vec{a} \) визначає швидкість зміни вектора швидкості у часі й уводиться аналогічно до миттєвої швидкості:
|
\( \vec{a}=\underset{\Delta t\to 0}\lim\frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}} \) \( {=}\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\equiv {\vec{v}}'\left( t \right) \) \(\equiv \dot{\vec{v}}\left( t \right)\equiv \frac{{{d}^{2}}\vec{r}}{d{{t}^{2}}}={\vec{r}}''\left( t \right)=\ddot{\vec{r}}\left( t \right)\), |
(1.6) |
тобто прискореня – це похідна від вектора швидкості, або ж друга похідна від радіуса-вектора по часу[2]. Вектор прискорення збігається за напрямом з вектором \( \Delta{\vec{v}}\) і в загальному випадку складає певний кут із напрямом швидкості (рис. 1.3).
Якщо рух є рівнозмінним (\( \vec{a}=\mathrm{const} \)), то прискорення визначається виразом
|
\( \vec{a}=\frac{\Delta{\vec{v}}}{\Delta{t}}=\frac{\vec{v}_2-\vec{v}_1}{\Delta{t}}, \) |
(1.7) |
де Δt = t2 - t1 – проміжок часу, за який швидкість змінюється на величину \( \Delta{\vec{v}} \).
При нерівномірній зміні швидкості цей вираз визначає середнє прискорення \( \langle\vec{a}\rangle \) за час Δt.
Загальні рівняння кінематики точки. Коли задано закон руху точки, тобто залежність радіуса-вектора від часу \( \vec{r}=\vec{r}(t) \), то за допомогою співвідношень (1.2) – (1.7) легко знайти всі інші характеристики руху. Але на практиці найчастіше відомим є прискорення[3] \( \vec{a}=\vec{a}(t) \), і завдання полягає у визначенні через нього решти кінематичних величин. Це роблять за допомогою загальних рівнянь швидкості, переміщення (радіуса-вектора) та шляху, котрі встановлюються за допомогою методів інтегрального числення.
З формули (1.6) випливає, що за проміжок часу dt приріст вектора швидкості \( \mathrm{d}\vec{v}=\vec{a}\mathrm{d}t \). Зміна швидкості за скінчений проміжок часу дорівнює сумі (точніше – інтегралу) всіх елементарних змін \( \mathrm{d}\vec{v} \):
|
\( \Delta\vec{v}=\vec{v}_2-\vec{v}_1=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{a}\mathrm{d}t. \) |
(1.8) |
Якщо розглядати проміжок часу від початкового t = 0 до довільного моменту t, то з (1.8) отримаємо загальне рівняння швидкості:
|
\( \vec{v}=\vec{v}_0+\int\limits_{0}^{t}\vec{a}\mathrm{d}t, \) |
(1.9) |
де \( \vec{v}_0=\vec{v}(0) \) – початкова швидкість рухомої точки, тобто швидкість у момент часу t = 0.
Аналогічними міркуваннями на основі співвідношення (1.3) встановлюються загальні рівняння для переміщення та радіуса-вектора:
|
\( \mathrm{d}\vec{r}=\vec{v}\mathrm{d}{t}\), |
||
|
\( \Delta\vec{r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\) = \( \int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{v}\mathrm{d}{t}\), |
(1.10) |
|
|
\( \vec{r}=\vec{r}_0+\int\limits_{0}^{t}\vec{v}\mathrm{d}t, \) |
(1.11) |
де \( \vec{r}_0=\vec{r}(0) \) – початковий радіус-вектор, який визначає положення рухомої точки в момент t = 0.
Зауважимо, що аби знайти швидкість і положення тіла в заданий момент часу, крім прискорення \( \vec{a}=\vec{a}(t) \), треба знати початкові умови — початкове положення тіла \( \vec{r}_0 \) та його початкову швидкість \( \vec{v}_0 \). Але ці величини не потребують попереднього визначення, позаяк “задаються” вибором системи відліку, в якій розглядається рух.
Рівняння для пройденого точкою шляху встановлюється аналогічно через шляхову швидкість (модуль вектора швидкості) із співвідношення (1.5):
|
\( \mathrm{d}S = v\mathrm{d}t, \) |
||
|
\( S=\int\limits_0^t v\mathrm{d}t. \) |
(1.12) |
Підставляючи в отримані загальні рівняння заданий закон зміни прискорення \( \vec{a}=\vec{a}(t) \), можна отримати рівняння кінематики для будь-якого конкретного виду руху. Нехай, до прикладу, маємо рух тіла з відомим сталим прискоренням \( \vec{a}=\mathrm{const}\) . Тоді, згідно із рівнянням (1.9),
|
\( \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}\int\limits_{0}^{t}\mathrm{d}t \) \( \Rightarrow \) \( \vec{v}=\vec{v}_0+\vec{a}t. \) |
(1.13) |
Це відомий з елементарної фізики закон зміни швидкості при русі зі сталим вектором прискорення. Підставивши отриманий вираз \( \vec{v} \) у рівняння (1.11), так само отримаємо відоме рівняння для радіуса-вектора при вказаному русі:
|
\( \vec{r}=\vec{r}_0+\int\limits_{0}^{t}\left(\vec{v}_0+\vec{a}t\right)\mathrm{d}t \) \( \Rightarrow \) \(\Delta\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{v}_0{t}+\frac{\vec{a}t^2}{2} \). |
(1.14) |
Аналогічно можна отримати рівняння кінематики й для складніших рухів, у яких прискорення змінюється з часом.
1.2. Координатний спосіб опису руху
Векторні співвідношення компактно і повно відображують фізичний зміст величин і зв’язки між ними, але при розрахунках вектори треба задавати числами. Тому, крім векторного, використовують координатний спосіб опису руху. В такому разі з тілом відліку жорстко зв’язують певну систему координат, найчастіше декартову, і положення точки в просторі визначають координатами – числами x, y, z. Ці числа дорівнюють відстаням (з тим, чи іншим знаком) від початку координат О до проєкції точки на відповідну координатну вісь, рис. 1.4а.
Відтак закон руху точки визначається системою рівнянь залежностей координат від часу:
|
x = x(t), y = y(t), z = z(t). |
(1.15) |
|
Очевидно, що декартові координати точки є проєкціями кінця радіуса-вектора на осі координат OX, OY, OZ: x = rx = rcosα, y = ry = rcosβ, z = rz = rcosγ, де α, β, γ – "напрямні кути", тобто кути між напрямками радіуса-вектора \( \vec{r} \) та осей OX, OY, OZ (на рис. 1.4а показано тільки один з них). Тому можна записати:
|
\( \vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}, \) |
(1.16) |
де \( \vec{i},\,\,\vec{j},\,\,\vec{k} \) – одиничні базисні вектори (орти), які визначають напрямки осей декартової системи координат (рис. 1.4б) і утворюють її базис.
Отже, знаючи координати точки, можна обчислити модуль її радіуса-вектора та, через напрямні косинуси, його напрям:
|
\( r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\); \( \cos{\alpha}=x/r \), \( \cos{\beta}=y/r \) \( \cos{\gamma}=z/r, \) |
(1.17) |
Продиференціювавши вираз (1.16) по часу і врахувавши означення (1.3), отримаємо вираз швидкості точки в координатній формі:
|
\( \vec{v}=\vec{i}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\vec{j}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\vec{k}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}{t}}\). |
(1.18) |
Отже, похідні координат по часу – то є проєкції вектора швидкості на відповідні осі:
|
\( v_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \), \( v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \), \( v_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}. \) |
(1.19) |
Тому за заданим законом руху в координатній формі (1.15) можна визначити проєкції вектора швидкості (1.19), а також його модуль і напрям:
|
\( v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\), \( \cos{\alpha}=v_x/v, \) \( \cos{\beta}=v_y/v \), \( \cos{\gamma}=v_z/v \). |
(1.20) |
Аналогічно визначаються й параметри вектора прискорення при координатному способі опису руху:
|
\( \vec{a}=\vec{i}\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}+\vec{j}\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t}+\vec{k}\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}=\vec{i}a_x+\vec{j}a_y+\vec{k}a_z. \) |
(1.21) |
|
|
\( a_x=\frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2{x}}{\mathrm{d}t^2}, \) \( a_y=\frac{\mathrm{d}v_x }{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2}, \) \( a_z=\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}^2 z}{\mathrm{d}t^2}. \) |
(1.22) |
|
|
\( a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\), \( \cos{\alpha}=\frac{a_x}{a}\), \( \cos{\beta}=\frac{a_y}{a}\), \( \cos{\gamma}=\frac{a_z}{a}\). |
(1.23) |
З усього сказаного в цьому пункті випливає наступний загальний порядок (алгоритм) розв’язування векторних рівнянь. 1. Векторне рівняння “проєктується” на координатні осі, тобто замість нього записується відповідна система алгебраїчних рівнянь для проєкцій. 2. З отриманих алгебраїчних рівнянь визначаються проєкції шуканих векторів і, нарешті, якщо необхідно, через знайдені проєкції визначаються модулі та напрямки шуканих векторів. У нескладних ситуаціях деякі етапи описаного алгоритму ми виконуємо автоматично, не виписуючи їх на папері. Як приклад, отримаємо з векторних рівнянь (1.9) і (1.11) рівняння для проєкцій вектора швидкості та для координат точки через відомі проєкції вектора прискорення:
|
\( v_x=v_{0x}+\int\limits_0^t{a_x\mathrm{d}t},\,\,\,\, v_y=v_{oy}+\int\limits_0^t{a_y\mathrm{d}t},\,\,\,\, v_z=v_{0z}+\int\limits_0^t{a_z\mathrm{d}t}, \) |
(1.24) |
|
|
\( x=x_0+\int\limits_0^t{v_x\mathrm{d}t},\,\,\,\,y=y_0+\int\limits_0^t{v_y\mathrm{d}t},\,\,\,\,z=z_0+\int\limits_0^t{v_z\mathrm{d}t}. \) |
(1.25) |
Аналогічно з рівнянь (1.13) і (1.14) для руху із сталим прискоренням отримаємо:
|
\( v_x=v_{0x}+a_x{t}\), \( {v}_y=v_{0y}+a_y{t}\), \( {v}_z=v_{0z}+a_z{t}; \) \( x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x t^2}{2}\), \( {y}=y_0+v_{0y}t+\frac{a_y t^2}{2}\), \( {z}=z_0+v_{0z}t+\frac{a_z t^2}{2}. \) |
(1.25а) |
Із цих рівнянь можна також отримати корисні для розв’язування задач співвідношення:
|
\( v_x^2-v_{0x}^2=2a_x(x-x_0) \), \( {v}_y^2-v_{oy}^2=2a_y(y-y_0) \), \( {v}_z^2-v_{0z}^2=2a_z(z-z_0). \) |
(1.25б) |
Для задання напряму руху та вектора швидкості з точкою зв’язують одиничний вектор (орт) \( \vec{\tau} \) дотичної до траєкторії, спрямований в бік збільшення координати рис. 1.5.
В такому разі можна записати:
\( \vec{v}={{v}_{\tau }}\vec{\tau } \)
де \( v_{\tau}=\mathrm{d}l/ \mathrm{d}t \) – проєкція вектора швидкості на напрям \(\vec{\tau} \). Швидкість \( v_{\tau} \) є величиною алгебраїчною, її знак залежить від напрямку руху точки, а модуль дорівнює модулю вектора швидкості:
\( |v_{\tau}|=|\vec{v}|=v. \)
Вектор прискорення точки, котрий при такому способі опису називається повним прискоренням, відповідно до означення (1.6), виражається як
\(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}(v_{\tau}\vec{\tau})}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}v_{\tau}}{\mathrm{d}t}\vec{\tau}+v_{\tau}\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t} \)
і має дві складові. Перша з них
|
\(\vec{a}_{\tau}=\frac{\mathrm{d}v_{\tau}}{\mathrm{d}t}\vec{\tau} \) |
(1.26) |
напрямлена по дотичній до траєкторії (рис. 1.6в) і називається тангенціальним прискоренням і визначає зміну модуля вектора швидкості.
Тому для будь-якого рівномірного руху тангенціальне прискорення \( \vec{a}_{\tau} =0 \).
З’ясуємо зміст другої складової вектора повного прискорення, котра називається нормальним прискоренням:
|
\(\vec{a}_n=v_{\tau}\frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t}. \) |
(1.27) |
Візьмемо до уваги те, що елементарна ділянка \( \mathrm{d}l \) будь-якої кривої співпадає з дугою певного кола (кола кривизни) з відповідним центром (центром кривизни О) та радіусом R - радіусом кривизни (рис. 1.6а). Урахувавши це, визначимо похідну \( \mathrm{d}\vec{\tau}/\mathrm{d}t \). Приріст орта \(\vec{\tau} \) за гранично малий проміжок часу dt є зумовлений його поворотом на нескінченно малий кут dφ при переміщенні точки по траєкторії на нескінченно малу відстань \( \mathrm{d}l \) (рис. 1.6а,б). Очевидно, що кути повороту орта \( \vec{\tau} \) і радіуса кривизни траєкторії R однакові, отже
\(\left|\frac{\mathrm{d}\tau}{\tau}\right|=\frac{\mathrm{d}l}{R}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,|\mathrm{d}\tau|=\frac{\mathrm{d}l}{R}. \)
Оскільки кут dφ є нескінченно малим, то вектор \( \mathrm{d}\vec{\tau} \) напрямлений перпендикулярно до вектора \( \vec{\tau} \) (рис. 1.6б). Тому, якщо ввести орт (одиничний вектор) нормалі до траєкторії \( \vec{n} \), то вектор \( \mathrm{d}\vec{\tau} \) можна подати у вигляді
\( \mathrm{d}\vec{\tau}=|\mathrm{d}\vec{\tau}|\vec{n}=\frac{\mathrm{d}l}{R}\cdot\vec{n}. \)
Поділивши цей вираз на dt, дістанемо:
\( \frac{\mathrm{d}\vec{\tau}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{R}\cdot\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}t}\vec{n}=\frac{v}{R}\vec{n}. \)
Отже, згідно з виразом (1.27),
|
\(\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{n}. \) |
(1.28) |
Цей вектор у кожній точці напрямлений по нормалі до центра кривизни траєкторії і тому називається нормальним (або доцентровим) прискоренням. Він показує, як швидко повертається орт \( \vec{\tau} \), тобто, як швидко змінюється напрям руху точки. Тому при прямолінійному русі \( \vec{a}_n=0 \).
Повне прискорення \(\vec{a} \) (рис. 1.6в) дорівнює сумі тангенціального та нормального:
|
\(\vec{a}=a_{\tau}\vec{\tau}+a_n\vec{n}. \) |
(1.29) |
Його модуль
|
\( a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}=\sqrt{\left(\frac{v^2}{R}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)^2}\). |
(1.29а) |
Напрям вектора повного прискорення визначається кутом \(\vartheta \) (рис. 1.6в), причому
|
\(\mathrm{tg}\vartheta=\frac{a_n}{a_{\tau}} \). |
(1.29б) |
Як уже говорилося, положення в просторі та рух точки є відносними, тобто визначеними лише в обраній системі відліку. Відповідно, характеристики руху точки в двох різних системах відліку є не однакові.
Розглянемо дві системи відліку із збіжними осями X, X′ й однаково напрямленими іншими осями координат – нерухому K і рухому K′, що рухається зі швидкістю \( \vec{V}=\mathrm{const} \) відносно K-системи у додатному напрямку осей X, X′. (рис. 1.7).
Уважатимемо також, що в початковий момент часу системи K і K′ збігалися. Тоді в довільний момент t положення точки O′ відносно О визначається радіусом-вектором \( \vec{r}_0=\vec{V}t \). Положення довільної точки А в K- і K′-системах визначаються радіусами-векторами \( \vec{r} \) та \( \vec{r}' \), які пов’язані співвідношеннями
|
\( \vec{r}'=\vec{r}-\vec{r}_0=\vec{r}-\vec{V}t, \) |
(1.30) |
або
|
\(\vec{r}=\vec{r}'+\vec{r}_0=\vec{r}'+\vec{V}t. \) |
(1.30а) |
Ці співвідношення виражають перетворення Галілея у векторній формі. Вони дозволяють визначати положення точки в одній системі відліку, якщо відоме її положення в іншій. При цьому вважається самоочевидним, що час є абсолютним, тобто тривалість будь-яких процесів, приміром руху тіл, не залежить від системи відліку, тож
|
t = t′. |
(1.31) |
Перетворення Галілея в координатній формі , згідно з (1.16), мають вигляд:
|
x' = x - Vt, y' = y, z' = z; |
(1.32) |
|
|
x = x' + Vt, y = y', z = z'. |
(1.32а) |
Взявши першу та другу похідні по часу від виразів (1.30) і (1.30а), знайдемо формули перетворення швидкостей і прискорень:
|
\( \vec{v}{'}=\vec{v}-\vec{V}, \) |
(1.33) |
|
|
\( \vec{v}=\vec{v}'+\vec{V}, \) |
(1.33а) |
|
|
\( \vec{a}'=\vec{a}\) \( \vec{a}=\vec{a}'. \) |
(1.34) |
- Що таке система відліку? Як визначається положення точки в заданій системі відліку?
- Відомо, що положення тіл у просторі та їхній рух є відносними. Що це означає?
- Які кінематичні величини використовують для опису руху матеріальної точки?
- Який зв’язок існує між радіусом-вектором точки та її декартовими координатами? Між вектором швидкості та його проєкціями на декартові осі координат?
- Як визначити напрям руху тіла, якщо вектор його швидкості задано в координатній формі?
- Якими формулами визначаються та що показують повне, тангенціальне та нормальне прискорення точки?
- Як визначається напрям повного прискорення точки відносно напрямку її руху?
- Як змінюється кут між вектором повного прискорення та вектором швидкості у випадку сповільненого руху точки по колу?
- Що можна сказати про тангенціальне та нормальне прискорення точки, якщо вона здійснює: а) прямолінійний нерівномірний рух? б) криволінійний рівномірний рух?
- Як записуються формули (1.33) і (1.33а) в координатній формі для систем відліку, описаних в п. 1.4?
[1] Похідну по часу можна позначати по-різному. У формулі (1.3) наведені всі можливі варіанти.
[2] У формулі (1.6) наведені всі варіанти запису другої похідної по часу.
[3] Воно визначається законами динаміки, які розглянуті в розділі ІІ.
2. Кінематика твердого тіла
Тверді тіла, що рухаються, не завжди можна вважати матеріальними точками. Це стосується, наприклад, рухомих деталей та вузлів механізмів і машин. При цьому різні точки протяжного тіла рухаються не однаково, тому механіка твердого тіла є набагато складніша, ніж механіка точки.
Рух твердих тіл можна поділити на декілька різновидів: 1) поступальний рух; 2) обертання навколо нерухомої осі; 3) плоский рух; 4) обертання навколо нерухомої точки; 5) вільний рух. Але базовими є поступальний і обертальний рухи, позаяк, інші різновиди можна розглядати як сукупність цих двох.
Поступальним називається рух, при якому довільна пряма, проведена між двома точками тіла, в процесі руху не змінює своєї просторової орієнтації. Прикладом може бути рух кузова автомобіля при русі по прямій трасі, або рух кабінки оглядового колеса у парку відпочинку.
Обертальним називають такий рух твердого тіла, коли будь-якої миті всі його точки рухаються по колах із центрами на одній нерухомій прямій – осі обертання.
При поступальному русі всі точки тіла рухаються, як одна, по однакових за формою траєкторіях і з однаковою швидкістю та прискоренням. Отже кінематика поступального руху твердого тіла збігається з кінематикою точки і не потребує окремого розгляду. Шо до інших рухів, то далі заторкуються лише найпростіші — обертальний і плоский рухи.
Розглянуто наступні питання:
2.1. Кутові та лінійні характеристики обертального руху
2.2. Загальні рівняння кінематики обертального руху
2.3. Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь
2.1. Кутові та лінійні характеристики обертального руху
Кутова швидкість. Нехай маємо якесь тіло, що обертається навколо нерухомої осі OZ (рис. 1.8).
Розглянемо деяку його точку, котра рухається по коловій траєкторії радіуса R із центром у точці С. Задамо положення точки радіусом-вектором \(\vec{r} \) із початком в точці О на осі обертання. За час dt точка здійснює переміщення \( \mathrm{d}\vec{r} \), яке є перпендикулярним до \(\vec{r} \) і має модуль
|
\(\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|=R\mathrm{d}\varphi=r\mathrm{d}\varphi\sin\vartheta. \) |
(2.1) |
де \(\mathrm{d}\varphi \) – кут повороту тіла навколо осі обертання за час dt.
Це співвідношення можна подати у векторній формі, аби воно відображало й напрям обертання тіла. Для цього величину dφ розглядають як модуль вектора елементарного кута повороту \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \), який напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта.
За цим правилом вектор \( \mathrm{d}\vec{\varphi} \) спрямований у напрямку вкручування правого гвинта при його обертанні в напрямку обертання тіла; подібні вектори називаються аксіальними. Зауважимо також, що відображувати як вектори можна лише нескінченно малі кути повороту.
У такому разі замість виразу (2.1) можна записати:
|
\(\mathrm{d}\vec{r}=\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}\right]. \) |
(2.1а) |
Швидкість руху точки отримаємо, поділивши \( \mathrm{d}\vec{r} \) на dt:
|
\(\vec{v}=\left[\frac{\mathrm{d}\vec{\varphi}}{\mathrm{d}t},\vec{r}\right]. \) |
(2.2) |
З цього виразу видно, що різні точки обертового тіла рухаються з різними швидкостями, але перший множник під знаком векторного добутку, однаковий для всіх точок, і тому визначає рух не лишень окремої точки, а й усього тіла. Вектор
|
\(\vec{\omega}=\frac{\mathrm{d}\vec{\varphi}}{\mathrm{d}t}\) |
(2.3) |
називається кутовою швидкістю тіла і є кількісною характеристикою обертального руху .
Вектор \(\vec{\omega} \), як і \(\mathrm{d}\vec{\varphi}\), напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта. Одиницею кутової швидкості є 1 рад/с (радіан за секунду).
Кутове прискорення. Зміна вектора кутової швидкості з часом характеризується вектором кутового прискорення \(\vec{\beta} \):
|
\(\vec{\beta}=\frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t}. \) |
(2.4) |
|
Одиницею кутового прискорення є 1 рад/с2.
При обертанні навколо фіксованої осі вектор \(\vec{\beta} \), так само як і вектор \(\vec{\omega} \), напрямлений уздовж осі обертання (рис. 1.9).
У такому разі зручніше використовувати не вектори, а їхні проєкції на вісь обертання ОZ:
|
\(\omega_z=\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t},\,\,\,\,\,\,\beta_z=\frac{\mathrm{d}\omega_z}{\mathrm{d}t}. \) |
(2.5) |
При цьому, позаяк напрям осі обертання пов’язаний із позитивним напрямом відліку кута повороту правилом правого гвинта. В такому разі знак ωz визначає напрям обертання, а знак βz – характер обертання. До прикладу, на рис. 1.9 відображено прискорене обертання в додатньому напрямі осі ОZ.
Якщо під час руху вісь обертання змінює напрям, то \(\mathrm{d}\vec{\omega} \) і \(\vec{\beta} \) напрямлені під кутом до осі).
Окремим важливим для практики випадком обертального руху є рівномірне обертання тіла навколо фіксованої осі (\(\vec{\beta}=0,\,\,\,\, \vec{\omega}=\mathrm{const} \)). Такий рух є періодичним, отож окрім кутової швидкості його характеризують періодом Т (с) – проміжком часу, за який здійснюється один оберт, і частотою обертання n (1/с) – кількістю обертів за одиницю часу.
Оскільки за один оберт тіло повертається на кут 2π, то
|
\( T=\frac{2\pi}{\omega} \) і \( n=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}. \) |
(2.6) |
Зв’язок між лінійними та кутовими величинами. При розгляді обертального руху окремих точок твердого тіла величини \(\mathrm{d}\vec{r} \) і \(\vec{v}\) відповідно називають лінійним переміщенням і лінійною швидкістю, на відміну від кутового переміщення \(\mathrm{d}\vec{\varphi} \) та кутової швидкості \(\vec{\omega}\). Між лінійними та кутовими величинами існують однозначні зв’язки. Зокрема, зв’язок між елементарними лінійним і кутовим переміщеннями задається виразами (2.1) і (2.1а), а зв’язок між лінійною та кутовою швидкістю – виразом (2.2) із урахуванням означення (2.3):
|
\(\vec{v}=\left[ \vec{\omega },\vec{r} \right].\) |
(2.7) |
Для модулів маємо:
|
\( v=\omega{r}\sin\vartheta=\omega{R}, \) |
(2.7а) |
де \( {R}=r\sin\vartheta \) – радіус кола, по якому рухається точка.
Вираз для повного прискорення точки через кутові величини знайдемо диференціюванням виразу (2.7):|
\( \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} \) = \(\left[ \frac{\mathrm{d}\vec{\omega}}{\mathrm{d}t},\vec{r} \right]+\left[\vec{\omega },\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{dt} \right] \) = \(\left[ \vec{\beta },\vec{r} \right]+\left[ \vec{\omega },\mathbf{\vec{v}} \right],\) |
де враховано, що \(\mathrm{d}\vec{\omega}/\mathrm{d}t=\vec{\beta} \) – вектор кутового прискорення, а \(\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t=\vec{v} \) – вектор лінійної швидкості.
Оскільки при обертанні тіла навколо нерухомої осі вектори \(\vec{\omega }\) і \(\vec{\beta} \) лежать на осі, то вектор \(\left[\vec{\beta},\vec{r}\right] \) має напрям дотичної до траєкторії даної точки тіла (рис. 1.9) і є її тангенціальним прискоренням \(\vec{a}_{\tau} \):
|
\(\vec{a}_{\tau}=\left[\vec{\beta},\vec{r}\right]. \) |
(2.8) |
При цьому тангенціальне прискорення точки, що обертається, називається її лінійним прискоренням. Його проєкція на напрям дотичної до кола
|
\( a_{\tau}=\beta_z{r}\sin\vartheta=\beta_z{R}. \) |
(2.8а) |
Так само друга складова повного прискорення \(\left[\vec{\omega},\vec{v}\right] \) при нерухомій осі обертання напрямлена по нормалі до траєкторії точки (рис. 1.9), і є її нормальним прискоренням:
|
\(\vec{a}_n=\left[\vec{\omega},\vec{v}\right]. \) |
(2.9) |
Модуль нормального прискорення
|
\( a_n=\omega{v}={\omega}^2 R. \) |
(2.9а) |
На основі співвідношень (2.8а) і (2.9а) можна визначити модуль і напрям (див. рис. 1.9) повного прискорення точок обертового тіла:
|
\( a=\sqrt{a_{\tau}^2+a_n^2}=R\sqrt{{\beta}^2+{\omega}^4}, \) |
(2.10) |
|
|
\(\mathrm{tg}\alpha=\frac{\omega^2}{\beta}. \) |
(2.10а) |
2.2. Загальні рівняння кінематики обертального руху
Кутове прискорення тіла, як і прискорення окремої матеріальної точки, визначається силовою дією на обертове тіло з боку інших тіл, отож його можна знайти, аналізуючи фізичні умови, в яких здійснюється обертання. Тому основною завдачею кінематики обертального руху тіла є визначення решти кутових величин через задане кутове прискорення. При обертанні навколо нерухомої осі це завдання розв’язується так само, як і в кінематиці точки (див. п. 1). При цьому слід завважити, що за загальним змістом і формальними означеннями кутові величини – переміщення \(\mathrm{d}\vec{\varphi} \), швидкість \(\vec{\omega} \) і прискорення \(\vec{\beta} \) – є аналогами відповідних лінійних величин, які характеризують рух матеріальної точки. Тому й
зв’язки між кутовими величинами є аналогічними до зв’язків між аналогічними лінійними величинами.
Через це всі основні рівняння кінематики обертального руху навколо фіксованої осі мають такий самий загальний вигляд, як і відповідні рівнянням кінематики прямолінійного руху точки. Зокрема, проєкція кутової швидкості визначається загальним рівнянням, аналогічним рівнянню для \({{v}_{z}}\) із (1.24):
|
\(\omega_z={\omega}_{0z}+\int\limits_0^t\beta_z\mathrm{d}t, \) |
(2.11) |
де ω0z – проєкція початкової кутової швидкості, βz – проєкція кутового прискорення на напрям осі обертання.
Звідси при βz = const отримуємо рівняння
|
\(\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z\int\limits_0^t\mathrm{d}t \) \( \Rightarrow \) \( \omega_z=\omega_{0z}+\beta_z{t}, \) |
(2.11а) |
що є аналогом (1.25а).
Кут повороту (кутове переміщення) φ, який визначає зміну положення тіла відносно осі обертання, знаходиться із загального рівняння
|
\(\varphi=\int\limits_0^t\omega_z\mathrm{d}t. \), |
(2.12) |
яке теж є аналогом рівнянь (1.25) кінематики точки, що визначають зміну положення точки відносно вибраного початку відліку.
При рівнозмінному обертанні \(\beta_z=\mathrm{const} \), і \(\omega_z=\omega_{0z}+\beta_z{t} \). Отже,
|
\(\varphi=\int\limits_0^t\left(\omega_{0z}+\beta_z{t}\right)\mathrm{d}{t}\) \( \Rightarrow \) \( \varphi=\omega_{0z}t+\frac{\beta_z{t}^2}{2}\). |
(2.12а) |
Слід зауважити, що в рівняннях (2.11) – (2.12) величина φ є алгебраїчною, тож число φ/2π не визначає кількості обертів N (повний “шлях”), зроблених тілом за час t. (Виняток становить тільки обертання тіла в незмінному напрямі, коли φ не змінює знаку протягом заданого часу руху). В загальному випадку кількість обертів тіла визначається через модуль кутової швидкості рівнянням
|
\( N=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^t\omega\mathrm{d}t, \) |
(2.12б) |
яке є аналогом рівняння шляху (1.12) в кінематиці матеріальної точки.
2.3. Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь
Плоским називається такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних до певної нерухомої в обраній системі відліку площини. Будемо для зручності умовно називати такі площини “площинами руху” точок тіла. Прикладом плоского руху може бути кочення циліндра: всі його точки рухаються в перпендикулярних до осі площинах.
Швидкість точки тіла при плоскому русі. Нехай якесь тіло здійснює плоский рух. Прослідкуємо за відрізком АВ, який з’єднує дві точки цього тіла, що знаходяться в площині руху. За деякий проміжок часу відрізок із положення A1B1, переміщується в положення A2B2 (рис. 1.10).
Цю зміну положення можна розглядати як результат поступального переміщення в положення A2B′ і повороту в площині руху на деякий кут φ навколо точки А (рис. 1.10а). Але так само можна говорити про поступальне переміщення відрізка в положення A′B2 та поворот навколо точки В (рис. 1.10б). При цьому переміщення точок А і В – A1A2 і B1B2 – не однакові, але кут повороту φ один і той самий. Зрозуміло, що сказане вірно й для будь якої іншої пари точок і для будь-якого проміжку часу, зокрема, й для нескінченно малого. Тому плоский рух твердого тіла можна розглядати як сукупність поступального руху та обертання навколо фіксованої осі перпендикулярної до площин руху точок тіла. При цьому
кутова швидкість обертання тіла не залежить від вибору такої осі.
Взявши до уваги сказане, розглянемо рух довільної точки А тіла, що здійснює плоский рух в системі відліку XOY (К-система) так, що точки тіла рухаються в площинах, паралельних XOY (рис. 1.11).
Пов’яжемо з тілом рухому систему відліку X′O′Y′ (K′-система), положення початку відліку котрої O′ в К-системі визначається радіусом-вектором \(\vec{r}_0 \) Положення точки А відносно К-системи відліку визначається радіусом-вектором \(\vec{r} \), а відносно K′-системи – радіусом-вектором \(\vec{r}' \). Очевидно, що
\(\vec{r}=\vec{r}_0+\vec{r}'. \)
Переміщення точки А за нескінченно малий проміжок часу dt
\(\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}\vec{r}_0+\mathrm{d}\vec{r}'. \)
Переміщення \(\vec{r}' \) зумовлене поворотом тіла навколо осі, що проходить через точки O′, тому \(\mathrm{d}\vec{r}'=\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}'\right] \) (див. (2.1а)). Отже
\(\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}\vec{r}_0+\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}'\right]. \)
Поділивши останній вираз на проміжок часу dt, одержимо швидкість точки А в К – системі відліку:
|
\(\vec{v}=\vec{v}_0+\left[\vec{\omega},\vec{r}'\right]. \) |
(2.13) |
Таким чином, при плоскому русі швидкість довільної точки А твердого тіла складається із швидкості \(\vec{v}_0 \) будь-якої іншої точки O′, що жорстко зв’язана з ним[5], і лінійної швидкості \(\vec{v}=\left[\vec{\omega},\vec{r}\right] \) обертального руху точки А навколо осі, що проходить через точку O′ перпендикулярно до площини руху.
Миттєва вісь. Оскільки вибір точки O′ є довільним, плоский рух тіла можна звести до чисто обертального. Справді, при плоскому русі вектори \(\vec{v}_0 \) і \(\vec{v}' \) перпендикулярні до вектора кутової швидкості \(\vec{\omega}\) , отже обидва лежать в одній площині руху. Тому в кожну мить існує така жорстко зв’язана з тілом точка М, миттєва швидкість якої \(\vec{v}' \) в К – системі відліку рівна нулю. ЇЇ радіус-вектор \({{\vec{r}}_{m}}^{\prime }\) визначається із співвідношення (2.13):
|
\( {{\vec{v}}_{0}}^{\prime}+\left[\vec{\omega},{{{\vec{r}}}_{m}}^{\prime} \right]=0\quad \Rightarrow \quad \left[\vec{\omega},{{{\vec{r}}}_{m}}^{\prime}\right]=-{{\vec{v}}_{0}}^{\prime} \) |
(2.14) |
Зокрема, модуль \({{\vec{r}}_{m}}^{\prime }\), тобто відстань між точками М і O′, дорівнює:
|
\({{r}_{m}}^{\prime }=\frac{{{v}_{0}}}{\omega }\) |
(2.14а) |
При потребі детальнішої інформації про положення миттєвої осі вираз (2.14) слід розписати в координатній формі за правилами розкриття векторноо добутку
Оскільки точка М у дану мить є нерухомою, то рух тіла в цей момент можна трактувати як чисте обертання навколо осі, що проходить через цю точку перпендикулярно до площини руху. Таку вісь називають миттєвою віссю. В загальному випадку положення миттєвої осі може змінюватися з часом. Наприклад, при коченні циліндра без ковзання по плоскій поверхні миттєва вісь збігається з лінією дотику циліндра до поверхні й рухається із швидкістю осі циліндра. Поняття миттєвої осі є досить продуктивним, оскільки в багатьох випадках спрощує аналіз плоского руху.
- Які види рухів може здійснювати тверде тіло? Які з них можна вважати основними?
- Які величини використовують для опису обертального руху?
- Як напрямлений вектор кутової швидкості твердого тіла?
- Як напрямлений вектор кутового прискорення? В якому випадку вектори кутової швидкості та кутового прискорення є колінеарними? Співнапрямленими?
- Який зв’язок існує між векторами лінійної та кутової швидкості? Між їх модулями?
- Як виражаються тангенціальне, нормальне та повне прискорення точки обертового тіла через кутові характеристики руху?
- Виведіть співвідношення (2.11), (2.11а) і (2.12), (2.12а).
- Який рух твердого тіла називається плоским? Наведіть декілька прикладів.
- Що таке миттєва вісь? Яку перевагу вона дає при розгляді плоского руху тіла?
ІІ. ОСНОВНІ ЗАКОНИ ДИНАМІКИ
Кінематика встановлює кількісні характеристики руху та зв’язки між ними для різних можливих рухів. Але вона не говорить, як саме буде рухатися тіло за тих чи інших конкретних умов. Відповідь на це питання дає динаміка – розділ механіки, в якому характер руху тіла встановлюються через аналіз причин, що його зумовлюють.
У цьому розділі розглянуті наступні питання:
1. Закони Ньютона
Основу динаміки складають три закони Ньютона, котрі є узагальненням результатів спостережень і спеціально поставлених експериментів і не виводяться з якихось більш простих принципів. Закони Ньютона мають і велике практичне значення, на них ґрунтуються розрахунки різноманітних машин і механізмів, будівельних конструкцій, космічних апаратів, тощо. Щоправда, закони Ньютона навіть у рамках класичної механіки, не є універсальними і виконуються тільки в так званих інерціальних системах відліку. Треба також мати на увазі, що закони Ньютона формулюються для матеріальних точок – тіл, розміри яких є неістотними при розгляді їхнього руху та взаємодії з іншими тілами.
Далі розглянуто:
1.1. Основні величини динаміки
1.1. Основні величини динаміки
Дослідні факти свідчать, що закономірності руху тіла визначається його взаємодією з іншими тілами, інертністю, а також властивостями системи відліку. Відповідно, в динаміці є свої основні величини – сила, маса, імпульс, – які розглядаються нижче.
Сила. Кількісною мірою дії на тіло з боку інших тіл є величина, що називається силою і виявляє себе у зміні швидкості тіла[1] На досліді встановлені наступні загальні властивості сили.
1). Дія одного тіла на інше завжди є спрямованою, тому сила має певний напрям є векторною величиною \(\vec{F} \).
2). Сила \(\vec{F} \), що діє на дане тіло з боку декількох інших тіл, дорівнює
|
\( \vec{F}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}+...=\sum_{i}\vec{F}_{i}\), |
(1.1) |
де \(\vec{F}_i \) – сила, котру створювало б і-те тіло за відсутності інших (рис. 2.1).
Вираз (1.1) означає, що сила, що діє на дане тіло з боку якогось одного тіла не залежить від присутності інших тіл. У цьому сенсі говорять, що сили \(\vec{F}_i \) підпорядковані принципу суперпозиції. Сили \(\vec{F}\) і \(\vec{F}_i\) називають, відповідно, рівнодійною та складовими силами. Ці поняття є зручними, бо з одного боку дозволяють лаконічно записувати різні співвідношення механіки, а з іншого — “розкладати” задану силу на будь-яку кількість інших так, аби виконувалося співвідношення (1.1). Але слід зауважити, що для не точкових тіл поняття рівнодійної має зміст тільки тоді, коли лінії дії всіх сил \(\vec{F}_i \) перетинаються в одній точц
3). У механіці всі сили поділяють на два види: контактні сили, що виникають при дотику тіл (сили тертя та опору, пружні сили, тощо), та сили, що діють між тілами на відстані (до прикладу, сила всесвітнього тяжіння, або сили електромагнітної взаємодії між зарядженими тілами). В останньому випадку взаємодія від тіла до тіла передається відповідним силовим полем — гравітаційним чи електромагнітим.[2]
4). Сили різної фізичної природи мають різні властивості, але, незалежно від того, сила взаємодії між двома тілами на загал визначається їхнім взаємним розташуванням і швидкістю їхнього руху одне відносно одного: \(\vec{F}=\vec{F}\left( \vec{r},\vec{v} \right)\).
Маса. Будь-яке тіло “чинить опір” при спробах зміни його швидкості, через що швидкість тіла неможливо змінити миттєво навіть на дуже малу величину. Така властивість тіл називається інертністю, а мірою інертності тіла є його маса. Чим більша інертність, тим більша маса тіла, тож під дією однакової сили швидкість тіла з більшою масою змінюється повільніше, ніж у тіла з меншою масою.
Масу тіл визначають, у той чи інший спосіб порівнюючи її з масою еталона. Одиницею маси в міжнародній системі одиниць (CІ) є 1 кілограм (1 кг) – маса еталонного тіла, яке зберігається в міжнародному метрологічному центрі (м. Севр поблизу Парижа).
Дослід свідчить, що маса має дві основні властивості:
1) Маса є скалярною й, у межах ньютонівської механіки, адитивною величиною, тобто маса тіла дорівнює сумі мас його складових частин.
2) Інертність є внутрішньою властивістю тіла, тому маса тіла не залежить від його руху, отже й від системи відліку, в якій розглядається рух.
Імпульс. Через наявність інертності механічний стан тіла, або, як колись говорили, “кількість руху” визначається не лише швидкістю, а й масою. До прикладу, ми легко зупинимо рукою кинуту кульку для пінг-понгу, але цього не можна сказати про рухомий вагон. Тому
в динаміці мірою стану руху тіла є не швидкість, а її добуток на масу
|
\(\vec{p}=m\vec{v}, \) |
(1.2) |
який називається імпульсом. Отже, вектор імпульсу, як і швидкість, є напрямлений по дотичній до траєкторії руху тіла. Одиницею імпульсу є 1 кг·м/с.
Імпульс теж є адитивною величиною – імпульс системи дорівнює сумі імпульсів усіх тіл, які входять до її складу:
|
\( \vec{P}=\sum_{i}\vec{p}_{i}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}\). |
(1.2а) |
Рух тіла в довільній системі відліку може виявитися доволі складним, причому значною мірою через вплив на його характеристики конкретних властивостей системи відліку[3]. Але існують так звані інерціальні системи відліку, в яких рух тіл виглядає й описується найбільш природньо і просто. При цьому дослід свідчить, що
в інерціальній системі відліку рух тіла при заданих початкових умовах визначається тільки його взаємодією з іншими тілами.
Цю важливу обставину відображує перший закон Ньютона, згідно з яким
в інерціальній системі відліку тіло за відсутності взаємодії з іншими тілами зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху.
Таке тіло називається вільним, і його рух теж називається вільним рухом, або рухом за інерцією. Тому перший закон Ньютона також називають законом інерції.
Як видно, в інерціальній системі відліку рух вільного тіла є найпростішим. При цьому виявляється, що в таких системах відліку й інші закони фізики виражаються найбільш просто й прозоро. Тому для фізики інерціальні системи відліку є переважними. Але в зв’язку з цим постає принципове питання. Інерціальність системи відліку можна встановити тільки за характером руху в ній вільного тіла, проте абсолютно вільних тіл у природі не існує. Тому реально ми можемо мати справу тільки з тілами, дія на котрі з боку інших тіл є або компенсованою, або неістотною. Тож апріорі інерціальність тієї, чи іншої системи відліку встановити неможливо. Це є питання досліду, і саме дослід свідчить, що такі системи відліку існують[4]. Численні спостереження показують, що з гранично великою точністю інерціальними можна вважати системи відліку, пов’язані із віддаленими “нерухомими” зірками та Сонцем, а також такі, що рухаються відносно зірок поступально, рівномірно та прямолінійно, тобто без будь-яких прискорень. Що ж до систем відліку, пов’язаних із Землею, які найчастіше використовують на практиці, то їх можна вважати інерціальними лише наближено через наявність у них деяких прискорень, зумовлених добовим обертанням Землі та її орбітальним рухом навколо Сонця.
Аналізуючи результати дослідів і спостережень за рухом тіл, Ньютон дійшов висновку, що
швидкість зміни імпульсу тіла[5] дорівнює силі, що діє на нього:
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}, \) |
(1.3) |
де \(\mathrm{d}\vec{p} \) – зміна імпульсу за нескінченно малий проміжок часу dt і \(\vec{F} \) – рівнодійна сила, прикладена до тіла[6].
Це твердження становить другий закон Ньютона. Його також записують у вигляді:
|
\(\mathrm{d}\vec{p}=\vec{F}\mathrm{d}t. \) |
(1.4) |
Величина \(\vec{F}\mathrm{d}t \) називається імпульсом сили за час dt. Отже другий закон Ньютона можна сформулювати й так:
приріст імпульсу тіла за певний проміжок часу дорівнює імпульсу сили , що діє на тіло протягом цього часу.
Це вірно й для довільного проміжку часу від t1 до t2, але в такому разі імпульс сили знаходиться шляхом інтегрування правої частини (1.4) на проміжку [t1, t2] :
|
\(\Delta\vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}\mathrm{d}t.\) |
(1.4а) |
Якщо маса тіла не змінюється (m = const), то \(\mathrm{d}\vec{p}=\mathrm{d}(m\vec{v})=m\mathrm{d}\vec{v} \) і тоді \(\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t=m\vec{a}\), де \(\vec{a}=\mathrm{d}\vec{v}/\mathrm{d}t \) – прискорення. Отже, для тіла незмінної маси другий закон Ньютона можна записати у вигляді:
|
\( m\vec{a}=\vec{F}, \) |
(1.5) |
тобто,
добуток маси тіла на його прискорення дорівнює рівнодійній силі, що прикладена до тіла.
На основі цього рівняння встановлена одиниця сили – ньютон (Н): 1 Н – то є сила, котра тілу маси 1 кг надає прискорення 1 м/с2.
У кінематиці (частина І, розділ 1) говорилося, що прискорення є другою похідною від радіуса-вектора точки по часу: \(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2} \). Тому другий закон Ньютона (1.5) можна подати у вигляді диференціального рівняння
|
\(\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\vec{F}}{m},\) |
(1.6) |
яке принципово вирішує основну задачу динаміки – визначення закону руху точки, тобто залежність її радіуса-вектора від часу \(\vec{r}=\vec{r}(t) \), під дією заданих сил. Для цього треба розв’язати[7] рівняння (1.4) при відомій залежності \(\vec{F}=\vec{F}\left( t \right)\) і заданих початкових умовах (початкових швидкості \(\vec{v}_0=\vec{v}(0) \) і радіусі-векторі \(\vec{r}_0=\vec{r}(0) \)). З цієї причини рівняння (1.4) називають загальним рівнянням руху матеріальної точки, а ІІ закон Ньютона – основним законом механіки.
Рівняння (1.6) дозволяє розв’язувати й обернені задачі. А саме, визначати силу, що діє на точку, та її швидкість і прискорення, якщо відомий закон руху. Такі задачі є досить простими і зводяться до диференціювання по часу заданої функції \(\vec{r}(t) \).
Важливим дослідним фактом є те, що дія одного тіла на інше завжди має взаємний характер, тобто сили є проявом взаємодії між тілами. Третій закон Ньютона виражає важливу особливість сил взаємодії між тілами:
сили, з якими два тіла діють одне на одне, завжди рівні по модулю і напрямлені у протилежні боки вздовж прямої, що з’єднує тіла (рис.2.2).
Отже
|
\(\vec{F}_1=-\vec{F}_2. \) |
(1.7) |
Наведене формулювання треба доповнити двома корисними зауваженнями.
1. Сили взаємодії завжди мають одну й ту саму фізичну природу та походження.
2. Позаяк дія на тіло з боку декількох інших тіл є незалежною (п.1.1), третій закон Ньютона виконується й у довільній системі (сукупності тіл) окремо для кожної пари тіл.
Проте третій закон Ньютона не виконується беззастережно. Зокрема, він не є чинним для сил магнітної взаємодії та на гранично великих відстанях між тілами, що взаємодіють. Але це не створює жодних проблем при розгляді традиційних задач механіки.
Наостанок зазначимо також, що закони Ньютона є системою не розрізнених, а органічно взаємопов’язаних тверджень, тож у будь-якій задачі динаміки “працюють” усі три закони. До прикладу, загальновідомий вираз ваги тіла на горизонтальній опорі P = mg не є прямим наслідком третього закону Ньютона, як це часом говорять учні. Його доведення, хоч і є елементарним, вимагає використання всіх трьох законів Ньютона.
1. Чим відрізняється розгляд руху тіл в кінематиці та в динаміці?
2. Говорять, що маса є мірою інертності тіла. А що таке інертність?
[2] Зазначений поділ є умовним, оскільки на молекулярному рівні поняття дотику втрачає прямий зміст, бо взаємодія між молекулами здійснюється не “безпосередньо”, а через створюване ними електромагнітне поле.
[3] Наприклад, видимий рух планет на небосхилі, тобто відносно Землі, відбувається по дуже складних траєкторіях, в той час як відносно Сонця вони рухаються по простих еліптичних траєкторіях.
[4] У зв’язку з цим деякі автори трактують перший закон Ньютона як твердження про існування інерціальних систем відліку.
[5] Тут і далі мається на увазі матеріальна точка.
[6] Зауважимо, що математично ліва частина цього виразу являє собою похідну імпульсу по часу.
[7] Розв’язування диференціального рівняння називається його інтегруванням і на загал вимагає знання теорії диференціальних рівнянь. Але в простих задачах для цього достатньо мати початкові відомості з вищої математики.
2. Сили
Для визначення закону руху тіла необхідно мати повну інформацію про діючі на нього сили, а для цього треба знати загальні властивості та математичні вирази (закони) різних сил.
У макроскопічному світі спостерігається багато різних сил, але всі вони є проявами лише двох фундаментальних взаємодій – гравітаційної та електромагнітної[1]. При цьому
гравітація виявляє себе лишень у силі тяжіння, а всі інші сили мають електромагнітну природу
й зумовлені взаємодією між зарядженими частинками, з яких складаються молекули та атоми речовини. В цьому розділі коротко розглянуто сили, що найчастіше фігурують у задачах механіки:
2.1. Гравітаційна сила та сила тяжіння
2.1. Гравітаційна сила та сила тяжіння
Гравітація є універсальною взаємодією, що полягає в існуванні притягання між будь-яким матеріальним об’єктами. Гравітаційні сили спрямовані по лінії, що проходить через взаємодіючі тіла, і, згідно із законом всесвітнього тяжіння Ньютона, є прямо пропорційні масам тіл m1, m2 і обернено пропорці квадратові відстані r між ними:
|
\( F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}, \) |
(2.1) |
Коефіцієнт пропорційності G чисельно дорівнює силі притягання двох тіл із масою по 1 кг, які розміщені на відстані 1 м одне від одного, і називається гравітаційною сталою. Її числове значення складає G = 6,67·10-11 м3/(кг·с2), тож гравітаційні сили є гранично слабкими і відіграють істотну роль лише тоді, коли хоча б одне з тіл має астрономічну масу (планети та зірки).
Слід указати й на те, що величини m1 і m2 в законі всесвітнього тяжіння визначають не інертність тіл, а їхню здатність до взаємного притягання, тобто вони є “гравітаційними” масами тіл, на відміну від “інертних” мас, які фігурують у другому законі Ньютона. Але на досліді встановлено, що гравітаційна та інертна маси є строго прямо пропорційні одна одній. Тому їх не розрізняють і говорять просто про масу тіла та вимірюють в одних і тих самих одиницях. Отже, фізична величина "маса" є і мірою інертності, і мірою здатності тіл до гравітаційної взаємодії.
Використовуючи формулу (2.1), слід пам’ятати, що вона є придатною тільки для матеріальних точок. Виняток складає притягання двох однорідних куль (або кулі та матеріальної точки). В цьому випадку r – це відстань між центрами куль (або центром кулі та матеріальною точкою). Зокрема, це стосується сили тяжіння, тобто сили гравітаційного притягання, що діє на тіла поблизу поверхні планети. Згідно з формулою (2.1) вона визначається як
|
\( F=G\frac{mM}{R^2},\) |
(2.1а) |
де m - маса тіла; М, R - маса і радіус планети.
Гравітаційна сила є прямо пропорційною масі тіла, на яке діє. Тому біля поверхні планети вона надає всім тілам однакового прискорення сили тяжіння
|
\( g= G\frac{M}{R^2},\) |
|
яке напрямлене вертикально вниз. Відповідно, силу тяжіння записують у вигляді
|
\(\vec{F}=m\vec{g}. \), |
(2.2) |
де для Землі принято значення g = 9,806 м/с2 ≈ 9,8 м/с2.
Примітка. Величину g зазвичай називають прискоренням вільного падіння. Загалом, це не точно, позаяк прискорення падаючих тіл відносно Землі приблизно на 0,5% відрізняється від g, позаяк точки земної поверхні самі мають деяке прискорення відносно строго інерціальної системі відліку через добове обертання та орбітальний рух Землі. Але вказана відміна складає всього біля 0,5%, тому в навчальних задачах взагалі часто беруть g = 10 м/с2.
Пружна сила. Пружна сила (сила пружності) виникає при пружних[2] деформаціях тіл, наприклад, при розтягу пружини, або еластичного шнура чи стержня. Вона є зумовлена дією електромагнітних сил взаємодії між молекулами деформованого тіла. Пружна сила завжди напрямлена протилежно до напрямку деформації й за модулем є прямо пропорційною величині деформації (закон Гука). При деформаціях розтягу – стискання величина (модуль) пружної сили
|
\( F=k\Delta{l}, \) |
(2.3) |
де \(\Delta{l}=\left|l-l_0\right| \) – величина деформації, \( l,\,\,\,l_0 \) – довжина деформованої та недеформованої пружини, відповідно, і k – коефіцієнт пропорційності, що називають жорсткістю тіла.
Для стержня (шнура) або пружини з довжиною l і сталою площею перерізу s
|
\( k=E\frac{s}{l}, \) |
(2.4) |
де Е – так званий модуль Юнга, що є табличною характеристикою пружних властивостей речовини тіла. У такому разі вираз закону Гука можна подати у вигляді:
|
\(\sigma=E\epsilon \) або \(\epsilon=\frac{\sigma}{E}, \) |
(2.5) |
де \(\epsilon=\Delta{l}/l_0 \) – відносна деформація і \(\sigma=F/s \) – механічна напруга, що виникає в тілі внаслідок деформації.
Вага тіла, невагомість. Якщо тіло лежить на опорі (чи підвішене на шнурі), то через притягання до Землі воно деформується саме та деформує опору (підвіс). При цьому
сила, що діє з боку тіла на горизонтальну опору або вертикальний підвіс унаслідок притягання до Землі, називається вагою тіла \( \vec{P} \) (рис. 2.3).
Відповідно, сила, що діє на тіло з боку опори (підвісу) називається реакцією опори \(\vec{N} \) або підвісу \(\vec{T}\). Отже,
вага тіла прикладена не до нього, а до опори чи підвісу.
Якщо опора (підвіс), отож і тіло, не має прискорення відносно інерціальної системи відліку, то \( m\vec{g}+\vec{N}=0 \) i, оскільки \(\vec{N}=-\vec{P} \),
|
\(\vec{P}=m\vec{g},\) |
(2.6) |
тобто, вага тіла дорівнює силі тяжіння, що діє на нього[3]. Але, коли опора (підвіс) має прискорення \(\vec{a}\), то згідно з другим і третім законами Ньютона \( m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{N}=m\vec{g}-\vec{P} \), і
|
\(\vec{P}=m(\vec{g}-\vec{a}). \) |
(2.6а) |
Отже,
вага залежить від прискорення опори
і може бути або більшою (при русі вгору), або меншою (при русі вниз), ніж mg. Зокрема, коли опора (підвіс) рухається вниз із прискоренням \(\vec{a}=\vec{g}\) , то \(\vec{P}=0 \), і тіло перебуває в невагомості. При цьому \(\vec{N}=0 \), тобто
в стані невагомості на тіло діє тільки сила тяжіння.
Із залежністю ваги від прискорення опори ми повсякденно стикаємося в ліфті, але особливо відчутно це для космонавтів: вони зазнають великих перевантажень при виході ракети на орбіту та перебувають у невагомості протягом усього часу орбітального польоту.
Сили тертя. З дослідів відомо, що при ковзанні одного тіла по поверхні іншого, або ж при спробах такого руху виникає сила, що перешкоджає рухові. Цю силу називають силою сухого тертя. Якщо ж при спробі примусити одне тіло ковзати по поверхні іншого закріпленого тіла перше залишається у спокої, то тертя, що виникає, називають тертям спокою.
Властивості сил тертя визначаються умовами, за яких вона виникають. Зокрема, сила тертя спокою \(\vec{F}_c \) є рівною по модулю та протилежно напрямленою до рівнодійної решти сил \( \sum\vec{F}_{i} \), які діють на дане тіло, взятій зі знаком мінус:
|
\( \vec{F}_{c}= -\sum\vec{F}_{i} \) |
(2.7) |
Це легко зрозуміти. Якщо тіло знаходиться у спокої, то його прискорення \(\vec{a}=0 \), отже сума сил, що діють на тіло, включно і з силою тертя спокою \(\Sigma(\vec{F}_i+\vec{F}_c)=0 \), звідки й випливає вираз (2.7).
При цьому на досліді встановлено, що величина сили тертя спокою не може перевищувати певного значення
|
\( F_{c\,\max}=\mu{N}, \) |
(2.16) |
де μ – коефіцієнт тертя, який залежить від речовини та стану дотикових поверхонь (зокрема їхньої шорсткості), N – сила нормального тиску, що притискає дане тіло до поверхні іншого. Якщо рівнодійна решти сил, прикладених до тіла, перевищує величину \( F_{c\,\max}\), то воно починає рухатися по поверхні тіла, з яким контактує, й тертя спокою змінюється на тертя ковзання. Величина сили тертя ковзання Fт складно, але досить слабко залежить від відносної швидкості тіл (рис. 2.4а).
Тому при малих швидкостях її прийнято вважати сталою (рис. 2.4б) і рівною максимальній силі тертя спокою
|
Fт = μN, |
(2.16а) |
|
Сила опору Fоп. Тертя між частинами одного й того ж тіла при їх відносному русі, наприклад, тертя між сусідніми шарами рідини чи газу, що рухаються із різними швидкостями, називають внутрішнім тертям або в’язкістю. Відповідно, при русі тіла в газоподібному чи рідкому середовищі внаслідок взаємодії між його молекулами та молекулами поверхні тіла виникає гальмівна сила, що називається силою опору середовища. При цьому, через слабкий зв’вязок між молекулами та їхню рухливість,
у газах та рідинах не існує тертя спокою.
Сила опору спрямована проти руху тіла й істотно залежить від його швидкості відносно середовища. При малих швидкостях можна вважати, що
|
\({{\vec{F}}_{on}}={{\alpha }}v{{\vec{e}}_{v}}\) |
(2.15) |
де α – стала величина (коефіцієнт опору), залежна від характеристик тіла і середовища, \( \vec{e}_{v} \) – орт вектора швидкості. При великих швидкостях ця залежність є близькою до квадратичної, а при надзвукових — до кубічної
Характерною властивістю сил опору є те, що вони істотно залежать від форми рухомого тіла. Тому рухомим апаратам (авто, літаки, ракети, тощо) надають специфічної обтічної форми.
[1] Фундаментальними називають такі взаємодії, які не зводяться ні до яких інших. Крім вказаних відомі ще два види фундаментальних взаємодій – сильна та слабка, – але в механічних явищах вони ніяк себе не виявляють.
[2] Пружними називають деформації, котрі зникають після припинення дії сили, що їх спричинює.
[3] З цієї причини силу тяжіння інколи теж називають вагою.
3. Сили інерції
На практиці рух тіл інколи доводиться розглядати і в неінерціальних системах відліку (НСВ) — системах відліку, які мають прискорення відносно інерціальних систем відліку (ІСВ).
У такому разі закони Ньютона втрачають силу, але основні рівняння динаміки (1.5) і (1.7) можна модифікувати так, аби вони зберігали чинність і в НСВ. Для цього в них, окрім сил взємодії, треба включати й так звані сили інерції, які розглядаються в наступних питаннях:
3.1. Сили інерції в поступальній НСВ
3.2. Сили інерції в обертовій системі відліку
3.3. Загальне рівняння руху тіла в НСВ
3.1. Сили інерції в поступальній НСВ
Згадаймо добре відому кожному ситуацію. В автобусі, що рухається без прискорення, ми перебуваємо відносно нього в спокої і відчуваємо лише силу реакції опори (підлоги). Але під час різкого гальмування чи прискорення, або на крутих віражах якась сила відкидає нас прямо, або вбік. Ця сила виникає не тому, що на нас починають діяти якісь інші тіла, а через те, що автобус, який є для нас природньою системою відліку, набуває прискорення відносно Землі, тобто стає неінерціальною системою відліку.
Сили, що зумовлені не взаємодією між тілами, а властивостями системи відліку[1], називаються силами інерції.
Розглянемо рух тіла в системі відліку K′(Х′,О′,Y′) (рис. 2.5), що рухається поступально з прискоренням \(\vec{a}_0 \) вздовж осі ОХ інерціальної системи відліку К(Х,О,Y).
Якщо тіло рухається відносно К-системи зі швидкістю \(\vec{v} \), то за законом додавання швидкостей (розділ І, (1.33)) його швидкість в K′-системі
|
\( \vec{v'}=\vec{v}-\vec{V}, \) |
де \( \vec{V}\) – швидкість K′-системи відносно К-системи. Звідси за означенням прискорення
|
\( \vec{a'}=\vec{a}-\vec{a_0},\) |
(3.1) |
де \( \vec{a'}\) – прискорення тіла в НСВ K′, \( \vec{a}\) – його прискорення в ІСВ К, і \(\vec{a}_0 \) – прискорення K′– системи відліку відносно К.
Помноживши вираз (3.1) на масу тіла т, одержимо
|
\( m\vec{a'}=m\vec{a}-m\vec{a}_0 \). |
(3.1а) |
Величина \( m\vec{a}=\vec{F}\) – то є “звичайна” сила, що діє на тіло в інерціальній системі відліку з боку інших тіл. Але прискорення тіла в НСВ K′ визначається не тільки цією силою, а й величиною
|
\( \vec{F}_i=-m\vec{a}_0, \) |
(3.2) |
яка називається (поступальною) силою інерції. Ця сила зумовлена прискореним рухом НСВ K′ відносно інерціальної К-системи відліку, а не взаємодією даного тіла з якиимось іншими тілами. Тому
для сил інерції третій закон Ньютона не виконується.
Іншою особливістю є те, що
сила інерції визначається добутком маси тіла не на його власне прискорення, а на прискорення системи відліку.
З уведенням сили інерції рівняння (3.1а) набуває вигляду основного рівняння динаміки (1.5), в якому, крім “звичайних сил” фігурує ще й сила інерції:
|
\( m\vec{a'}=\vec{F}+\vec{F}_i \). |
(3.3) |
3.2. Сили інерції в обертовій системі відліку
Прикладом такої НСВ К′ є платформа каруселі, що обертається зі сталою кутовою швидкістю \(\omega \) навколо своєї осі, нерухомої в ІСВ К, зв’язаній із землею. Кожна точка, що перебуває в спокої відносно платформи (в в К′-системі), відносно землі (в К-системі) має доцентрове прискорення, що залежить від швидкості обертання платформи та відстані точки від осі обертання. Тому прискорення тіла в ІСВ К (відносно землі) залежить не тільки від зміни швидкості тіла, а й від його положення в НСВ K′ (відстані до осі обертання платформи). Тому в обертових системах відліку існує два види сил інерції – відцентрова та коріолісова.
Відцентрова сила. Спочатку розглянемо тіло, що перебуває в спокої відносно НСВ К′, яка обертається з кутовою швидкістю \(\omega \) навколо осі О' О'', нерухомої в відносно ІСВ К (рис. 2.6).
Нехай на поверхні диска лежить тіло, прикріплене до осі обеотання ниткою довжини r. Тоді відносно системи відліку К воно рухається по колу радіуса r із нормальним прискоренням \(\vec{a}= -\omega^2\vec{r}\). Це прискорення створюється силою натягу нитки \(\vec{F}\) (рис. 2.6а), яка за другим законом Ньютона складає \(\vec{F}= -m\omega^2\vec{r}\) . Але відносно диска тіло є нерухомим, отже в системі відліку K′ його прискорення \(\vec{a'}=0 \). Згідно з (3.3), це означає, що в обертовій НСВ на тіло, крім сили взаємодії \(\vec{F}\), діє ще й рівна їй за модулем і протилежна за напрямом сила інерції
|
\( \vec{F}\)вц = \( {m}\omega^{2}\vec{r}\). |
(3.4) |
|
Ця сила напрямлена від осі (центра) обертання системи відліку K′ (рис. 2.6б) і називається відцентровою силою. Саме відцентрову силу відчуває пасажир на поворотах.
Сила Коріоліса. Нехай тепер точка рухається відносно обертової системи відліку K′ із швидкістю \(\vec{v'}\) (рис. 2.7).
Тоді в інерціальній К-системі відліку за час dt радіус-вектор \(\vec{r}\), який задає положення точки відносно осі обертання, набуде приросту
|
\(\mathrm{d}\vec{r}=\vec{v'}\mathrm{d}t+\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}\right]. \) |
(3.5) |
У цьому виразі перший доданок зумовлений рухом точки відносно K′-системи відліку, а другий – то є переміщення точки разом із K′-системою при її повороті на кут \(\mathrm{d}\vec{\varphi}\) відносно К-системи відліку (див. (2.1а)). Поділивши (3.5) на dt, одержимо:
|
\(\vec{v}=\vec{v'}+\left[\vec{\omega},\vec{r}\right]. \) |
(3.5а) |
Суттєво, що \(\vec{v}\) залежить від \(\vec{r}\). Тому, навіть коли точка в обертовій системі відліку K′ рухається рівномірно (\(\vec{v'}=\mathrm{const}\)), її швидкість відносно нерухомої К-системи відліку буде змінюватися внаслідок зміни відстані r до осі О'О''. Тому приріст вектора швидкості \(\mathrm{d}\vec{v}\) у К-системі визначається як зміною вектора відносної швидкості \(\mathrm{d}\vec{v'}\), так і зміною радіуса-вектора \(\mathrm{d}\vec{r}\):
|
\(\mathrm{d}\vec{v}=\mathrm{d}\vec{v'}+\left[\vec{\omega},\mathrm{d}\vec{r}\right]. \) |
(3.6) |
Підставивши в це співвідношення вираз (3.5), отримаємо:
|
\(\mathrm{d}\vec{v}=\mathrm{d}\vec{v'}+\left[\vec{\omega},\vec{v'}\right]\mathrm{d}t+\left[\vec{\omega}\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{r}\right]\right] \) |
(3.7) |
Розглянемо тепер зміну вектора \(\vec{v}\) відносно системи відліку К. Навіть якщо швидкість тіла \(\vec{v'}\) в обертовій системі відліку K′ є сталою, внаслідок повороту системи K′ на деякий кут \(\mathrm{d}\vec{\varphi}\) за час dt, вектор \(\vec{v'}\) відносно К-системи відліку теж повернеться на кут \(\mathrm{d}\vec{\varphi}\) і отримає приріст \(\mathrm{d}\vec{v'}=\vec{a'}\mathrm{d}t+\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{v'}\right] \). Якщо ж тіло має відносно K′- системи відліку ще й прискорення \(\vec{a'}\), то вектор \(\vec{v'}\) набуває додаткового приросту \(\vec{a'}\mathrm{d}t \). Тому в загальному випадку
|
\(\mathrm{d}\vec{v}=\vec{a'}\mathrm{d}t+\left[\mathrm{d}\vec{\varphi},\vec{v'}\right]. \) |
Підставивши цей вираз у (3.7) і поділивши на dt, отримаємо:
|
\(\vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\vec{a'}+2\left[\vec{ \omega},\vec{v'}\right]+\left[\vec{\omega}\left[\vec{\omega},\vec{r}\right]\right]. \) |
Легко переконатися, що \(\left[\vec{\omega}\left[\vec{\omega},\vec{r}\right]\right]=-\omega^2\vec{r}\). Враховуючи також, що \(\left[\vec{v'},\vec{\omega}\right]=-\left[\vec{\omega},\vec{v'}\right]\), маємо:
|
\(\vec{a'}=\vec{a}+2\left[\vec{v'},\vec{\omega}\right]-\left[\vec{\omega}\left[\vec{\omega},\vec{r}\right]\right]. \) |
(3.8) |
Помноживши цей вираз на масу m точки, одержимо рівняння динаміки матеріальної точки в обертовій системі відліку:
|
\( m\vec{a'}=m\vec{a}+2m\left[\vec{v'},\omega\right]+m\omega^2\vec{r}. \) |
(3.9) |
або
|
\( m\vec{a'}=\vec{F}+\vec{F}\)к + \(\vec{F}\)вц, |
(3.9а) |
де \(\vec{F}=m\vec{a}\) – сила взаємодії точки з іншими тілами, \(\vec{F}\)вц\( =m\omega^2\vec{r}\) – вже знайома відцентрова сила інерції. Але, крім неї, на рухому точку в обертовій системі відліку діє ще одна сила інерції
|
\( \vec{F}_{k}=2m\left[\vec{v}^{\prime},\vec{\omega}\right] \), |
(3.10) |
яка називається силою Коріоліса (або коріолісовою силою). Деякі прояви сили Коріоліса показані у відео.
Характерною властивістю сили Коріоліса є те, що вона завжди діє перпендикулярно до напрямку руху тіла. Зокрема, при русі в меридіональному напрямку в північній півкулі вона напрямлена праворуч по ходу руху тіла, а у південній – ліворуч (рис. 2.8).
З цим пов’язаний відомий ефект підмивання правих берегів річок у північній півкулі і лівих у південній. Також завдяки коріолісовій силі спостерігається обертання площини коливань математичного маятника. Саме це дозволило у свій час (1852 р.) французькому фізикові Фуко довести, що Земля обертається навколо своєї осі. Існують й інші прояви сил Коріоліса. Зокрема, при русі тіла вздовж паралелі сила Коріоліса має вертикальну складову, напрямлену вгору при русі на схід і вниз при русі на захід, що впливає на дальність польоту тіл і враховується в балістиці.
3.3. Загальне рівняння руху точки в НСВ
У кінематиці (частина І, розділ 2) говорилося про те, що на загал рух твердого тіла можна трактувати як сукупність поступального та обертального рухів. Тому в довільній неінерціальній системі відліку на тіла, крім сил взаємодії, діють усі розглянуті види сил інерції. Відповідно, основні рівняння руху (1.5) і (1.7) у довільній НСВ мають вигляд:
|
\( m\vec{a'}=\vec{F}-m\vec{a}_0+m\omega^2\vec{r}+2m\left[\vec{v'},\vec{\omega}\right]\); |
(3.11) |
|
|
\( \frac{\mathrm{d}\vec{r'}}{\mathrm{d}t^2}=\frac{\vec{F}}{m}-\vec{a}_0+\omega{\vec{r}}+2\left[\vec{v'},\vec{\omega}\right], \) |
(3.12) |
де \(\vec{a}_0 \) і \(\vec{\omega} \) – поступальне прискорення та кутова швидкість системи відліку. Два інші доданки являють собою відцентрове прискорення
|
\( \vec{a}_{вц}=\omega^{2}\vec{r}\) |
(3.13) |
та коріолісове прискорення
|
\(\vec{a}_K=2\left[\vec{v'},\vec{\omega}\right] \). |
|
1. Чи виконуються закони Ньютона в довільній системі відліку?
2. На горизонтальній платформі, що рухається рівномірно і прямолінійно, лежить кулька. Але коли платформа починає рухатися прискорено, кулька теж починає прискорено котитися по платформі. Як це пояснить спостерігач, який перебуває на платформі, та той, хто стоїть на землі?
3. Чим відрізняється рівняння динаміки руху тіла в неінерціальній системі відліку від рівняння його руху в інерціальній системі відліку?
4. Чи скрізь напрям нитки виска збігається з точним напрямом до центра Землі? Якщо ні, то чому і в який бік є відхилена нитка?
5. Чи є різниця між поняттями “прискорення вільного падіння” та “прискорення сили тяжіння”?
6. В якому випадку коріолісова сила інерції, що діє на тіло на поверхні Землі, збігається за напрямом із відцентровою силою?
7. Чи можливо, щоби коріолісова сила, котра діє на тіло, що рухається на південь, теж була напрямлена на південь?
8. На екваторі роблять постріл із гармати один раз точно на північ, а другий – на південь. Що можна сказати про дальність польоту снаряда в обох випадках?
9. З однакової висоти роблять горизонтальний постріл із гармати точно на схід: один раз на екваторі, а інший – десь у північній півкулі. Чим будуть відрізнятися траєкторії снаряда?
[1] З цієї причини інколи сили інерції називають “фіктивними силами”.
IІІ. ДИНАМІКА СИСТЕМИ
На практиці найчастіше доводиться мати справу не з окремим тілом (матеріальною точкою), а із системою, тобто з виділеною сукупністю частинок або тіл, які певним чином взаємодіють між собою та з тілами, що не включені до складу системи. Останні звуться зовнішніми тілами[1]. Відповідно й сили, що діють на тіла системи, поділяють на внутрішні та зовнішні. При цьому, коли на тіла системи не діють зовнішні сили, вона називається ізольованою, або замкненою.
Рух кожного тіла визначається діючими на нього силами і є підпорядкований законам Ньютона. Але в системі, через неперервну зміну взаємного розташування та швидкостей тіл, внутрішні сили є невизначеними. З цієї причини навіть для системи з трьох тіл рівняння руху (розділ ІІ, (1.7)) принципово не мають точних розв’язків. Тому при дослідженні систем особливого значення набувають величини, поведінка котрих не залежить від складу системи та внутрішніх взаємодій у ній. Далі розглядаються наступні питання механіки систем:
[1] Вибір тіл, які включаються до системи і які розглядаються як зовнішні, не є наперед заданим, він визначається поставленими задачами.
1. Імпульс системи
Однією з величин, які визначають механічний стан не лише окремих тіл, а й систем у цілому, є імпульс. Нагадаємо, що імпульс \( \vec{p}\) окремого тіла (матеріальної точки) визначається добутком її маси на швидкість, а для системи — сумою імпульсів усіх, тіл, які входять до її складу:
\( \vec{P}=\sum_{i}\vec{p}_{i}=\sum_{i}m\vec{v}_{i}\)
Що відбувається з цією величиною за різних умов, розглядається наступних пунктах.
1.1. Імпульс незамкненої системи
1.2. Закон збереження імпульсу
1.3. Рух тіл змінної маси (рівняння Мещерського)
1.1. Імпульс незамкненої системи
Розглянемо найпростішу систему, що складається всього з двох матеріальних точок 1 і 2, які взаємодіють між собою із силами \(\vec{f}_{12} \) та \(\vec{f}_{21} \) і на які діють зовнішні сили \(\vec{F}_1 \) і \(\vec{F}_2 \) (рис. 5.1). Рух кожної частинки визначається другим законом Ньютона (розділ І, (1.3)), тож зміна імпульсу системи виражається, як
\(\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}\) = \(\sum_{i}\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{i}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{1}}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\vec{p}_{2}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{1}+\vec{f}_{12}+\vec{F}_{2}+\vec{f}_{21}\).
Але, згідно з третім законом Ньютона, \(\vec{f}_{12}+\vec{f}_{21}=0 \), тому
\( \frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_{1}+\vec{F}_{2}=\sum_{i}\vec{F}_{i}\).
Позаяк третій закон Ньютона виконується і в довільній системі для кожної пари частинок, то отриманий результат є загальним і згорнуто записується як
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=\vec{F} \), |
(1.1) |
де величина \( \vec{F}=\sum_{i}\vec{F}_{i}\) є сумарною зовнішньою силою[1], що діє на тіла системи.
Таким чином,
швидкість зміни імпульсу довільної системи дорівнює сумарній зовнішній силі, що діє на систему.
Це твердження й рівняння (1.1) інколи називають законом зміни імпульсу системи. Воно виражає той дуже важливий факт, що, на відміну від окремих частинок,
імпульс всієї системи можуть змінювати лише зовнішні сили[2].
Зміна імпульсу системи за скінченний проміжок часу \( [t_1,\,\,t_2] \) визначається повним імпульсом зовнішніх сил за цей проміжок:
|
\(\Delta\vec{P}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{F}\mathrm{d}t \). |
(1.1а) |
1.2. Закон збереження імпульсу
Збереження імпульсу системи. Якщо система є замкненою (зовнішні сили \(\vec{F}_i \) відсутні), то в рівнянні (1.1) \(\vec{F}=0 \), отже
|
\( \frac{\mathrm{d}\vec{P}}{\mathrm{d}t}=0\) \(\Rightarrow \) \( \vec{P}=\mathrm{const} \). |
(1.2) |
У цьому полягає закон збереження імпульсу:
імпульс замкненої системи зберігається, тобто залишається незмінним у часі.
При цьому імпульси окремих тіл системи можуть змінюватися внаслідок взаємодії між собою, але лише так, аби їхній сумарний імпульс лишався незмінним. Іншими словами, взаємодія між тілами призводить тільки до обміну імпульсами без зміни загального імпульсу системи. Тому рівняння (1.2) розгорнуто можна записати так:
|
\( {m}_{1}\vec{v}_{1}^{\prime}+m_{2}\vec{v}_{2}^{\prime}+... \) =\( {m}_{1}\vec{v}_{1}^{\prime\prime}\) + \( {m}_{2}\vec{v}_{2}^{\prime\prime}+{...} \) |
(1.2а) |
де ліва та права частини відносяться до двох довільних моментів часу.
З наведених викладок можна зробити висновок, що закон збереження імпульсу є наслідком законів Ньютона, і це є цілком слушно. Але в науці трапляється, що висновок виявляється глибшим за формальний положення, з яких він випливає. Це можна сказати й про закон збереження імпульсу, який є одним із загальних фізичних законів. Він виконується не лише в механічних, а й у будь-яких ізольованих фізичних системах і за будь-яких умов. Зокрема, він є чинним в електромагнітних полях і квантових системах, хоча в обох випадках закони Ньютона не виконуються. Те саме стосується й релятивістської механіки.
Використання закону збереження імпульсу. Універсальність закону збереження імпульсу робить його дуже важливим як для теорії, так і для практики. До прикладу, в багатьох випадках він дозволяє визначити кінцевий стан системи, не досліджуючи її еволюції в часі, коли в тому немає потреби чи не вистачає даних. А при аналізі маловивчених систем, як от у фізиці елементарних частинок, де доводиться розглядати багато гіпотетичних процесів, закони збереження висвітлюють усі ті, що є апріорі неможливими.
Практична цінність закону збереження імпульсу визначається тим, що він може достатньо точно виконуватись і в реальних системах, яку ніколи не бувають строго замкненими. Це можливо у таких випадках.
1. Зовнішні сили є компенсованими. Так буває, до прикладу, при русі тіл по гладкій горизонтальній поверхні, коли сили тяжіння, що діють на тіла є точно компенсовані і тертя практично відсутнє. За таких умов зіткнення між тілами відбуваються у точній відповідності до закону збереження імпульсу.
2. Зовнішні сили є неістотними. Класичним прикладом такої ситуації є розрив снаряда в повітрі що відбувається за дуже короткий проміжок часу під дією внутрішніх сил тиску порохових газів, які на порядки перевищують зовнішні сили тяжінні та опору повітря. І хоча осколки розлітаються з великими швидкостями, їхній сумарний імпульс дорівнює початковому імпульсу снаряда, позаяк зовнішні сили за час розриву не встигають помітно змінити імпульс системи. Але як перед, так і після розриву сили тяжіння та опору є визначальними в зміні імпульсу в процесі руху снаряда та утворених осколків .
3. Зовнішня сила має незмінний напрям. Якщо вектор сумарної зовнішньої сили \(\vec{F} \) має незмінний напрям, скажімо, вертикальний OY, то її проєкція на будь-який горизонтальний напрям ОX Fх = 0, і dPx = 0. Відповідно, проєкція імпульсу системи на цей напрям зберігається:
|
\( {P}_{x}=\sum_{i}p_{ix}=\mathrm{const}\) |
(1.3) |
Ілюстрацією може бути незмінність (без урахування опору повітря) горизонтальної складової швидкості руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, .
Збереження імпульсу при наявності тільки внутрішніх сил демонструє відеофільм.
1.3. Рух тіл змінної маси (рівняння Мещерського)
Одним із цікавих і важливих наслідків збереження імпульсу є виникнення так званої “реактивної сили” при зміні маси тіла внаслідок витоку або притоку речовини. Це спостерігається при русі автоцистерни, що поливає вулицю, навантаженні (чи розвантаженні) платформи на ходу, русі ракети з увімкненими двигунами, тощо.
Знайдемо рівняння руху такого тіла на прикладі космічної ракети, що виходить на орбіту. Позначимо як m і \( \vec{v} \) масу ракети та її швидкість відносно Землі. Відповідно, імпульс ракети \(\vec{p}=m\vec{v}\). Нехай за час dt двигун ракети викидає продукти згоряння палива масою \(\delta m\) зі швидкістю \( \vec{u} \) відносно ракети. Тоді її маса змінюється на величину –\(\delta m\), а швидкість – на деяку величину \(\mathrm{d}\vec{v} \), й імпульс стає рівним \(\left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\). Швидкість витоку продуктів згоряння відносно Землі дорівнює \(\vec{v}+\vec{u}\), а їхній імпульс складає \(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \). Отже, сумарний імпульс системи ракета-продукти згоряння стає рівним \(\left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\)+\(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \). Відповідно, зміна імпульсу системи за час dt становить
\( \left( m-\delta m \right)\left( \vec{v}+\delta \vec{v} \right)\)+\(\delta{m}(\vec{v}+\vec{u}) \)–\( m\vec{v}\).
Розкривши дужки і нехтуючи доданком \( \delta{m}\cdot\mathrm{d}\vec{v} \) (мала вищого порядку відносно інших), одержимо
\( d\left( m\vec{v} \right)=md\vec{v}+\vec{u}dm\)
Відтак поділимо обидві частини цієї рівності на dt:
\( \frac{d\left( m\vec{v} \right)}{dt}=m\frac{d\vec{v}}{dt}+\vec{u}\frac{dm}{dt}\)
Згідно з виразом (1.1), ліва частина даного рівняння дорівнює сумарній зовнішній силі \(\vec{F} \), яка діє на систему[3]. Тому, врахувавши, що \(\delta{m}= -\mathrm{d}m \) (спад маси ракети), отримаємо:
|
\( \vec{F}=m\frac{d\vec{v}}{dt}-\vec{u}\frac{dm}{dt}\) \(\Rightarrow \) \( m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}+\vec{u}\frac{dm}{dt}\) |
(1.4) |
Це є
основне рівняння динаміки тіла змінної маси, або рівняння Мещерського.
У розглянутому прикладі зміна маси тіла (ракети) була зумовлена відокремленням речовини (газів), отже dm < 0. Але рівняння Мещерського є чинним й у випадку, коли речовина приєднується, до прикладу, при завантаженні рухомої платформи піском (у цьому випадку dm > 0).
Рівняння (1.4) показує, що прискорення тіла змінної маси визначається не тільки зовнішньою силою \(\vec{F} \), а й величиною
|
\( \vec{F}_p=\vec{u}\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} \), |
(1.5) |
яку називають реактивною силою. Її модуль визначається швидкістю зміни маси тіла dm/dt, а напрям – характером зміни маси: якщо маса приєднується (dm/dt > 0), то \(\vec{F}_p \) за напрямом збігається з вектором відносної швидкості \(\vec{u} \), якщо ж маса відокремлюється (dm/dt < 0), то вектори \(\vec{F}_p \) та \(\vec{u} \) є антипаралельними. Зокрема, якщо продукти згоряння палива вилітають із сопла ракети вертикально вниз, то реактивна сила напрямлена вертикально вгору, що й забезпечує підйом ракети.
1. Чи змінюється імпульс тіла при його рівномірному русі?
2. Чи однакове значення має в різних інерціальних системах відліку імпульс тіла або системи тіл? Зміна імпульсу?
3. Що таке ізольована система? Чи існують у природі строго ізольовані системи?
4. Які сили в механічній системі називаються внутрішніми та які – зовнішніми?
5. Від чого залежить зміна імпульсу системи з часом?
6. У чому полягає закон збереження імпульсу? Яке його значення?
7. Чи можна використовувати закон збереження імпульсу для неізольованих систем? Наведіть приклади.
8. Як записується рівняння Мещерського?
9. Що таке реактивна сила та реактивний рух? Наведіть приклади.
10. Чому при пострілі з рушниці треба щільно притискати її до плеча?
11. Від чого залежить сила тяги реактивного двигуна?
[1] Зауважимо, що величину F не можна розглядати як “рівнодійну” за винятком ситуації, коли лінії дії всіх зовнішніх сил перетинаються в одній точці.
[2] Сили інерції, що діють на тіла в неінерціальних системах відліку, відносяться до зовнішніх сил.
[3] У нашому випадку – це сила тяжіння, що діє на ракету та на викинуті гази.
2. Центр мас
На загал у будь-якій системі окремі тіла рухаються з різними за модулем і напрямом швидкостями. Тому вираз імпульсу системи через імпульси окремих частинок \( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}\) не дає наочного уявлення про напрям та величину швидкості всієї системи. Але таку цілісну картину дає визначена точка, що є зв’язана із системою і називається її центром мас. При цьому виявляється, що в багатьох задачах систему тіл можна трактувати як одну матеріальну точку, розміщену в центрі мас системи. Далі розглянуто:
2.3. Система відліку центра мас
В існуванні такої точки можна переконатись і встановити її розташування можна, певним чином перетворивши вираз імпульсу системи \( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}\). Для цього замінимо в ньому швидкості тіл \( \vec{v}_i \) похідними \({{{r}'}_{i}}\) їхніх радіусів-векторів по часові і виконаємо низку наступних тотожних перетворень:
|
\( \vec{P}=\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}=\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}^{\prime}=\left(\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}\right)^{\prime}\)= \(= \sum_{i}m_{i}\left(\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}\right)^{\prime}=m\cdot\left(\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}\right)^{\prime} \) , |
(2.1) |
|
де \( {m}=\sum_{i}m_{i}\) — загальна маса системи.
Величина під знаком похідної у двох останніх виразах являє собою вектор із початком у початку відліку О, тобто, є радіусом-вектором \(\vec{R}_c \) певної точки С, яка й називається центром мас системи. Рис. 5.2 ілюструє графічне визначення радіуса-вектора \(\vec{R}_c \) і розташування цієї точки для системи з двох тіл із масами m1 та m2 = 2 m1.
Таким чином, за означенням
центром мас механічної системи називається точка, положення котрої визначається радіусом-вектором
|
\( \vec{R}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{r}_{i}}{m}\). |
(2.2) |
Координати центра мас визначаються аналогічно:
|
\( {X}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}x_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}x_{i}}{m}\), \( {Y}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}y_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}y_{i}}{m}\), \( {Z}_{c}=\frac{\sum_{i}m_{i}z_{i}}{\sum_{i}m_{i}}=\frac{\sum_{i}m_{i}z_{i}}{m}\). |
(2.2а) |
Відповідно виразу (2.2), вектор швидкості центра мас системи \({{\vec{V}}_{c}}={{{\vec{R}}'}_{c}}\) виражається через швидкості окремих частинок системи, як
|
\({{\vec{V}}_{c}}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}}\). |
(2.3) |
Таким чином, результат викладок (2.1) для імпульсу системи набуває вигляду:
|
\(\vec{P}=m{{\vec{V}}_{c}}\) |
(2.4) |
Підставивши цей вираз у закон зміни імпульсу системи (1.1), отримаємо рівняння руху центра мас:
|
\( m\frac{d{{{\vec{v}}}_{c}}}{dt}=\vec{F}\), (2.5) |
або
\( m{{a}_{c}}=\vec{F}\). (2.5а)
Отже,
центр мас довільної системи рухається, як матеріальна точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на тіла системи.
Це твердження називають теоремою про рух центра мас.
(Варто зауважити, що наведене формулювання декого може спровокувати на хибну думку, що центр мас є точкою, “в якій зосереджена маса системи”. Зрозуміло, що це абсолютно неправильно. Зокрема, для системи рознесених у просторі тіл із сумірними масами центр мас зазвичай розташовується поза межами будь-якого з них).
2.3. Система відліку центра мас
З теореми про рух центра мас випливає, що при аналізі руху системи тіл як цілого її можна трактувати як одну матеріальну точку з масою всієї системи, котра розміщена в центрі мас і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють в системі. Але поняття центра мас виявляється корисним і при розгляді рухів тіл усередині системи. Для цього з центром мас пов’язують систему відліку, що називається системою відліку центра мас, або коротко – Ц-системою відліку. Позаяк початок відліку є нерухомим за означенням, то, згідно з (2.9),
в Ц-системі відліку центр імпульс будь якої системи тіл[1] дорівнює нулю:
\( \tilde{\vec{P}}=\sum _{i}{{{{\tilde{\vec{p}}}}_{i}}}=0 \).
Це істотно полегшує розгляд багатьох процесів, зокрема, зіткнень між частинками. До прикладу, для системи з двох частинок
|
\( {{\tilde{\vec{p}}}_{1}}+{{\tilde{\vec{p}}}_{2}}={0}\) \( \Rightarrow \) \({{\tilde{\vec{p}}}_{1}}=-\tilde{\vec{p}}\), |
(2.6) |
тобто,
в Ц-системі відліку двох частинок вони завжди мають однакові за величиною й протилежні за напрямом імпульси.
Така симетричність рухів є дуже зручною, зокрема, при розгляді зіткнень між частинками. Приміром, якщо дві частинки стикаються непружно (“злипаються”), то в Ц-системі вони зупиняються, отже в К-системі їхня швидкість після зіткнення \( \vec{u}=\vec{V}_c \) i визначається виразом (2.9).
Наостанку зауважимо, що Ц-система відліку незамкненої системи тіл є неінерціальною, оскільки \({{\vec{a}}_{c}}\ne 0\) (див. рівняння (2.10а)). Але
Ц-система відліку замкненої системи тіл завжди є інерціальною.
1. Якими формулами визначається положення центра мас системи?
2. Який зв’язок існує між імпульсом системи та рухом її центра мас?
3. Виходячи з того, що центр мас однорідного симетричного тіла знаходиться в центрі симетрії, визначте положення центра мас пластини у формі довільного трикутника та сформулюйте результат.
4. Як записується та формулюється теорема про рух центра мас системи?
5. Як визначаються швидкості та імпульси двох частинок у їхній Ц - системі відліку?
6. Чому дорівнює сумарний імпульс тіл довільної системи в їхній Ц - системі відліку?
[1] Величини, що визначені в Ц-системі відліку, будемо відмічати позначкою ~ (тильда) над символом величини.
ІV. РОБОТА ТА ЕНЕРГІЯ
Для різних класів фізичних систем існують свої специфічні поняття та величини, що характеризують властивості об’єктів та процеси саме в таких системах. Наприклад, прискорення є суто механічною, температура – термодинамічною, а освітленість – оптичною величиною. І лише одна фізична величина є однаково притаманною всім фізичним системам і є універсальною характеристикою їхнього стану та процесів, які в них відбуваються. Це енергія, від грецького energia, що означає дію, або ж діяльність. Енергія має дві визначальні властивості. По-перше, на відміну від решти фізичних величин, існують різні форми енергії: механічна, внутрішня (теплова), електромагнітна, ядерна, тощо. І, по-друге, енергія має здатність перетворюватися з одних форм на інші, причому завжди так, що загальна кількість енергії у будь-якій замкненій системі лишається незмінною (закон збереження енергії).
Рух та взаємодія тіл характеризуються механічною енергією. При цьому існує спеціальна величина, що є кількісною мірою перетворень механічної енергії — механічна робота, або робота сили.
Нижче розглянуті наступні питання:
2. Кінетична і потенціальна енергія
1. Робота і потужність сили
У загальному вжитку термін робота має досить широкий зміст. Але, в науці візична величина робота є кількісною характеристикою взаємних перетворень енергії. Далі розглянуто:
Механічна робота характеризує дію заданої сили на заданій траєкторії руху тіла і має наступне означення.
Елементарною роботою \(\delta A\) сили \(\vec{F} \) на нескінченно малому переміщенні \(\mathrm{d}\vec{s} \) називається величина:
|
\(\delta{A}=\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=F\mathrm{d}s\cos\alpha=F_s\mathrm{d}s \), |
(1.1) |
тобто, – скалярний добуток векторів сили та переміщення. У наведених виразах \(\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\vec{s}| \) – елементарний шлях і \( F_s=F\cos\alpha \) – проекція вектора сили на напрям вектора переміщення (див. рис. 4.1).
Примітка. Тут і далі для елементарної роботи використовується позначення \(\delta A\), а не звичне dA. Так зроблено, аби відтінити те, що \(\delta A\) є “малою порцією” роботи, а не її приростом унаслідок зміни іншої величини, від якої величина А функціонально залежить.
З означення (1.1) випливають такі загальні властивості роботи сили.
1) Робота є алгебраїчною величиною, тобто може мати той, чи інший знак, залежно від кута α. Зокрема, коли він тупий, робота сили від’ємна. Інакше говорячи, від’ємну роботу виконує сила, що напрямлена проти переміщення, тож спричинює гальмівну дію. Зрозуміло, що в цьому випадку переміщення тіла здійснюється або за рахунок якоїсь іншої сили, або за рахунок інерції руху. Тому буває зручніше замість роботи гальмівної сили \(\delta A\) < 0, розглядати додатню величину \(\delta A\)′ = - \(\delta A\) – роботу, що виконується тілом проти цієї сили. Й нарешті, коли сила є перпендикулярна до переміщення, то в (1.1) cosα = 0, і сила роботи не виконує.
2) Робота рівнодійної декількох сил \(\vec{F}=\sum{{{{\vec{F}}}_{i}}}\) на даному переміщенні \(d\vec{r}\) дорівнює сумі робіт кожної з них:
|
δА = \(\vec{F}d\vec{r}=\left( \sum{{{{\vec{F}}}_{i}}} \right)d\vec{r}=\sum{\left( {{{\vec{F}}}_{i}}d\vec{r} \right)}=\sum{\delta {{A}_{i}}}\) |
(1.2) |
3) Дослід свідчить, що робота є адитивною величиною: при переміщенні тіла по траєкторії на скінчену відстань робота на всій траєкторії дорівнює сумі робіт, які виконуються на всіх її ділянках. Тому робота при переміщенні тіла по траєкторії із заданої точки 1 у задану точку 2 у загальному випадку визначається як криволінійний інтеграл[1] від виразу (1.1):
|
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2 F_s \mathrm{d}s \). |
(1.3) |
Ураховуючи геометричний зміст інтеграла, роботу можна знаходити з графіка залежності \( F_s\mathrm{d}s \): площа під відповідною його ділянкою (виділена на рис. 4.2) чисельно дорівнює виконаній роботі.
При русі вздовж прямої під дією сталої за величиною й напрямом сили, що діє під кутом \(\alpha \) до напрямку руху, величина Fs = F cosα = const, і вираз (1.2) дає:
|
\( A=\int\limits_1^2 F_s\mathrm{d}s=F_s\int\limits_1^2\mathrm{d}s=F_s{s}\) \( \Rightarrow \) \( {A}=Fs\cos\alpha \). |
(1.4) |
Якщо сила діє в напрямку руху (\(\alpha \) = 0), то A = Fs. На основі цього встановлюється одиниця роботи джоуль (Дж): 1 Дж = 1 Н·м.
З практики добре відомо, що ефективність механізмів і машин (наприклад, двигунів) визначається не величиною виконуваної роботи, а тим як швидко вони здатні її виконувати. Інтенсивність виконання роботи характеризується потужністю, яка визначається величиною роботи за одиницю часу й вимірюється у ватах (Вт): 1 Вт = 1 Дж/с. Якщо інтенсивність виконання роботи змінюється з часом, то розрізняють середню та миттєву потужності.
Середня потужність – це відношення роботи А до тривалості проміжку часу t, за який вона виконана:
|
\(\langle P\rangle=\frac{A}{t} \). |
(1.5) |
Миттєва потужність характеризує інтенсивність виконання роботи в кожен момент часу й визначається виразом:
|
\( P=\frac{\delta{A}}{\mathrm{d}t} \), |
(1.5а) |
|
\( P=\vec{F}\cdot\vec{v}=Fv\cos\alpha \), |
(1.6) |
де \(\alpha \) - кут між векторами \(\vec{F}\) та \(\vec{v}\).
Зазначимо, що, на відміну від побуту та техніки, в теорії потужність сили розглядається як алгебраїчна величина, знак якої збігається зі знаком роботи сили і залежить від прискорюючої, чи гальмівної дії цієї сили.
1. Що називається механічною “роботою” та який зміст має ця фізична величина?
2. Тіло масою m, кинуте вертикально, піднялося на висоту h і впало. Яку роботу воно виконало під час підйому та під час падіння?
3. Переносячи відро води, людина прикладає до нього вертикальну силу, яка, згідно з формулою (1.4), на горизонтальному шляху не виконує роботи. Чому ж тоді людина стомлюється, причому навіть тоді, коли стоїть на місці?
4. Як обчислюється робота сили на траєкторії довільної форми?
5. Тіло пройшло половину кола радіуса R під дією сил, серед яких була й задана стала сила F, спрямована під кутом 60° до відрізка, що з’єднує крайні точки траєкторії. Яку роботу виконала ця сила?
6. Який геометричний зміст має робота сили? Чи завжди можна реально визначити роботу за графіком сили?
7. Який зміст має фізична величина “потужність сили” та за якою формулою вона обчислюється при довільному русі тіла?
8. Запишіть вираз і покажіть графік залежності потужності сили тяжіння від часу для тіла, що кинуте під кутом до горизонту.
9. Чому при підйомі авта вгору водій перемикає двигун на нижчу передачу?
[1] Такий інтеграл відрізняється від звичайного тим, що “додаються” не добутки значення функції на приріст аргументу, а добутки вектора сили на нескінченно малі переміщення тіла вздовж певної лінії – траєкторії руху тіла. Відповідно символи в позначенні інтеграла (границі інтегрування) – то є не числа, а позначення початкової та кінцевої точок на траєкторії, вдовж якої обчислюється криволінійний інтеграл.
2. Кінетична і потенціальна енергія
Наявність енергії в системі тіл є зумовлена їхнім рухом і взаємодією між собою та зовнішніми тілами. Відповідно, механічна енергія поділяється на кінетичну (енергію руху) та потенціальну (енергію взаємодії). Далі розглянуто питання:
2.3. Зв’язок між потенціальною енергією і силою
Теорема про кінетичну енергію. Позаяк при русі частинки під дією сили змінюється її швидкість, існує зв’язок між механічною роботою та станом руху частинки. Розглянемо роботу сумарної (рівнодійної) сили \(\vec{F}\), яка діє на частинку маси m, на елементарному переміщенні \(\mathrm{d}\vec{s}\) по довільній траєкторії (формула (1.1)):
\(\delta{A}=\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}\).
Урахувавши, що \(\vec{F}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) і \(\mathrm{d}\vec{s}=\vec{v}\mathrm{d}t \) (\(\vec{v} \) – швидкість частинки), отримаємо:
\(\delta{A}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\vec{v}\mathrm{d}\vec{v}=m\vec{v}\mathrm{d}\vec{v} \).
У загальному випадку вектори \(\vec{v}\) і \(\mathrm{d}{\vec{v}}\) не збігаються за напрямом (рис. 4.3), тому
\(\vec{v}\mathrm{d}\vec{v}=v|\mathrm{d}\vec{v}|\cos\alpha=v\mathrm{d}v \).
Примітка. Цей результат є однією з важливих тотожностей векторної алгебри: скалярний добуток вектора на його зміну дорівнює добутку модуля цього вектора на зміну його модуля.
Отже,
\(\delta{A}=mv\mathrm{d}v=\mathrm{d}\left(\frac{mv^2}{2}\right) \).
Бачимо, що елементарна робота дорівнює приростові (зміні) величини
|
\( K=\frac{mv^2}{2} \). |
(2.1) |
Через імпульс тіла p = mv вона визначається, як
|
\( K=\frac{p^2}{2m} \). |
(2.1а) |
Величина К називається кінетичною енергією частинки. Очевидно, що вона вимірюється у джоулях (Дж).
Таким чином, маємо:
|
\(\delta{A}=\mathrm{d}K \). |
(2.2) |
Проінтегрувавши цей випаз уздовж траєкторії від початкової точки 1 до кінцевої точки 2, дістанемо :
|
\( A=K_2-K_1 \) або \( A=\Delta{K} \). |
(2.2а) |
Отримані співвідношення (2.2) і (2.2а) виражають теорему про кінетичну енергію:
зміна кінетичної енергії тіла на будь-якому переміщенні дорівнює роботі всіх сил, які діють на нього на цьому переміщенні.
Слід наголосити на тому, що зв’язок між роботою та кінетичною енергією, є універсальнимспіввідношення (2.2) і (2.2а), які виражають и: вони не залежать від природи та походження сил, які діють на частинку. Зокрема, в неінерціальних системах відліку величина \(\vec{F} \) включає й сили інерції. Але при цьому не слід забувати, що йдеться про повну роботу всіх сил. До прикладу, коли ми рівномірно тягнемо санки за мотузку, то виконуємо роботу, проте кінетична енергія санок не змінюється. Але це зовсім не суперечить теоремі про кінетичну енергію, бо таку саму по модулю від’ємну роботу виконують сили тертя, і повна робота всіх сил дорівнює нулю.
Кінетична енергія системи. Розглянемо тепер зв’язок між роботою й станом руху для довільної системи частинок. Оскільки робота є адитивною величиною, повна робота всіх сил, що діють у системі, дорівнює сумі робіт \( A_i \), які виконуються силами, що діють на кожну частинку системи. Тому, враховуючи співвідношення (2.8) і (2.3), маємо:
\( \delta{A}=\sum_{i}\delta{A}_{i}=\sum_{i}\mathrm{d}K_{i}=\mathrm{d}\left(\sum_{i}K_{i}\right)=\mathrm{d}{K}\),
де величина
|
\( {K}=\sum_{i}K_{i}=\sum_{i}\frac{m_{i}v_{i}^{2}}{2}=\sum_{i}\frac{p_{i}^{2}}{2m_{i}}\) |
(2.3) |
–кінетична енергія системи, котра, як видно, теж є адитивною величиною.
Отже, універсальний зв’язок між кінетичною енергією та роботою сил (2.2) і (2.2а) – теорема про кінетичну енергію – є чинною для довільної системи.
2.2.1. Консервативні та неконсервативні сили
Зміна кінетичної енергії тіла не залежить від природи сил, які виконують надним роботу. Але цього не можна сказати про саму роботу. Розглянемо декілька прикладів.
Робота постійної сили. Нехай на тіло, що переміщується по довільній траєкорії від точки 1 до точки 2 (рис. 4.4) діє незмінна за величиною та напрямом сила \(\vec{F}=\mathrm{const} \).
У такому разі із загального виразу (1.3) випливає, що її робота дорівнює
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\vec{F}\int\limits_1^2\mathrm{d}\vec{s} \).
У цьому виразі останній інтеграл є сумою послідовності елементарних векторів \(\mathrm{d}\vec{s}\), розміщених вздовж траєкторії. За правилом додавання векторів ця сума являє собою вектор переміщення \(\vec{S}\) частинки від точки 1 до точки 2: \(\int\limits_1^2\mathrm{d}\vec{s}=\vec{S}\). Отже, робота
|
\( A=\vec{F}\cdot\vec{S}=FS\cos\alpha=FS_{F} \), |
(2.4) |
де SF – проекція вектора \(\vec{S}\) на напрям сили.
Очевидно, що вектор \(\vec{S}\) не залежить від форми траєкторії, що з’єднує точки 1 і 2. Таким чином,
робота сталої сили не залежить від траєкторії переміщення тіла й визначається тільки його початковим та кінцевим положенням.
Робота центральної сили. Центральною називається прикладена до тіла сила, напрям якої весь час проходить через одну й ту саму точку О ("силовий центр"), а величина залежить тільки від відстані до неї (рис. 4.5).
Для такої сили можна записати наступний загальний вираз:
|
\(\vec{F}=F_r(r)\vec{e}_r \), |
(2.5) |
де \(\vec{e}_r \) – орт (одиничний вектор), який указує напрям радіуса-вектора \(\vec{r}\) тіла відносно силового центра, \( F_r(r) \) – проекція сили на напрям \(\vec{r}\), \( r=|\vec{r}|\) – відстань від тіла до силового центра.
З урахуванням (2.11) і (2.2), для роботи центральної сили при переміщенні тіла по довільній траєкторії від точки 1 до точки 2 (рис. 4.6) маємо:
\( A=\int\limits_1^2\vec{F}\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2F_r (r)\vec{e}_r\mathrm{d}\vec{s}=\int\limits_1^2 F_r (r)\mathrm{d}s\cdot\cos\alpha \).
З рис. 4.6 видно, що величина ds·cosα дорівнює dr – зміні відстані від тіла до силового центра. Отже,
|
\( A=\int\limits_1^2 F_r (r)\mathrm{d}r \). |
(2.6) |
Прикметно, що в цьому виразі фігурує не радіус-вектор тіла \(\vec{r}\), який визначає його положення на траєкторії, а лише відстань r до силового центра. Це означає, що, як і у випадку сталої сили,
робота центральної сили не залежить від траєкторії руху тіла.
Сили, робота котрих не залежить від траєкторії руху тіла і визначається тільки його початковим та кінцевим положенням, називаються консервативними силами.
У результаті переміщення по замкненій траєкторії положення тіла в просторі не змінюється, отже,
робота консервативної сили на замкненій траєкторії дорівнює нулю.
Це твердження теж можна розглядати як означення поняття “консервативна сила”.
Конкретними прикладами крнсервативних сил є розглянуті в розділі ІІ сила гравітаційної взаємодії між космічними тілами (2.1) та сила тяжіння (2.2), що діє на тіла біля поверхні планет, а також пружна сила (2.3), що виникає при розтязі еластичного шнура із закріпленим кінцем. До цього переліку можна додати силу електричної взаємодії між зарядженими кульками та силу, шо діє на заряджену кульку між пластинами конденсатора, але вони традиційно в механіці не розглядаються.
Неконсервативні сили. Консервативними є не всі сили, тому решту називають неконсервативними силами. Розглянемо, до прикладу, роботу сили тертя \(\vec{F}\)т при переміщенні бруска маси m по горизонтальній поверхні з коефіцієнтом тертя μ під дією деякої сили \(\vec{F}\) (рис. 4.7).
Сила тертя в кожній точці траєкторії напрямлена протилежно до переміщення і в даному випадку має модуль Fт = μmg. Тож її робота на будь-якій ділянці траєкторії визначається пройденим шляхом s :
\( A=-\mu{mg}\int\limits_1^2\mathrm{d}s=-\mu{mgs}\),
зокрема, при русі по замкненій траєкторії – її довжиною. Тож сила тертя є очевидно є неконсервативною. Те саме стосується й сили \(\vec{F}\), яка забезпечує рух бруска, або, до прикладу, сили тиску повітря на вітрила яхти.
Серед усіх неконсервативних сил вирізняють так звані гіроскопічні та дисипативні сили. Гіроскопічними називають сили, що весь час спрямовані перпендикулярно до напрямку руху тіла, на яке діють. Через це
гіроскопічні сили взагалі не виконують роботи.
Такими, зокрема, є коріолісова сила інерції (див. Розділ І, п.3) і сила, що діє на рухомий заряд у магнітному полі (сила Лоренца).
До дисипативних сил відносяться різноманітні сили тертя та опору. Характерною властивістю таких сил є те, що вони завжди спрямовані протилежно до відносних швидкостей взаємодіючих тіл.
Сказане, одначе, не стосується руху тіл відносно заданої системи відліку. У такому разі дисипативні сили можуть не тільки гальмувати рух, а й забезпечувати його. До прикладу, якщо по дошці, що знаходиться на гладкій поверхні, тягти з тертям невеликий брусок (рис. 4.8), то буде рухатися й дошка.
При цьому сила тертя \(\vec{F}\)т2, що діє на дошку, забезпечує її рух і виконує додатню роботу. Але
повна робота дисипативних сил взаємодії між частинками будь-якої системи є завжди від’ємною.
Доведемо це. Нехай між двома частинками 1 і 2, що знаходяться в точках \(\vec{r}_1 \) і \(\vec{r}_2 \) заданої системи відліку і мають швидкості \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \), діють дисипативні сили \(\vec{F}_1 \) і \(\vec{F}_2=-\vec{F}_1 \) (третій закон Ньютона), рис. 4.9.
За елементарний проміжок часу dt частинки здійснюють переміщення \(\mathrm{d}\vec{r}_1=\vec{v}_1\mathrm{d}t \) і \(\mathrm{d}\vec{r}_2=\vec{v_2}\mathrm{d}t \) (на рисунку не показані), тож дисипативні сили виконують роботу
\(\delta{A}\)дис = \(\vec{F}_1\mathrm{d}\vec{r}_1+\vec{F}_2\mathrm{d}\vec{r}_2=\vec{F}_1\left(\vec{v}_1-\vec{v}_2\right)\mathrm{d}t=\vec{F}_1\vec{v}_{12}\mathrm{d}t \),
де, згідно із законом перетворення швидкостей (Розділ І, (1.33)), \(\vec{v}_{12}\) – швидкість руху першої частинки відносно другої (відносна швидкість). Оскільки сила \(\vec{F}_1 \) є дисипативною, вона напрямлена протилежно до вектора \(\vec{v}_{12}\), отже|
\(\delta{A}\)дис = \(-F_1v_{12}\mathrm{d}t=-F_1|\mathrm{d}\vec{r}_{12}|<0 \). |
(2.7) |
Якщо сила взаємодії є стала, то
|
\( A \)дис = \(-F_1 \Delta{|\vec{r}_{12}|} \). |
(2.7а) |
Таким чином, за будь-яких умов
сумарна робота дисипативних сил взаємодії між двома частинками є від’ємною і визначається не переміщенням кожної частинки окремо, а лише їхнім відносним переміщенням.
Робота сили тяжіння. Біля поверхні планети сила тяжіння спрямована вертикально вниз і є однорідною: \( m\vec{g}=\mathrm{const} \) (рис. 4.10).
Тому її робота при переміщенні частинки з точки 1 у точку 2 по будь-якій траєкторії, згідно з (2.4), визначається, як
|
\( A=mg\cdot s\cos\alpha=mg\left(z_1-z_2\right)\) \(\Rightarrow \) \( {A}=mg{{z}_{1}}-mg{{z}_{1}}\) |
(2.8) |
де z1 і z2 – початкова та кінцева вертикальна координата частинки.
Робота гравітаційної сили. Із закону всесвітнього тяжіння (Розділ ІІ, (2.8)) випливає, що сила \(\vec{F}\), яка діє на будь-яке тіло m (наприклад, комету) з боку іншого тіла М (приміром, Сонця), є центральною (рис. 4.11).
Проекція сили \(\vec{F}\) на напрям радіуса-вектора тіла \(\vec{r}\) дорівнює Fr = –GMm/r2, тому, згідно з (2.6), її робота при переміщенні тіла від точки 1 до точки 2 по довільній траєкторії дорівнює
|
\( A=\int\limits_1^2F_r(r)\mathrm{d}r=-GMm\int\limits_1^2\frac{\mathrm{d}r}{r_2}\) \( \Rightarrow \) \( {A}=-G\frac{Mm}{r_1}-\left(-G\frac{Mm}{r_2}\right) \). |
(2.9) |
Робота пружної сили. Робота пружної сили \(\vec{F}\) при переміщенні вільного кінця еластичного шнура (або пружини) по довільній траєкторії (рис. 4.12) визначається аналогічно.
Якщо позначити через l0 довжину недеформованого шнура і через Δl = l – l0 величину його деформації (розтягу), то вектор пружної сили, що діє на незакріплений кінець, згідно з (Розділ ІІ, (2.10)), можна записати як \(\vec{F}=-\vec{e}_r k\Delta{l}\), де k – жорсткість шнура, \(\vec{e}_r \) – орт (одиничний вектор), який вказує напрям радіуса-вектора вільного кінця шнура. В такому разі, згідно з (2.6), отримуємо:
|
\( A=\int\limits_1^2F_r(r)\mathrm{d}r=-k\int\limits_1^2\Delta{l}\cdot\mathrm{d}(\Delta{l}) \) \( \Rightarrow \) \( {A}=\frac{k\Delta{l_1^2}}{2}-\frac{l\Delta{l_2^2}}{2} \) |
(2.10) |
Тут враховано, що проекція сили Fr = –kΔl визначається величиною деформації Δl шнура, а зміна відстані r від вільного кінця шнура до точки О — зміною величини деформації: dr = d(Δl).
З отриманих виразів видно, що робота кожної з розглянутих сил дорівнює спадові[1] певної фізичної величини U, так що
|
\( A=U_1-U_2 \), |
(2.11) |
а для елементарних переміщень,
|
\(\delta{A}=-\mathrm{d}U \). |
(2.11а) |
Ця величира й називається потенціальною енергією. Іншими словами,
потенціальною енергією називається величина, спад якої при переміщенні частинки з однієї точки в іншу дорівнює роботі, що виконується консервативними силами, що діють на частинку при цьому переміщенні.
Порівнюючи вираз (2.11) із виразами (2.8) – (2.10), можна дійти висновку, що потенціальна енергія частинки, котра перебуває під дією сил тяжіння, гравітації, або пружності визначається, відповідно, такими формулами:
|
\( U=mgz \), |
(2.12) |
|
|
\( U=-G\frac{Mm}{r}\), |
(2.13) |
|
|
\( U=\frac{k\Delta{l^2}}{2}\). |
(2.14) |
Ці формули й справді є загальновживаними. Але слід зазначити, що жодне зі співвідношень (2.8) – (2.11а) не зміниться, якщо у формулах (2.12) – (2.14) до величини U додати будь-яке число. Це означає, що однозначно визначеною є не сама потенціальна енергія U, а лишень її зміна ΔU при переміщенні частинки між якимось двома точками. Що ж до величини U, то її можна вказати тільки по відношенню до заздалегідь обраного нульового рівня, тобто — точки (або множини точок), де потенціальна енергія приймається рівною нулю. Це добре видно з формули (2.12), в якій величина z (вертикальна координата) безпосередньо залежить від вибору початку відліку. Так само формула (2.13) визначає гравітаційну потенціальну енергію не “взагалі”, а по відношенню до нескінченно віддаленої точки (адже U = 0 при r → ∞), а формула (2.14) показує, що пружна потенціальна енергія приймається рівною нулю, коли Δl = 0, тобто, за відсутності деформаціїй.
Такий вибір нульових рівнів є природнім, але не обов’язковим. До прикладу, легко показати, що формули (2.12) і (2.13), виражають одну й ту саму енергію, але по відношенню до різних нульових рівнів. Справді, роботу гравітаційної сили при переміщенні тіла біля поверхні Землі можна обчислювати за загальною формулою (2.9):
\( A=-G\frac{mM}{r_1}-\left(-G\frac{mM}{r_2}\right)=GmM\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)=\frac{GmM(r_1-r_2)}{r_1 r_2}\),
де m і M – відповідно, маса тіла та Землі, r1 і r2 – відстань від тіла до центра Землі в його початковому та кінцевому положенні. Але, якщо записати r = R + z (R – радіус Землі, z – вертикальна координата тіла, відрахована від земної поверхні), і врахувати, що біля поверхні з великою точністю r1·r2 = R2, отримаємо:\( A=\frac{GmM}{R^2}\cdot(z_1-z_2)=mgz_1-mgz_2 \)
де враховані формули (3.9) і (3.10).
Цей результат збігається з виразом (2.8) і випливає з (2.9) як наслідок зміни вибору нульового рівня потенціальної енергії. Так само при розгляді коливань тягарця, що підвішений на пружині, за нульовий рівень потенціальної енергії пружини зручніше прийняти положення статичної рівноваги тягарця, коли пружина вже має деформацію, спричинену його вагою.
Особливість потенціальної енергії полягає також у тому, що вона, на відміну від кінетичної, є величиною алгебраїчною, тобто може бути як додатньою, так і від’ємною, залежно від характеру діючих сил і вибору нульового рівня.
Поняття про силове поле. Коли ми говоримо, що тіло має певну потенціальну енергію, то це не зовсім точно. Наявність у тіла потенціальної енергії спричинюється дією на нього консервативної сили з боку якогось іншого тіла (чи тіл). Але за третім заоном Ньютона дане тіло діє на друге з такою самою силою і “надає” йому такої самої потенціальної енергії. Тому обидва тіла є рівноправними партнерами по взаємодії, і слід говорити не про потенціальну енергію даного тіла, а про енергію взаємодії даної пари тіл. Це яскраво демонструє формула (2.13), що сама по собі не дозволяє сказати, якому з тіл "належить" гравітаційна енергія U.
Але часто характеристики взаємодіючих тіл дуже сильно відрізняються, як, до прикладу, у випадку каменя й Землі. Тоді дія одного тіла ніяк не впливає на стан іншого (Землі), і останнє розглядають не як партнера по взаємодії, а як джерело силового поля, в якому перебуває перше. Відповідно, говорять не про потенціальну енергію взаємодії каменя й Землі, а про потенціальну енергію каменя в гравітаційному полі Землі, в кожній точці якого на тіло діє визначена сила тяжіння. Так само говорять про “поле сил пружності” деформованого (реально чи віртуально) еластичного шнура чи пружини із закріпленим одним кінцем, тощо.
Отже, узагальнюючи, можна сказати, що, якщо в кожній точці заданої області простору на тіло діє визначена сила, то в цій області існує силове поле. При цьому поля можуть утворюватися різними силами, але тільки для консервтивних сил їх можна характеризувати не тільки силою, а й потенціальною енергією. Тому
поля консервативних сил називаються потенціальними полями.
Потенціальна енергія системи. Серед консервативних сил, які діють на частинки системи, можуть бути як зовнішні (сили зовнішніх потенціальних полів), так і внутрішні (сили взаємодії частинок між собою). Тому потенціальну енергію системи U поділяють на зовнішню Uз (енергію в зовнішньому полі) і внутрішню або власну Uв , так що повна потенціальна енергія системи
|
U = Uз + Uв. |
(2.15) |
Зовнішня потенціальна енергія визначається співвідношенням (2.11) через сумарну роботу всіх зовнішніх консервативних сил :
|
\( {A}=\sum{{{A}_{i}}}=\sum{{{U}_{1}}_{i}}-\sum{{{U}_{2}}_{i}}\quad \Rightarrow \quad {{U}_{3}}=\sum{{{U}_{i}}}\) |
У цьому виразі Ui – потенціальні енергії окремих частинок системи в зовнішньому полі. Отже, зовнішня потенціальна енергія системи є адитивною величиною. Але цього не можна сказати про власну, відтак і повну потенціальну енергію системи. Справді, нехай дві системи із власними потенціальними енергіями Uв1 і Uв2 об’єднуються в одну, як схематично показано на рис. 4.13:
Uв = Uв1 + Uв2 + U12,
де U12 – енергія взаємодії між частинами об’єднаної системи, рівна роботі, що була виконана силами взаємодії в процесі об’єднання.
Оскільки роботу консервативної сили можна знайти як безпосередньо через силу, так і через потенціальну енергію, між цими величинами існує прямий зв’язок. Розглянемо роботу ΔA довільної консервативної сили \(\vec{F}\) на невеликому переміщенні \(\Delta{\vec{S}}\) (рис. 4.14).
Наближено вона визначається як \( A\approx\vec{F}\cdot\Delta{\vec{S}}=F\cdot\Delta{S}\cos\alpha=F_S\Delta{S}\)[2], звідки \( F_s\approx\frac{\Delta{A}}{\Delta{S}}\). Але, відповідно до співвідношення (2.17), \( A=-\Delta{U}\), тож \( F_s\approx-\frac{\Delta{U}}{\Delta{S}}\). Точний вираз отримаємо у границі ΔS → 0:
| \({{F}_{S}}=-\lim \frac{\Delta U}{\Delta S}\) |
(2.16) |
Така границя в математиці позначається як \(\frac{\partial{U}}{\partial{S}}\) і називається похідною функції U за напрямом S. Вона показує швидкість зміни величини U при переміщенні в заданому напрямку S. Отже, враховуючи цю символіку, можемо записати:
|
\( F_s=-\frac{\partial{U}}{\partial{S}}\) |
(2.17) |
тобто,
проекція консервативної сили на будь-який напрям дорівнює взятій з протилежним знаком похідній потенціальної енергії в цьому напрямі.
Знак “–” у виразі (2.17) означає, що сила спрямована в бік зменшення потенціальної енергії і є тим більшою, чим швидше зменшується потенціальна енергія в цьому напрямі.
Загальний вираз (2.17) дозволяє визначити й проекції сили на координатні осі[3]:
\({{F}_{x}}=-\frac{\partial U}{\partial x},\quad {{F}_{y}}=-\frac{\partial U}{\partial y},\quad {{F}_{z}}=-\frac{\partial U}{\partial z},\)
а відтак і вектор сили, як
|
\(\vec{F}=-\left(\vec{i}\frac{\partial{U}}{\partial{x}}+\vec{j}\frac{\partial{U}}{\partial{y}}+\vec{k}\frac{\partial{U}}{\partial{z}}\right) \). |
(2.18) |
Потреба в подібних операціях в математиці та фізиці виникає доволі часто, тому вираз у дужках (2.18) має свою назву й позначення. Він називається градієнтом потенціальної енергії[4] і позначається символом gradU:
|
\(\mathrm{grad}U=\left(\vec{i}\frac{\partial{U}}{\partial{x}}+\vec{j}\frac{\partial{U}}{\partial{y}}+\vec{k}\frac{\partial{U}}{\partial{z}}\right) \). |
(2.19) |
Таким чином, зв’язок між силою, та потенціальною енергією записується у вигляді:
|
\(\vec{F}=-\mathrm{grad}U \), |
(2.20) |
тобто,
консервативна сила, що діє на частинку, дорівнює взятому з протилежним знаком градієнту потенціальної енергії цієї частинки.
У математиці доводиться, що вектор градієнта даної функції напрямлений у бік її найшвидшого зростання й по модулю дорівнює цій швидкості. Тому
будь-яка консервативна сила спрямована в бік найшвидшого зменшення потенціальної енергії.
Зокрема із цієї причини, вода під дією сили тяжіння стікає по лінії найбільшої крутизни схилу.
1. Що визначають кінетична та потенціальна енергія тіла?
2. Який загальний зв’язок існує між роботою сил і кінетичною енергією?
3. Коли брусок рівномірно тягнуть за нитку по столу, то виконують певну роботу. Чому ж не змінюється кінетична енергія бруска?
4. Як розрізняють сили за критерієм роботи?
5. Які сили називаються консервативними? Наведіть приклади.
6. Чому дорівнює робота консервативної сили на замкненому шляху? Доведіть це шляхом аналізу їхньої роботи на різних ділянках траєкторії.
7. Дайте означення поняття “потенціальна енергія” та перелічіть її загальні властивості.
8. Які сили називаються дисипативними? Чим вони відрізняються від інших сил?
9. Що таке “гіроскопічні сили”? Наведіть приклали.
10. Потенціальна енергія mgh є результатом взаємодії тіла із Землею. Чому ж цю величину називають енергією тіла, а не енергією системи тіло – Земля, як, здавалося б, мало бути?
11. Протяжне тверде тіло складається з безлічі жорстко зв’вязані малих часточок. Чому тоді в механіці не враховується взаємодія між ними?
[1] Спадом називають різницю між початковим і кінцевим значенням змінної величини; спад дорівнює взятому з протилежним знаком приростові (зміні) величини. Слід також зазначити, що терміни “приріст” і “спад” не слід трактувати дослівно, як “збільшення” і “зменшення”, адже кожна з цих величин, залежно від умов, може виявитись як додатньою, так і від’ємною
[2] Його неточність зумовлена тим, що в різних точках навіть невеликого переміщення сила може мати відмінні значення.
[3] При цьому елементарні переміщення вздовж координатних осей є нескінченно малими приростами (диференціалами) координат – аргументів функції потенціальної енергії U = U(x, y, z). Тому похідна по кожному з напрямків x, y, z визначається за звичайними правилами диференціювання, але дві інші координати при цьому розглядаються як константи.
[4] Зрозуміло, що поняття градієнта відноситься й до інших величин, які є функціями координат.
3. Механічна енергія і робота
|
E = K + U. |
(3.1) |
Ця величина є однією з головних характеристик стану та процесів у механічній системі. Далі розглядаються такі питання:
3.1. Механічна енергія незамкненої системи
3.2. Механічна енергія замкненої системи
3.1. Механічна енергія незамкненої системи
Механічна енергія окремого тіла. У загальному випадку на окреме тіло можуть діяти консервативні сили, коли воно перебуває в потенціальному силовому полі, та якісь інші сили, котрі будемо називати сторонніми силами.
За теоремою про кінетичну енергію (2.2а), сума робіт цих сил дорівнює зміні кінетичної енергії тіла:
Aк + Aст = ΔK
де Aк і Aст – робота рівнодійної консервативних та рівнодійної сторонніх сил, відповідно. Але, робота консервативних сил дорівнює спадові потенціальної енергії, тож–ΔU + Аст = ΔК \(\Rightarrow \) ΔК + ΔU = Аст \(\Rightarrow \)
Δ(К + U) = Аст
Позаяк K + U = E, то
|
|
ΔЕ = Е2 – Е1 = Аст . |
(3.2) |
Отже,
зміна повної механічної енергії тіла дорівнює роботі всіх сторонніх сил, які діють на нього.
Для елементарного переміщення
|
dE = δAст . |
(3.2а) |
За відсутності сторонніх сил δAст = 0, тож dE = 0 і E = const. Таким чином,
якщо на тіло діють тільки консервативні сили, то його повна механічна енергія зберігається[8], тобто, не змінюється під час руху.
Механічна енергія незамкненої системи. Розглянемо тепер роботу всіх сил А у довільній системі, де на тіла діють внутрішні консервативні (вк), внутрішні неконсервативні (внк), зовнішні консервативні (зк) і зовнішні неконсервативні (знк) сили, отже
A = Aвк + Aвнк + Aзк + Aзнк .
Всі зовнішні неконсервативні сили, як і раніше, будемо називати сторонніми силами. А щодо внутрішніх неконсервативних зауважимо, що в реальних системах – це завжди тільки дисипативні та гіроскопічні сили, котрі роботи не виконують (див. п. 6.3). Отже, Aвнк = Aдис , і повну роботу А можна подати, як
A = Aк + Aдис + Aст ,
де Ак = Aвк + Aзк – робота всіх консервативних сил, Адис – робота внутрішніх дисипативних сил, і Аст – робота сторонніх сил.Як уже згадувалося, робота всіх сил у системі дорівнює приросту її кінетичної енергії, а робота консервативних сил – спадові потенціальної енергії системи, отже
ΔK = –ΔU + Aдис + Аст \(\Rightarrow \) ΔK + ΔU = Aдис + Аст \(\Rightarrow \)
Δ(K + U) = Aдис + Аст.
Урахувавши, що K + U = E – повна механічна енергія системи, маємо:
|
ΔE = E2 – E1 = Aдис + Аст, |
(3.3) |
а при елементарній зміні стану системи
|
dE = δAдис + δАст. |
(3.3а) |
Таким чином,
зміна повної механічної енергії довільної системи дорівнює сумарній роботі всіх внутрішніх дисипативних сил і всіх сторонніх сил.
Це найбільш загальне, тож і важливе, співвідношення між механічною енергією та роботою сил, яке по суті є законом зміни механічної енергії. Але варто звернути увагу на те, що
за відповідних умов механічна енергія незамкненої системи може й зберігатися.
Так буде, якщо сумарна робота дисипативних і сторонніх сил дорівнює нулю, тож ΔE = 0, і Е = const.
3.2. Механічна енергія замкненої системи
В замкненій (ізольованій) системі зовнішні сили відсутні, тож δAст = 0. Тому
|
dE = δAдис , ΔE = E2 – E1 = Aдис. |
(3.4) (3.4а) |
Отже, на загал
механічна енергія замкненої системи не зберігається,
її зміна дорівнює роботі дисипативних сил взаємодії між частинками системи. При цьому позаяк повна робота внутрішніх дисипативних сил є завжди від’ємна (див. п. 2.2), механічна енергія замкненої системи під час руху тіл невпинно зменшується. Але, якщо дисипативні сили відсутні (δAдис = 0), то dE = 0 і E = const. У цьому полягає закон збереження механічної енергії :
за відсутності дисипативних сил повна механічна енергія замкненої системи зберігається, тобто, не змінюється з часом.
Згадаємо, що натомість у незамкненій системі механічна енергія може зберігатися.
Тому треба чітко усвідомити, що, на відміну від імпульсу,
умовою збереження механічної енергії є не замкненість (ізольованість) системи, а характер діючих в ній сил і величина виконуваної ними роботи.
Перетворення механічної енергії та робота. Як відмічалося, за наявності внутрішніх дисипативних сил механічна енергія замкненої системи поступово зменшується. Але дослід свідчить, що вона не зникає безслідно, а перетворюється на інші види, найчастіше на тепло[1] — кожному добре відоме нагрівання рухомих тіл унаслідок тертя, що є одним із проявів загальнофізичного закону збереження енергії:
енергія не виникає з нічого й не зникає безслідно, вона тільки переходить з одних форм в інші та від одних тіл до інших у рівних (еквівалентних) кількостях.
Інакше говорячи,
сума всіх видів енергії у будь-якій замкненій фізичній системі зберігається, тобто не змінюється з часом.
Розглянутий аналіз висвітлює роль роботи дисипативних сил у процесах перетворення механічної енергії:
робота дисипативних сил є мірою перетворення механічної енергії на інші, не механічні види.
Якщо в замкненій системі діють тільки консервативні сили, то механічна енергія не змінюється, тобто не переходить у інші види[2]. Але за рахунок роботи консервативних сил відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну і навпаки. Отже,
робота консервативних сил є мірою перетворення одного виду механічної енергії на інший без зміни її загальної величини.
При цьому, коли консервативні сили виконують додатню роботу, потенціальна енергія, переходить у кінетичну, а коли – від’ємну, то кінетична енергія переходить у потенціальну. Добре відомою ілюстрацією цього є рух тіла під дією сили тяжіння.
1. За якої умови механічна енергія тіла не змінюється під час руху?
2. Які сили називаються сторонніми, дисипативними та гіроскопічними? Що між ними є спільного та відмінного?
3. Чи може зберігатися механічна енергія незамкненої системи? Якщо ні, то чому? Якщо так, то коли?
4. Чи може змінюватися механічна енергія замкненої системи? Якщо ні, то чому? Якщо так, то коли?
5. Консервативними називаються сили, робота котрих не заледить від траєкторії переміщення тіла між заданими точками. Як можна дати означення таких сил через енергію?
6. Що відбувається з механічною енергією внаслідок дії на тіло:
– консервативних сил;
– неконсервативних сил;
– дисипативних сил?
7. Сформулюйте та проілюструйте прикладами загальний закон збереження енергії.
[1] Отримана теплова енергія далі передається довкіллю, тобто, відбувається розпорошування, інакше – “дисипація” енергії. Цим пояснюється термін “дисипативні сили”.
[2] Інакше говорячи, енергія є законсервованою. Звідси походить термін “консервативні сили”.
4. Зіткнення
Закон збереження механічної енергії має не тільки теоретичне, а й велике практичне значення. Разом із законом збереження імпульсу він дозволяє досліджувати складні процеси, в яких неможливо застосувати закони динаміки. Прикладом таких процесів є зіткнення. Процеси зіткнення частинок доводиться розглядати в різних розділах фізики – механіці, молекулярній фізиці, теорії електричного струму, фізиці атомного ядра та елементарних частинок, тощо. Далі розглядається:
4.1. Імпульс і кінетична енергія в системі відліку центра мас
4.1. Імпульс і кінетична енергія в системі відліку центра мас
Раніше (Розділ ІІІ, п. 2) відмічалося, що процеси зіткнень зручно розглядати в системі відліку центра мас (Ц-системі). Тому спочатку з’ясуємо, як визначаються імпульс та кінетична енергія частинок у Ц-системі відліку.
Нехай частинки масами m1 і m2, рухаються в певній К-системі відліку зі швидкостями \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \). Згідно з формулами перетворення швидкостей (розділ І, формула (1.33)), швидкості частинок відносно їхнього центра мас (в Ц-системі відліку ) дорівнюють[1]:
|
\(\tilde{\vec{v}}_1=\vec{v}_1-\vec{V}\), \( \tilde{\vec{v}}_2=\vec{v}_1-\vec{V}\), |
(4.1) |
де \(\vec{V}\) – швидкість центра мас частинок в К-системі відліку. Відповідно, їхні імпульси в Ц-системівідліку
\(\tilde{\vec{p}}_1=m_1(\vec{v}_1-\vec{V})\) і \(\tilde{\vec{p}}_2=m_1(\vec{v}_2-\vec{V}) \).
Підставивши сюди вираз \(\vec{V}\) (розділ ІІІ, формула (2.3)), після нескладних перетворень одержимо
|
\(\tilde{\vec{p}}_1=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(\vec{v}_1-\vec{v}_2) \), \( \tilde{\vec{p}}_2=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}(\vec{v}_2-\vec{v}_1) \). |
(4.2) |
Величина
|
\(\mu=\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)^{-1}=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\) |
(4.3) |
називається зведеною масою двох частинок, тому
|
\(\tilde{\vec{p}}_1=\mu(\vec{v}_1-\vec{v}_2) \), \( \tilde{\vec{p}}_2=\mu (\vec{v}_2-\vec{v}_1) \) |
(4.4) |
Величина
|
\( v_r = |\vec{v}_1-\vec{v}_2| \) |
(4.5) |
– то є відносна швидкість частинок. Отже, імпульси частинок у Ц-системі відліку є протилежні за напрямом і мають однаковий модуль
|
\( p=\mu v_r \). |
(4.6) |
Відносною швидкістю та зведеною масою визначається й кінетична енергія двох частинок у Ц-системі відліку:
|
\(\tilde{K}=\tilde{K}_1+\tilde{K}_2=\frac{\tilde{p}_1^2}{2m_1}+\frac{\tilde{p}_2^2}{2m_2}=\frac{\tilde{p}^2}{2\mu}=\frac{\mu v_r^2}{2}\). |
(4.7) |
Тут і далі будемо вважати, що на частинки не діють зовнішні сили (або вони є компенсованими), тому їхній сумарний імпульс зберігається (див. п. 5.2).
Спочатку розглянемо абсолютно непружне зіткнення двох частинок, при якому вони далі рухаються, як одне ціле. Розглянемо таке зіткнення двох частинок із масами m1 і m2, швидкостями \(\vec{v}_1 \) і \(\vec{v}_2 \) та сумарним іспульсом \(\vec{P}\) = \({{m}_{1}}{{\vec{v}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\vec{v}}_{2}}\) в заданій К-системі відліку. Відносно центра мас частинки мають протилежно спрямовані імпульси однакової величини й після зткнення зупиняються. А в К-системі відліку вони починають рухатись із швидкістю центра мас. Отже, швидкість частинок після абсолютно непружного зіткнення дорівнює:
|
\(\vec{v}=\frac{m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2}{m_1+m_2}\). |
(4.8) |
Абсолютно непружне зіткнення супроводжується втратами кінетичної енергії, частина якої переходить у внутрішню (теплову) енергію тіл. Кількість теплоти, що віділяється легко знайти, позаяк у Ц-системі відліку тіла внаслідок непружного зіткнення зупиняються, отже втрачають усю кінетичну енергію. Тому кількість теплоти, що виділяється при абсолютно непружному зіткненні, дорівнює початковій кінетичній енергії частинок у Ц-системі відліку:
|
\( Q=\tilde{K}=\frac{\mu v_r^2}{2}\). |
(4.9) |
У К-системі відліку ця величина складає лише частину кінетичної енергії тіл і, відповідно до (4.7), визначається виразом
|
\( Q=K_1-K_2=\frac{m_1 m_2}{2(m_1+m_2)}(v_1-v_2)^2 \). |
(4.10) |
При цьому не втрачена частина кінетичної енергії – то є енергія руху системи частинок як цілого.
Існують два різновиди абсолютно пружного зіткнення: центральне (лобове, пряме) та нецентральне (нелобове, косе). При лобовому зіткненні швидкості частинок як до, так і після зіткнення напрямлені вздовж прямої, що з’єднує частинки. При нелобовому зіткненні частинки розлітаються в різних напрямах.
Розглянемо лобове абсолютно пружне зіткнення двох частинок. В Ц-системі відліку вони завжди мають однакові за величиною і протилежні за напрямом імпульси (див. формули (4.4 – (4.6)), тому при центральному пружному зіткненні напрям імпульсу кожної частинки змінюється на протилежний. А оскільки при цьому кінетична енергія системи зберігається, то модулі імпульсу та швидкості частинок лишаються незмінними. Отже,
\(\vec{\tilde{v'}}_i=-\vec{\tilde{v}}_i \), де i = 1, 2.
Урахувавши це й, скориставшись формулами (4.29), знайдемо швидкості частинок після зіткнення в К-системі відліку:
\(\vec{v'}_i=\vec{\tilde{v'}}_i+\vec{V}=\vec{V}-\vec{\tilde{v}}_i=\vec{V}-\left(\vec{v}_i-\vec{V}\right)=2\vec{V}-\vec{v}_i \),
де \(\vec{V}\) – швидкість центра мас частинок, яка визначається формулою (2.3), розділ ІІІ. Отже,
\( \vec{v}_{i}^{\prime}=2\cdot\frac{\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}}{\sum_{i}m_{i}}-\vec{v}_{i}\) = \( \frac{2\sum_{i}m_{i}\vec{v}_{i}-\vec{v}_{i}\sum_{i}m_{i}}{\sum_{i}m_{i}}\).
Підставивши значення індексів, одержимо вираз швидкості для кожної частинки:
|
\(\vec{v}_1^{\prime}=\frac{(m_1-m_2)\vec{v}_2+2m_1\vec{v}_1}{m_1+m_2}\) \( \vec{v'}_2=\frac{(m_2-m_1)\vec{v}_2+2m_1\vec{v}_1}{m_1+m_2}\). |
(4.11) |
Для зіткнення частинок однакової маси ці формули дають \( \vec{v}_1^{\prime}=\vec{v}_2 \) і \(\vec{v}_2^{\prime}=\vec{v}_1 \) , тобто, частинки обмінюються швидкостями. Зокрема, якщо друга частинка перед зіткненням перебувала у спокої, то після зіткнення вона почне рухатись із швидкістю першої, а перша зупиниться. У загальному ж випадку для обчислень формули (4.15) треба записати в проекціях на осі вибраної системи координат.
[1] Величини, що визначені в Ц-системі відліку, будемо помічати позначкою ~ (тильда) над символом величини.
V. ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА
У фізичній механіці тверде тіло розглядається як система жорстко зв'язаних частинок (матеріальних точок), кожна з яких рухаються разом із центром мас тіла і в той же час обертається навколо нього. Відповідно, в кінематиці рух описують як лінійними, так і кутовими величинами. В динасіці твердого тіла теж, окрім “звичайних” характеристик (сила, маса, імпульс), використовують систему кутових динамічних величин, які називаються "моментами". А саме, стан руху характеризують моментом імпульсу, силову дію – моментом сили, а інертність – момент інерції.
Зміст і зв’язки між цими величинами розглядаються далі в наступних питаннях:
1. Момент імпульсу
Імпульс частинки \(\vec{p}=m\vec{v}\) не містить інформації про просторову орієнтацію її траєкторії, що може бути важливим при розгляді руху сукупності тіл, до прикладу, планет у Сонячній системі. Недостатність імпульсу як міри руху виявляється й при розгляді обертання твердого тіла, бо, приміром, якщо вісь проходить через центр мас, імпульс тіла дорівнює нулю, хоча воно перебуває в русі. Тому, крім імпульсу, для характеристики руху в динаміці використовують величину, що називається моментом імпульсу.
1.2. Загальні рівняння динаміки системи
1.3. Закон збереження моменту імпульсу
Момент імпульсу. Нехай рухома частинка маси m має швидкість \(\vec{v}\) та імпульс \(\vec{p}=m\vec{v}\), а її положення відносно обраного початку відліку О визначається радіусом-вектором \(\vec{r}\) (рис. 5.1).
Тоді за означенням
моментом імпульсу частинки відносно даної точки О називається векторний добуток векторів \(\vec{r}\) і \(\vec{p}\):
|
\(\vec{L}=\left[\vec{r}\vec{p}\right] \). |
(1.1) |
|
Числове значення (модуль) моменту імпульсу напрям дорівнює:
|
\( L=rp\sin\alpha=pd \), |
(1.2) |
де α – кут між напрямами векторів \(\vec{r}\) і \(\vec{p}\), а \( d=r\sin\alpha \) – відстань від точки О до лінії вектора \(\vec{p}\), яка називається плечем вектора \(\vec{p}\). Напрям вектора \(\vec{L}\) визначається правилом правого гвинта[1], а сам вектор прийнято розміщувати початком в точці О.
Вектор \(\vec{L}\) є перпендикулярний до площини векторів \(\vec{r}\) і \(\vec{p}\), тобто, до площини, в якій відбувається рух частинки. Тому при русі частинки по плоскій траєкторії
напрям вектора моменту імпульсу частинки визначає орієнтацію площини її траєкторії в просторі.
Рівняння моментів для частинки. Зрозуміло, що сили, які діють на частинку (матеріальну точку), змінюють не лише її імпульс, а й момент імпульсу. Аби з’ясувати, як саме, знайдемо похідну по часу від вектора моменту імпульсу[2] \(\vec{L}\):
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\left[\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t},\vec{p}\right]+\left[\vec{r},\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\right] \). |
Похідна \(\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}t=\vec{v}\) – це швидкість частинки. Тому, позаяк вектори \(\vec{v}\) і \(\vec{p}=m\vec{v}\) є збіжними за напрямом, перший доданок дорівнює нулю. У друому доданку \(\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\) – сила, що діє на частинку, тож
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\left[\vec{r},\vec{F}\right] \). |
Звідси видно, що зміна моменту імпульсу частинки в часі визначається не безпосередньо силою, що діє на неї, а величиною
|
\(\vec{M}=\left[ \vec{r},\vec{F} \right]\), |
(1.3) |
яка називається моментом сили \(\vec{F}\) відносно заданої точки \(\vec{r}\) (початку відліку) і вимірюється в ньютон-метрах (\(\text{Н}\cdot \text{м}\)).
Таким чином,
швидкість зміни моменту імпульсу частинки дорівнює моментові сили, що діє на неї:
|
\(\frac{d\vec{L}}{dt}=\vec{M}\) |
(1.4) |
З рівняння (1.4) випливає також, що
|
\(\mathrm{d}\vec{L}=\vec{M}\mathrm{d}t\), |
де величина в правій частині називається імпульсом моменту сили за проміжок часу dt.
Отже,
зміна моменту імпульсу частинки дорівнює імпульсові моменту сил, що діють на неї.
Зміна моменту імпульсу частинки за скінченний проміжок часу \(\left[t_1,\,\,t_2\right] \) визначається інтегруванням елементарних змін \(\mathrm{d}\vec{L}\):
|
\(\Delta\vec{L}=\vec{L}_2-\vec{L}_1=\int\limits_{t_1}^{t_2}\vec{M}(t)\mathrm{d}t \). |
(1.5) |
Рівняння (1.4), і (1.5) називаються рівняннями моментів. Як за змістом, так і за формою вони є аналогами відповідних рівнянь другого закону Ньютона (див. Розділ ІІ, п.1), причому роль імпульсу відіграє момент імпульсу, а роль сили – момент сили. Зауважимо, що
рівняння моментів можна використовувати і в неінерціальних системах відліку, якщо крім моментів сил взаємодії враховувати й моменти сил інерції.
Момент сили. Момент сили через рівняння (1.4) визначає момент імпульсу частинки в кожен момент часу. Тож варто перелічити основні властивості вектора \(\vec{M}\), що випливають із означення (1.3):
– напрям вектора моменту сили визначається правилом правого гвинта (див. рис. 5.2), а модуль дорівнює
|
\( M=rF\sin\alpha=l F \), |
(1.6) |
де відстань l = rsinα від лінії дії до початку відліку О називається плечем сили \(\vec{F}\).
– Момент центральної сили відносно силового центра дорівнює нулю.
– Момент сили не змінюється при перенесенні вектора сили уздовж його лінії[3] (рис. 5.3а).
|
\(\vec{M}=\vec{M}_1+\vec{M}_2=\left[\vec{r}_1,\vec{F}_1\right]+\left[\vec{r}_2,\vec{F}_2\right]=\left[\left(\vec{r}_1-\vec{r}_2\right),\vec{F}_1\right]=\left[\vec{r}_{12},\vec{F}_1\right]=0 \). |
(1.7) |
1. 2. Загальні рівняння динаміки системи
Рівняння моментів для системи. Момент імпульсу, як і імпульс, є адитивною величиною і для системи частинок дорівнює:
|
\(\vec{L}=\sum\vec{L}_{i}\). |
(1.8) |
Рух кожної частинки визначається всіми силами, що діють на неї. Тож, згідно з (1.4), для системи
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\sum\frac{\mathrm{d}\vec{L}_{i}}{\mathrm{d}t}=\sum\vec{M}_{i}\), |
де \(\vec{L}_i \) – моменти імпульсів окремих частинок відносно заданої точки і \(\vec{M}_i \) – моменти (відносно тієї самої точки) всіх сил, які діють на окрему частинку. При цьому повний момент сил можна подати, як суму моментів внутрішніх та зовнішніх сил:
\(\sum\vec{M}_{i}=\sum\vec{M}_{i}\)вн + \(\sum\vec{M}_{i}\)зовн.
Оскільки в будь-якій системі повний момент внутрішніх сил є сумою моментів сил взаємодії між кожною парою частинок, то, згідно з (1.7), перший доданок у цьому виразі дорівнює нулю. Відтак маємо наступне рівняння моментів для системи матеріальних точок:
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M}\)зовн |
(1.9) |
де
\(\vec{M}\)зовн = \(\sum\vec{M}_{i}\)зовн.
Таким чином,
швидкість зміни моменту імпульсу довільної системи відносно даної точки дорівнює повному (сумарному) моменту зовнішніх сил, що діють на тіла системи, відносно тієї самої точки.
Відповідно,
зміна моменту імпульсу системи за заданий проміжок часу визначається імпульсом моменту зовнішніх сил за цей проміжок:
|
\( \mathrm{d}\vec{L}=\vec{M}\)зовн\( {\mathrm{d}t}\) |
(1.9а) |
|
|
\(\Delta \vec{L}={{\vec{L}}_{2}}-{{\vec{L}}_{1}}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\vec{M}{{\left( t \right)}_{}}dt}\) |
(1.9б) |
Загальні рівняння динаміки системи. Рівняння моментів, записане відносно початку системи відліку, є одним із основних рівнянь динаміки, так що загальну інформацію про рух довільної системи можна отримати або за законом зміни імпульсу (розділ ІІІ, рівняння (1.1)), або за допомогою рівняння моментів (1.9). Але часто застосовують обидва способи разом[1], використовуючи рівняння руху центра мас системи (розділ ІІІ, рівняння (2.5а)) та рівняння моментів (1.9) відносно центра мас:
|
\( m\vec{a}_c=\vec{F}\), |
||
|
\(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M} \), |
1.3. Закон збереження моменту імпульсу
У розділі ІІІ (п.1) говорилося, що в замкнених системах виконується закон збереження імпульсу. Це саме стосується і моменту імпульсу. Справді, якщо система замкнена, то в ній всі \(\vec{F_i}\)зовн = 0, отже й \(\vec{M}_{i}\)зовн = 0. Тоді з рівняння моментів (1.9) маємо:
|
\(\frac{d\vec{L}}{dt}=0\quad \Rightarrow \quad \vec{L}=\sum{{{L}_{i}}=\const}\), |
(1.10) |
тобто, закон збереження моменту імпульсу:
момент імпульсу замкненої системи зберігається, тобто, не змінюється з часом.
При цьому моменти імпульсу окремих частинок, звичайно, можуть змінюватися внаслідок взаємодії з іншими частинками системи. Але ці зміни мають характер обміну, так що повний момент імпульсу системи лишається незмінним. Наочне уявлення про прояв закону збереження моменту імпульсу можна одержати, подивившись відеофільм.
Слід зазначити, що момент імпульсу може зберігатись і в незамкненій системі (\(\vec{F}_i \)повн ≠ 0) за умови, що зовнішні сили або не створюють моментів (\(\vec{M}_i \)зовн = 0), або сума цих моментів дорівнює нулю[4]. Прикладом може слугувати збереження моменту імпульсу планет сонячної системи, позаяк зовнішні сили, що діють на них з боку Сонця, є центральними і не створюють моментів. Оскільки лінії дії сил всесвітнього тяжіння проходять через центри мас планет, вони не створюють обертальної дії і не змінюють моментів імпульсу космічних тіл відносно їхніх центрів мас. Одним із наслідків цього є незмінність просторової орієнтації площин орбіт планет та орієнтації осей їхнього добового обертання [5].
Наостанок зауважимо, що за логікою наведеного розгляду закон збереження моменту імпульсу випливає з рівняння моментів (1.8), тобто постає як наслідок основних законів динаміки. Але насправді закон збереження моменту імпульсу, як і закон збереження імпульсу (розділ IІІ, п. 1), є фундаментальним фізичним законом. Зокрема, він виконується і в немеханічних системах, таких як електромагнітне випромінювання, атоми, ядра, тощо.
1. Що називається моментом імпульсу частинки та системи частинок відносно точки?
2. Частинка маси m, що лежить на осі ОZ у точці \({z=l}\), починає рухатися паралельно до осі ОХ із заданим сталим прискоренням \(\vec{a}=a\vec{i}\). Записати вираз вектора моменту імпульсу \(\vec{L}\) частинки відносно початку координат і модуля L цього вектора як функції часу.
3. Відомо, що сума імпульсів усіх частинок системи відносно центра мас дорівнює нулю. Чи стосується це й моменту імпульсу?
4. Що називається моментом сили відносно точки? Від чого залежить модуль цього вектора?
5. Дві антипаралельні сили однакової величини називаються парою сил. Довести, що момент пари сил не залежить від положення точки, відносно якої він визначається. Від чого залежить модуль моменту пари сил?
6. Сума всіх внутрішніх сил у будь-якій системі дорівнює нулю. Чи це так і для суми моментів цих сил?
2. Динаміка твердого тіла
Як уже говорилося, в механіці тверде тіло трактується як сукупність малих частинок (матеріальних точок), взаємне розташування яких ні від чого не залежить. Через це сили взаємодії між окремими точками тіла ніяк не впливають на його механічний стан і в теорії взагалі не згадуються. Далі розглядаються:
2.1. Загальні рівняння динаміки твердого тіла
2.3. Рівняння динаміки обертального руху
2.4. Обчислення моменту інерції. Теорема Штайнера
2.5. Кінетична енергія твердого тіла
2.1. Загальні рівняння динаміки твердого тіла
Довільний рух твердого тіла можна розглядати як сукупність поступального та обертального рухів і описувати загальними рівняннями — рівнянням руху певної жорстко зв’язаної з тілом точки, що визначає поступальну складову руху, та рівняння моментів відносно цієї точки, яке визначає обертальну складову руху тіла.
Вибір указаної точки є довільним, але при складанні рівнянь руху слід ураховувати й сили інерції, позаяк система відліку, пов’язана з тілом, на загал є неінерціальною. Тому найзручнішим вибором є центр мас тіла, бо, як можна довести, сумарний момент сил інерції відносно центра мас завжди дорівнює нулю. У такому разі система загальних рівнянь динаміки твердого тіла складається з рівняння руху центра мас (розділІІІ, (2.5а)), та рівняння моментів (1.9):
|
\( m\vec{a}_c=\vec{F}\), \(\frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}=\vec{M} \), |
де \(\vec{F}\) – сума сил, які діють на тіло, а \(\vec{L} \) і \(\vec{M} \) – момент імпульсу тіла та сумарний момент діючих сил відносно центра мас.
Зауважимо, що при довільному русі тіла ці рівняння є дуже складними для розв’язування. Але задача значно спрощується, якщо тіло рухається вздовж заданої осі ОХ і обертається навколо перпендикулярної осі OZ, як це буває в технічних пристроях. У такому разі рівняння руху записують скалярно в проєкціях на осі:
|
\(m{{a}_{cx}}={{F}_{x}}\) |
(2.1) | |
|
\(\frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}=M_z \). |
(2.2) |
При цьому алгебраїчні величини Lz та Mz називають моментами відносно осі OZ.
2.2. Моменти відносно осі
Момент імпульсу відносно осі. Момент інерції. Якщо тіло обертається навколо осі ОZ із кутовою швидкістю \(\vec{\omega }\), то всі його точки масами Δmі рухаються по колах відповідних радіусів Ri із швидкостями \( v_i=\omega R_i \) та імпульсами \(\vec{p}_i=\Delta{m}_i\vec{v}_i \), напрямки яких пов’язані з напрямом \(\vec{\omega }\) правилом правого гвинта, як показано на рис. 5.4 для точки, що лежить у площині рисунка. (Контур тіла на рисунку не зображено).
При цьому її вектор моменту імпульсу \(\vec{L}=\left[\vec{r}_i,\,\,\vec{p}_i\right] \) відносно якоїсь точки О на осі обертання лежить у площині рисунка. Тож відносно осі OZ момент імпульсу складає
\({{L}_{iz}}={{L}_{i}}\cos {{\alpha }_{i}}={{r}_{i}}\Delta {{m}_{i}}{{v}_{i}}\sin {{\vartheta }_{i}}=\Delta {{m}_{i}}{{v}_{i}}{{R}_{i}}=\Delta {{m}_{i}}{{v}_{i}}R_{i}^{2}{{\omega }_{z}}\)
де враховано, що вектори \(\vec{r}_i \) та \(\vec{p}_i \) є взаємно перпендикулярні, \({{\alpha }_{i}}=\left( 90{}^\circ -{{\vartheta }_{i}} \right)\) та \({{r}_{i}}\sin {{\vartheta }_{i}}={{R}_{i}}\).
Відтак момент імпульсу всього тіла відносно осі Z визначається як
|
\({{L}_{z}}=\left( \sum{\Delta {{m}_{i}}R_{i}^{2}} \right){{\omega }_{z}}\) |
(2.3) |
При цьому величина
|
\( {I}=\sum_{i}{\Delta {{m}_{i}}R_{i}^{2}}\) |
(2.4) |
називається моментом інерції І тіла відносно заданої осі.
Отже,
момент імпульсу твердого тіла відносно осі обертання дорівнює добутку його моменту інерції відносно цієї осі на проєкцію кутової швидкості:
|
\( L_z=I\omega_z \). |
(2.5) |
Збереження моменту імпульсу відносно осі. Поняття моменту імпульсу відносно осі зберігає зміст і для системи тіл, якщо вони обертаються навколо паралельних, осей, або однієї спільної осі. При цьому момент імпульсу системи відносно заданої осі OZ визначається як Lz = ∑Iiωzi. В такому разі, з рівняння моментів (2.2) випливає, що коли сумарний момент зовнішніх сил Мz = 0, то
\( \frac{\mathrm{d}L_z}{\mathrm{d}t}={0}\) \( \Rightarrow \) \( {L}_z=\mathrm{const} \),
тобто, сумарний момент імпульсу тіл системи відносно осі OZ зберігається. При цьому повний момент імпульсу \(\vec{L}=\sum_i\vec{L}_{i}\) може змінюватися з часом.
У розгорнутому вигляді і з урахуванням виразу (2.16) закон збереження моменту імпульсу відносно осі можна записати так:
|
\({I_1\omega_{z1}+I_2\omega_{z2}+...=I_1\omega'_{1z}+I_2\omega'_{z2}+...}\) |
(2.6) |
Величини в лівій та правій частині цього рівняння визначені для спільної осі ОZ і відносяться до двох довільних моментів часу.
Цікавий прояв закону збереження моменту імпульсу відносно осі обертання тіла спостерігається при зміні його моменту інерції під дією внутрішніх сил. У цьому випадку завдяки збереженню моменту імпульсу змінюється кутова швидкість обертання тіла:
|
\( {I}_1\omega_{1}=I_{2}\omega_{2}\) \( \Rightarrow \) \( \frac{\omega_{2}}{\omega_{1}}=\frac{I_{1}}{I_{2}}\). |
Цей ефект, зокрема, широко використовують спортсмени в різних видах спорту. До прикладу, для пришвидшення обертання фігуристка здіймає руки, зводячи їх над головою, або ж притискає їх до тіла, а для уповільнення – розводить в боки.
Цікава демонстрація американських астронавтів:
Момент сили відносно осі. Розглянемо тепер, як обчислюється момент сили Mz відносно закріпленої (фіксованої) осі обертання тіла. Нехай до деякої точки А тіла, що обертається навколо закріпленої осі OZ, прикладена довільна сила \(\vec{F}\) (рис. 5.5а).
Силу \(\vec{F}\) можна розглядати як суму двох складових – перпендикулярної \( {\vec{F}}_{\bot}\) та паралельної \( {\vec{F}}_{\parallel}\) до осі обертання, так що \( \vec{F}=\vec{F}_{\bot}+\vec{F}_{\parallel}\). Неважко збагнути, що складова \({{\vec{F}}_{\bot }}\) обертає тіло навколо осі OZ, а \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) намагається повернути саму вісь. Але, оскільки вісь обертання тіла є фіксованою, момент сили \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) компенсується моментом сил реакції \({\vec{F}}'\) і \({\vec{F}}''\) у точках фіксації осі (підшипниках), тож силу \({{\vec{F}}_{\parallel }}\) можна не враховувати. Крім того, позаяк при переміщенні т. О по осі ОZ відстань О′А = l не змінюється (див рис. 5.5б), момент сили \( {\vec{F}}_{\bot}\), отже, і \(\vec{F}\), відносно осі не залежить від положення початку відліку і, згідно з означенням (1.6), визначається формулою:
|
\( M_z=\pm{F}_{\bot}\cdot{l}\), |
(2.7) |
де \( F_{\bot}\) – модуль сили \(\vec{F}_{\bot}\) і \( l \) – плече цієї сили відносно осі обертання, тобто, відстань між віссю обертання та лінією дії сили. Знак у виразі (2.7) збігається із знаком проєкції вектора \(\vec{M}'_{\bot}\) на вісь OZ. Цю формулу можна подати й інакше, якщо врахувати, що \( l=R\cos\alpha \), де α – кут між вектором \(\vec{F}_{\bot}\) й ортом \(\tau \) напрямку обертання точка А по колу, і що \( F\cos\alpha=F_{\tau}\) – то є проєкція сили \(\vec{F}_{\bot}\) (і \(\vec{F}\)) на орт \(\vec{\tau}\):
| \({{M}_{z}}={{F}_{\tau }}R \) | (2.7а) |
2.3. Рівняння динаміки обертального руху
Підставивши вираз (2.4) у рівняння моментів (2.2), отримаємо:
|
\(\frac{\mathrm{d}(I{\omega})}{\mathrm{d}t}=M_z \) \( \Rightarrow \) \( {I}\frac{\mathrm{d}\omega_z}{\mathrm{d}t}=M_z \), |
або
|
\({I\beta_z=M_z}\), |
(2.8) |
де \( I \) – момент інерції тіла відносно осі обертання, \(\beta_z \) – проєкція кутового прискорення на цю вісь.
Рівняння (2.8) як за формою, так і за змістом, є аналогом основного рівняння динаміки матеріальної точки (розділ ІІ, (1.5)) і називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Воно дозволяє визначити кутове прискорення, а відтак за допомогою рівнянь кінематики (розділ І, (2.11) , (2.12)) — інші характеристики обертального руху твердого тіла.
З рівняння (2.8) випливає ще й те, що момент інерції тіла при обертальному русі відіграє таку саму роль, як маса при поступальному русі, тобто,
момент інерції є мірою інертності тіла щодо обертання навколо заданої осі.
При цьому така “обертальна” інертність залежить не тільки від маси тіла, а й від її розподілу відносно осі обертання.
Укажемо й на те, що рівняння (2.8) використовується замість загального рівняння моментів і при розгляді більш складних рухів твердого тіла за умови, що їхня обертова складова відбувається навколо незмінної за напрямом осі..
2.4. Обчислення моменту інерції. Теорема Штайнера
Згідно з формулою (2.15) момент інерції визначається не тільки величиною маси тіла, але й розташуванням окремих його частин відносно осі обертання, внаслідок чого момент інерції одного й того ж тіла має різні значення відносно різних осей. Тому для застосування рівняння (2.18) спочатку треба визначити момент інерції тіла відносно заданої осі.
Для довільного тіла ця задача аналітично не розв’язується, і момент інерції доводиться визначати дослідним шляхом. Але для тіл симетричної форми та із симетричним розподілом маси момент інерції можна обчислити. Для цього, найперше, треба взяти до уваги, що маса суцільного тіла неперервно розподілена по об’єму, і тому вираз (2.15) має тільки символічний зміст. Для реальних обчислень замість малих частинок тіла Δm треба розглядати елементарні маси dm, і дискретне додавання замінити інтегруванням:
|
\({I=\int{r^2\mathrm{d}m}=\int\limits_{V} r^2\rho(r)\mathrm{d}V}\), |
(2.9) |
де r – відстань від даної точки тіла до осі, відносно якої обчислюється момент інерції, ρ(r) – густина речовини тіла в даній точці, яка в загальному випадку може залежати від r, і dV – об’єм нескінченно малої ділянки тіла в околі даної точки.
Як приклад обчислимо момент інерції однорідного тонкого стрижня маси т і довжини \({l}\) відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через центр інерції О (центр мас), та відносно паралельної осі O′, що розташована на довільній відстані а від точки О (рис. 5.6).
Напрямимо координатну вісь r уздовж стрижня й розмістимо початок відліку в його центрі мас О, тобто посередині. На довільній відстані r від початку відліку виділимо нескінченно малу ділянку стрижня довжини dr, маса якої дорівнює \(\mathrm{d}m=(m/l)\cdot\mathrm{d}r \). Тоді для осі О, згідно з (2.19), і, враховуючи координати кінців стрижня А та В, отримаємо:
|
\( I_0=\int r^2\mathrm{d}m=\frac{m}{l}\int\limits_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}}r^2\mathrm{d}r=\frac{ml^2}{12}\). |
(2.9а) |
При обчисленні моменту інерції \({I}\) стрижня відносно осі O′ координата r відраховується від точки O′, тож \({r_A=a-l/2}\) і \({r_B=a+l/2}\). Отже,
\({I}=\int{r^2}\mathrm{d}m=\frac{m}{l}\int\limits_{a-\frac{l}{2}}^{a+\frac{l}{2}}r^2\mathrm{d}r=\frac{ml^2}{12}+ma^2 \).
У цьому виразі перший доданок – то є момент інерції стрижня \({I_0}\) відносно осі, що проходить через центр мас, тобто:
|
\( {I}={{I}_{0}}+m{{a}^{2}}\) |
(2.10) |
Можна довести, що цей результат є чинним і для будь-якого іншого тіла, незалежно від його форми. Він складає теорему Штайнера :
момент інерції довільного тіла відносно заданої осі дорівнює сумі його моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас, та добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями.
Ця теорема полегшує знаходження моментів інерції симетричних тіл відносно осей, паралельних до осей симетрії тіла.
На завершення наведемо вирази моментів інерції I0 деяких однорідних симетричних тіл відносно осей, що проходять через центр інерції і є осями симетрії тіла:
Табл. 1.
| Тіло | Вісь | Момент інерції I0 |
| Тонки стрижень довжини l | Перпендикулярна до стрижня | \(\frac{1}{12}ml^2 \) |
| Суцільний циліндр радіуса R | Співпадає з віссю циліндра | \(\frac{1}{2}mR^2 \) |
| Суцільна куля радіуса R | Проходить через центр кулі | \(\frac{2}{5}mR^2 \) |
| Суцільний однорідний конус із радіусом основи R | Співпадає з віссю конуса | \(\frac{3}{10}mR^2 \) |
2.5. Кінетична енергія твердого тіла
Окрім імпульсу та моменту імпульсу, важливою характеристикою стану руху твердого тіла є кінетична енергія, яка складається з кінетичних енергій всіх його точок. Але, позаяк різні точки твердого тіла рухаються не однаково, безпосередній розрахунок його кінетичної енергії в загальному випадку є неможливим. Виняток становлять тільки найпростіші рухи: поступальний, обертальний навколо фіксованої осі та рух, який є їхньою сукупністю.
Кінетична енергія поступального руху. Кінетична енергія є адитивною величиною і за будь-яких умов для твердого тіла визначається виразом:
|
\( K=\sum{\frac{\Delta {{m}_{i}}v_{i}^{2}}{2}}\) |
(2.11) |
де Δmi і vi – маси та швидкості окремих частинок тіла.
Позаяк при поступальному русі всі точки тіла, включно з центром мас, в кожен момент часу мають однакову швидкість vi = vс, і \(\sum{\Delta {{m}_{i}}=m}\), то кінетична енергія поступальнлього руху тіла
|
\({K}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}\) |
(2.12) |
Кінетична енергія обертального руху. Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, всі його точки рухаються по колах відповідних радіусів Ri з однаковою кутовою швидкістю ω, і лінійними швидкостями vi = ωRi . Тому, згідно з (2.23), кінетична енергія тіла
|
\({{K}_{}}=\frac{1}{2}\left( \sum{\Delta {{m}_{i}}R_{i}^{2}} \right){{\omega }^{2}}\) |
Вираз у дужках є моментом інерції тіла I відносно осі обертання (див. (2.15)), отже,
кінетична енергія обертального руху твердого тіла визначається формулою
|
\({{K}_{об}}=\frac{{{I}_{c}}{{\omega }^{2}}}{2}\) |
(2.14) |
Урахувавши вираз (2.16), можна також записати:
|
\({{K}_{}}=\frac{L_{z}^{2}}{2I}\) |
(2.14а) |
Варто черговий раз звернути увагу на те, що ці формули теж можна отримати з відповідних формул механіки точки K = (mv2/2) i K = (p2/2m) заміною лінійних величин їхніми кутовими аналогами.
Кінетична енергія плоского руху. При плоскому русі (розділ І, п. 2.3) можна вважати, кожна точка Δmі твердого тіла рухається із швидкістю \(\vec{v}_{c}\) разом із центром мас і в той же час обертається навколо нього по колу в площини руху із якоюсь швидкістю \( \tilde{\vec{v}}_{i}\). Отже, в обраній системі відліку швидкість кожної точки складає \( \vec{v}_{i}=\tilde{\vec{v}}_{i}+\vec{v}_{c} \). Підставивши цей вираз у (2.20), отримаємо:
\( {K}_{\text{пл}}=\sum\frac{\Delta m_{i}\left( \vec{v}_{c}+\tilde{\vec{v}}_{i} \right)^{2}}{2}=\)
\(=\left( \sum\Delta m_i \right)\frac{v_c^2}{2}+\vec{v}_{c}\sum\Delta m_{i}\tilde{\vec{v}}_i+\sum\frac{\Delta m_{i}\tilde{\vec{v}}_{i}^{2}}{2}.\)
Оскільки \( \sum\Delta{m_{i}} \) – то є маса всього тіла т, перший доданок у цьому виразі визначає кінетичну енергію поступального руху \({K}\)пост = \( {mv}_{c}^{2}/{2}\). Другий доданок дорівнює нулю, бо включає вираз імпульсу тіла в відносно власного центра мас. Швидкості \({\tilde{v}_i}\) – це лінійні швидкості обертального руху точок тіла навколо фіксованої осі, що проходить через центр мас. Тому останній доданок визначає кінетичну енергію обертального руху тіла, і його можна замінити виразом (2.14). Таким чином для кінетичної енергії плоского руху тіла маємо:
|
\({{K}_{пл}}=\frac{mv_{c}^{2}}{2}+\frac{{{I}_{c}}{{\omega }^{2}}}{2}\) |
(2.15) |
де Iс – момент інерції тіла відносно осі обертання, що проходить через центр мас, \({v_c}\) – швидкість руху центра мас.
Кінетична енергія обертального руху та робота моменту сил. У розділі ІV, (формули (2.2), (2.2а)) було встановлено, що зміна кінетичної енергії точкового тіла дорівнює повній роботі сил, які діють на нього. Для протяжного твердого тіла ситуація є аналогічною. Розглянемо роботу, що виконується при обертанні тіла навколо нерухомої осі. В цьому випадку прикладена до нього сила \(\vec{F}\) є перпендикулярною до осі обертання. При елементарному повороті тіла на кут dφ точка прикладання сили А здійснює переміщення \({\mathrm{d}\vec{s}}\) по колу радіуса R (рис. 5.7), і сила виконує роботу \(\delta{A}=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{s}=F\mathrm{d}s\cos\alpha \).
У цьому виразі ds = Rdφ і F cosα = Fτ – проєкція сили \(\vec{F}\) на дотичну до кола, по якому рухається точка А. Отже, врахувавши вираз (2.7а), маємо:
|
\(\delta{A}=F_{\tau}R\mathrm{d}\varphi \) \( \Rightarrow \) \( \delta{A}=M_z\mathrm{d}\varphi \). |
(2.16) |
|
При повороті на скінченний кут
|
\({A=\int\limits_0^{\varphi}M_z\mathrm{d}\varphi}\). |
(2.16а) |
Зв’язок між роботою моменту сил і кінетичною енергією обертального руху отримаємо після нескладних викладок, виразивши в (2.26), величину Mz із рівняння (2.18) і врахувавши співвідношення кінематики твердого тіла (2.5):
|
\( \delta{A}=M_{z}\mathrm{d}\varphi =I\beta_{z}\mathrm{d}\varphi =I\beta_{z}\omega_{z}\mathrm{d}{t}=I\omega_{z}\mathrm{d}\omega_{z}=\mathrm{d}\left(\frac{I\omega^{2}}{2}\right) \) \( \Rightarrow \) \( \delta{A}=\mathrm{d}K \)об. |
(2.17) |
При повороті на скінченний кут
|
\({A=\Delta{K}}\)об = \({K}\)об2 - \({K}\)об1. |
(2.17а) |
Отже, теорема про кінетичну енергію зберігає чинність і для обертального руху твердого тіла.
1. Що називається моментом імпульсу відносно осі? Якою формулою він визначається для твердого тіла?
2. Що таке момент інерції тіла? Який фізичний зміст вона має?
3. Чи має тіло заданий момент інерції? Чи є момент інерції відносно заданої осі у нерухомого тіла ?
4. У чому полягає теорема Штайнера? Яке вона має практичне призначення?
5. Як пов’язані між собою моменти сили відносно заданої осі відносно точки, розташованої цій осі?
6. Що таке плече сили? Чи можна сказати, що модуль моменту сили відносно осі дорівнює добутку модуля сили на її плече?
7. Чи можна твердити, що під дією заданої сили більш масивне тіло отримає менше кутове прискорення, ніж менш масивне? Чому?
8. Суцільний і порожнистий циліндри однакового радіуса та маси одночасно починають скочуватися з вершини похилої площини. Чи одночасно вони досягнуть основи площини? Якщо ні, то який і чому відстане?
9. Коли виконується та як записується закон збереження моменту імпульсу відносно осі? Наведіть прояви цього закону.
10. Запишіть вирази кінетичної енергії тіла, що обертається навколо нерухомої осі.
11. Запишіть вирази кінетичної енергії тіла, що здійснює плоский рух.
12. Колесо рівномірно котиться без ковзання так, що кутова швидкість його обертання складає ω. Визначити кінетичну енергію колеса, якщо воно має масу m і момент інерції відносно власної осі Iс.
13. Як обчислюється робота моменту сили?
3. Гіроскопи
У механізмах і машинах окрім тіл, які обертаються навколо нерухомої осі чи здійснюють плоскі рухи (колеса, маховики, шатуни), використовують і так звані гіроскопи – масивні симетричні обертові тіла, осі обертання яких не є жорстко закріплені й можуть змінювати напрям під час руху. За таких умов спостерігається низка специфічних і досить складних ефектів. Деякі з них спрощено розглядаються в наступних питаннях:
3.1. Зв’язок між векторами \( \vec{L} \) і \( \vec{\omega} \)
3.1.Зв’язок між векторами \( \vec{L} \) і \( \vec{\omega} \)
Симетричне тіло. Особливості поведінки гіроскопів є зумовлені специфікою зв’язку між моментом імпульсу та кутовою швидкістю в обертових твердих тілах.
Спочатку визначимо вектор моменту імпульсу \(\vec{L}\) симетричного однорідного тіла, що обертається навколо осі симетрії із заданою кутовою швидкістю \(\vec{\omega}\).
Для цього розглянемо якусь і-ту пару точок тіла однакової маси Δm, що розташовані на відстані Rі від осі симетрії OZ, як на рис. 5.8а (контур тіла не показано). Ці точки мають однакові швидкості vi =vi′ = ωRi та імпульси p1 = p′1 = ΔmωRi. Відтак і їхні моменти імпульсу відносно початку О теж однакові за модулем і, згідно з означенням (1.1), дорівнюють L1 = L1′ = ΔmωRirі. При цьому з міркувань симетрії випливає, що напрямки векторів \({\vec{L}_1}\) і \({\vec{L}_1{'}}\) (на рисунку не показані) є симетричні відносно осі обертання OZ. Тому сумарний вектор моменту імпульсу \( \vec{L}_i\) такої пари точок за напрямом збігається із вектором \(\vec{\omega}\) і має модуль Li = 2L1z.
Отже, враховуючи вирази (2.4) і (2.5), маємо для моменту імпульсу пари точок \({\vec{L}_i}\) і всього тіла \(\vec{L}=\sum{{{{\vec{L}}}_{i}}}\) :
\({{L}_{i}}=2\Delta mR_{i}^{2}\) = Iі\(\vec{\omega}\)
і
|
\(\vec{L}=I\vec{\omega}\), |
(3.1) |
де \({{I}_{i}}=2\Delta mR_{i}^{2}\) – момент інерції даної пари точок і I = \(\sum{{I_{i}}}\) – момент інерції всього тіла відносно осі обертання OZ.
При цьому, позаяк момент інерції тіла залежить від відстаней Rі, а не rі, то при обертанні навколо осі симетрії момент імпульсу тіла не залежить від положення початку відліку на осі.
Асиметричне тіло. Якщо вісь обертання не співпадає з віссю симетрії тіла, або воно є асиметричним, то вектор моменту імпульсу складає якийсь кут α з вектором \( \vec{\omega } \)[6] (рис. 5.8б). Як наслідок, обертаючись разом із тілом, вектор \( \vec{L}\)
описує конус, а його кінець – коло в перпендикулярній до осі обертання площині. Тож вектор \( \vec{L} \) за будь-який елементарний проміжок часу dt набуває приросту \( \mathrm{d}\vec{L}\), напрям якого є дотичним до цього кола і перпендикулярним до осі обертання, (рис. 5.8б). А це, згідно з рівнянням (1.4), означає, що на тіло діє певний момент сил однакового з \( \mathrm{d}\vec{L} \) напрямку. Він створюється поперечними силами реакції опор (підшипників) \( {\vec{F}}'\) і \({\vec{F}}''\), які виникають через асиметрію в розподілі маси тіла відносно осі обертання. Відповідно, з боку осі на підшипники діють такі самі сили протилежного напрямку, котрі можуть спричинити швидкий знос чи навіть руйнування підшипників і викликають шкідливі вібрації пристрою, в якому вони закріплені. Тому обертові деталі та вузли механізмів і машин ретельно балансують, аби забезпечити максимально симетричний розподіл маси відносно осі обертання.
Як говорилося, гіроскопом називається масивне симетричне тіло (маховик), яке може обертатися з великою швидкістю навколо осі симетрії. Зазвичай гіроскоп уміщують у так званий кардановий підвіс, який являє собою систему з трьох концентричних рухомих кілець[9] (рис. 5.9а).
Маховик і кільця можуть вільно обертатися навколо взаємно перпендикулярних осей А′А, В′В і D′D (рис. 5.10б), що забезпечує можливість орієнтації осі гіроскопа А′А у будь-якому напрямі. Тому гіроскоп у кардановому підвісі називається вільним гіроскопом. Зазвичай одна з точок осі гіроскопа є закріпленою, і її називають точкою опори гіроскопа. У показаному на рис. 5.10 гіроскопі точкою опори є спільний центр кілець. Нарешті, якщо точка опори збігається з центром мас маховика, то гіроскоп називають зрівноваженим.
Очевидно, що сума моментів усіх зовнішніх сил, які діють на вільний зрівноважений гіроскоп, дорівнює нулю. Тому, згідно із законом збереження моменту імпульсу, напрям осі гіроскопа буде лишатися незмінним навіть, якщо його каркас буде рухатися довільним чином. На цьому базується робота гірокомпаса – приладу, який дозволяє визначати напрям у просторі, не використовуючи магнітне поле Землі.
З властивостями гіроскопа можна познайомитися, переглянувши наведені нижче фільми.
Якщо на гіроскоп почне діяти зовнішній момент сил, то його момент імпульсу буде змінюватись у відповідності до рівняння моментів :
|
\( \mathrm{d}\vec{L}=\vec{M}\mathrm{d}t \). |
(3.2) |
При цьому вісь гіроскопа поводиться досить несподівано. Якщо у зображеному на рис. 5.10а вільному зрівноваженому гіроскопі (кардановий підвіс не показано) спробувати повернути вісь гіроскопа АА' за годинниковою стрілкою вертикальній площині навколо перпендикулярної горизонтальної осі ВВ', приклавши пару сил \({{\vec{F}}_{1}}\) – \({{\vec{F}}_{2}}\), то, всупереч очікуванню, вісь гіроскопа повернеться не навколо осі ВВ', а в горизонтальній площині навколо вертикальної осі DD'.
Така поведінка осі гіроскопа під дією зовнішніх сил називається гіроскопічним ефектом. Хоча цей ефект психологічно важко сприймається, він прямо випливає з рівняння моментів. Справді, прикладена пара сил створює відносно точки опори гіроскопа О момент \(\vec{M}\), який за правилом правого гвинта напрямлений уздовж горизонтальної осі ВВ' (рис. 5.10а). Тож за з рівнянням (3.2) такий самий напрям має і вектор приросту моменту імпульсу гіроскопа \(d\vec{L}\). А це означає, що вектор \(\vec{M}\), а з ним і вісь гіроскопа АА' , повертається в горизонтальній площині навколо вертикальної осі DD′.
Уявімо тепер ситуацію, коли вутрішнє кільце підвісу та вісь гіроскопа А-А', вимушено обертаються в горизонтальній площині навколо вертикальної осі DD′ (рис. 5.10б). У такому разі вектори моменту імпульсу гіроскопа \(\vec{M}\) та його приросту \(d\vec{L}\) теж обертається в горизонтальній площин, причому \(d\vec{L}\) є перпендикулярним до \(\vec{M}\). Згідно з (3.2), це означає, що при вимушеному обертанні осі гіроскопа на нього діє якийсь напрямлений горизонтально момент сил. Цей момент створюється вертикальними силами реакції підшипників F1-F2 в осі гіроскопа (рис. 5.10б). У свою чергу такі самі протилежно напрямлені сили F1′-F2′ діють з боку осі на підшипники. Ці сили називають гіроскопічними силами, а створюваний ними момент – гіроскопічним моментом. Значні гіроскопічні сили виникають, наприклад, у підшипниках масивних роторів турбін кораблів при різких змінах курсу та у штормову погоду, або в підшипниках карданних валів автомобілів на крутих віражах, що може спричинити руйнування підшипників.
Але гіроскопічний ефект знаходить і корисні застосування, зумовлені тим, що гіроскоп чинить спротив зміні напрямку осі обертання. Приміром, масивні гіроскопи використовують для стабілізації положення корабля, або вагонів монорейкової залізниці. Прояви гіроскопічного ефекту спостерігаються й при їзді на велосипеді чи мотоциклі, позаяк колеса швидко обертаються і “працюють” як гіроскопи. Це не дає байкеру падати при русі по прямій. При поворотах він також використовує гіроскопічний ефект. Відхиляючись при повороті від вертикалі, велосипедист повертає вісь переднього (кермового) колеса у вертикальній площині навколо напрямку руху, внаслідок чого виникає гіроскопічний момент, який повертає вісь колеса в горизонтальній площині, спонукаючи велосипед повертати в бік нахилу велосипедиста.
Ще одним проявом гіроскопічного ефекту є так званий прецесійний рух осі гіроскопа, або просто прецесія. Розглянемо це явище на прикладі відомої дитячої іграшки дзиґи – симетричного тіла, яке може швидко обертатись навколо власної осі на горизонтальній опорі як незрівноважений гіроскоп. Поставлена вертикально нерухома дзиґа неодмінно завалюється під дією сили тяжіння. Але розкручена дзиґа, навіть відхилена, не падає – її вісь описує конус навколо вертикалі (рис. 5.12). Такий рух називається прецесією осі.
Поведінка осі дзиґи принципово не відрізняється від поведінки осі зрівноваженого гіроскопа і повністю пояснюється рівнянням моментів. Справді, сила тяжіння \( {m}\vec{g}\) , яка прикладена в центрі мас дзиґи, створює зовнішній момент \(\vec{M}\) відносно точки опори О. Вектор \(\vec{M}\), тож і вектор приросту моменту імпульсу \( {d}\vec{L}\) , весь час є перпендикулярними до вертикальної площини, в якій лежить вісь дзиґи та збіжний із нею за напрямом вектор \( \vec{L}\). Тому вектор моменту імпульсу та вісь дзиґи під дією сили тяжіння не наближаються до площини точки закріплення, а прецесують – описують конуси навколо вертикалі ОZ із незмінним кутом розкриття[7].
Знайдемо кутову швидкість (частоту) прецесії Ω, скориставшись рис. 5.12 (початок вектора \(\vec{L}\) знаходиться в т. О). За час dt кінець вектора \(\vec{L}\), який рухається навколо осі ОZ по колу радіуса Lsinα, повертається на кут dφ = dL/Lsinα. А за рівнянням моментів dL = Mdt . Звідси для кутової швидкості прецесії Ω = dφ/dt виходить:
|
\( \Omega=\frac{M}{L\sin\alpha}\). |
(3.3) |
|
Модуль моменту сили тяжіння відносно точки О дорівнює добутку її величини на відстань від центра мас дзиґи до осі OZ (плече), отже, у виразі (3.3) M = mgbsinα, де b – відстань від точки опори О до центра мас дзиґи С. Зваживши також на те, що модуль моменту імпульсу \({L=I\omega}\), де ω – кутова швидкість обертання дзиґи навколо власної осі, отримаємо вираз кутової швидкості прецесії дзиґи
|
\(\Omega=\frac{mgb}{I\omega}\). |
(3.4) |
Варто зауважити, що завдяки прецесії кожна точка гіроскопа, крім обертання навколо власної осі із кутовою швидкістю ω, рухається ще і з кутовою швидкістю прецесії Ω навколо осі, що проходить через точку опори. Тому використаний при виведенні формули (3.4) вираз є наближеним. Але при великій частоті обертання Ω << ω, і похибка є неістотною.
Зрозуміло, що вираз (3.3) чинний не лише для дзиґи, на яку діє момент сил тяжіння, а й для будь-якого незрівноваженого гіроскопа, що перебуває під дією зовнішнього моменту сил \(\vec{M}\). Тож, узявши до уваги взаємну ортогональність векторів \(\vec{L}\), \(\vec{M}\) і \(\vec{\Omega}\), загальне співвідношення між ними можна записати у вигляді:
|
\( M=\Omega L\sin\alpha \) \( \Rightarrow \) \( \vec{M}=\left[\vec{\Omega},\vec{L}\right]\). |
(3.5) |
Із цього виразу випливає цікава особливість прецесійного обертання осі гіроскопа: зовнішній момент сил визначає не кутове прискорення, як для "звичайного" тіла, а саму кутову швидкість прецесії. Отже, щойно зникає зовнішній момент, одразу припиняється й прецесія. Тому таку прецесію називають вимушеною.
1. Який напрям має та якою формулою визначається вектор моменту імпульсу симетричного тіла, що обертається навколо осі симетрії?
2. Доведіть, що момент імпульсу симетричного тіла, що обертається навколо осі симетрії, не залежить від положення початку відліку на осі обертання.
3. Поясніть, чому при обертанні навколо заданої осі асиметричного тіла напрям вектора його моменту імпульсу не збігається із напрямом вектора кутової швидкості.
4. У чому полягає гіроскопічний ефект? Як він пояснюється?
5. Що таке гіроскопічні сили? Який напрям вони мають і від чого залежить їхня величина?
6. Що таке прецесія осі гіроскопа? Поясніть, як вона виникає та чим визначається її кутова швидкість?
7. Наведіть та поясніть відомі вам приклади застосування іроскопів.
[1] Це правило гласить: якщо обертати правий гвинт від напрямку вектора \(\vec{r}\) до напрямку вектора \(\vec{p}\) , то він буде вгвинчуватись у напрямку вектора \(\vec{L}\).
[2] Це дозволяє при розгляді задач для зручності розміщувати точку прикладання сили не там, де вона виникає, наприклад у точці дотику нитки та прив’язаного до неї тіла, а в будь-якому місці на лінії дії сили.
[3] Знаходження похідної від векторного добутку виконується так само, як для скалярного добутку двох функцій. Єдина особливість полягає в тому, що порядок множників не можна змінювати.
[4] Але ця умова, на відміну від моментів внутрішніх сил, може виконуватися лише для певної точки (або точок) відліку.
[5] Зокрема, земна вісь зберігає свій нахил до площини орбіти, що спричинює зміну пір року.
[6] Це легко збагнути, якщо подумки виділити в тілі симетричну до осі обертання частину з моментом імпульсу, спрямованим уздовж осі обертання, та зміщений відносно осі “залишок”, момент імпульсу котрого буде складати з віссю певний кут.
[7] Насправді через неодмінну наявність тертя в точці О та опору повітря обертання дзиґи буде поступово уповільнюватись, а кут α – зростати, і згодом дзиґа таки впаде.
VI. ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ
На початку даної частини курсу (див. ВСТУП) говорилося, що закони класичної механіки є чинними лише для повільних рухів тіл. При швидких рухах багато положень і співвідношень механіки суттєво змінюються й визначаються законами спеціальної теорії відносності (СТВ), інакше – релятивістської механіки, що була створена на початку 20-го сторіччя А. Ейнштейном. Причина обмеженості механіки Ньютона є дуже глибока й зумовлена складнішими, ніж уважалося властивостями простору та часу, які в класичній фізиці розглядались як ні від чого не залежні форми буття всього сущого. Але, як засвідчила теорія відносності, простір і час не є незалежними одне від одного та від матерії. Тому СТВ часто трактують як сучасну теорію простору і часу в інерціальних системах відліку.
Далі розглядаються наступні теми:
1. Перетворення Лоренца
Простір і час у нашій свідомості пов’язуються із нарізним розташуванням предметів та поcлідовним ходом подій. Тому властивості простору та часу найбільш наочно виявляються у властивостях руху тіл і відображаються у формулах перетворень координат і часу та наслідках, які з них випливають.
У цій темі розглянуті наступні питання:
1.1. Принцип відносності Галілея
1.2. Постулати СТВ. Відносність простору та часу
1.4. Перетворення швидкостей в СТВ. Гранична швидкість
1.1. Принцип відносності Галілея
Перетворення Галілея. Уявлення класичної фізики про абсолютний простір і абсолютний час відображаются у перетвореннях Галілея — співвідношеннях між координатами тіла (матеріальної точки) в двох інерціальних системах відліку, що рівномірно і прямолінійно рухаються одна віносно одної вздовж осей Х (див. Розділ І, п. 1.4). Таке твердження може здатися дивним, позаяк галілеєві перетворення свідчать про відносність положення тіла в просторі, позаяк \(\vec{r}\ne\vec{r}' \). Але це показує лише, що в просторі не існує якоїсь виділеної точки відліку, відносно якої можна було би визначати положення та рух всіх тіл. Що ж до відстаней між тілами та їхнього взаємного розташування, які власне, й відображають властивості простору, то, згідно з перетвореннями Галілея, вони не залежать від системи відліку, тобто, є абсолютними.
Справді, з рис. 6.1 видно, що положення точки 1 відносно точки 2 визначається радіусом-вектором \( \vec{r}_{12}=\vec{r}_1-\vec{r}_2 \), який, згідно з формулами (1.30) або (1.30а), розділ І, не змінюється при переході від однієї системи відліку до іншої, тобто, є інваріантом перетворень Галілея:
|
\( \vec{r}_{12}=\vec{r}_{1}-\vec{r}_{2}=(\vec{r}_{1}^{\prime}+\vec{V}t)-(\vec{r}_{2}^{\prime}+\vec{V}t)=\vec{r}_{1}^{\prime}-\vec{r}_{2}^{\prime}=\vec{r}_{12}^{\prime}\). |
(1.1) |
|
Отож і відстань між двома точками \({l}=\left|\vec{r}_{12}\right| \) є інваріантною, тобто абсолютною величиною:
|
l = l′. |
(1.1а) |
Отже, лінійні розміри та форма тіла не залежать від системи відліку, що й є наочним відображенням концепції абсолютного простору, тобто, єдиного й ні від чого не залежного “вмістилища речей”.
Так само класична фізика виходить і з уявлення про єдиний і ні від чого не залежний абсолютний час, через що проміжок часу між якимись подіями приймається однаковим для будь-якої системи відліку: Δt = Δt′. Це здається настільки самоочевидним, що навіть не обговорюється. Прямим наслідком концепції абсолютного часу є класичні формули перетворення швидкостей (розділ І, формули (1.33) , (1.33а)), з яких випливає інваріантність (незалежність від системи відліку) відносної швидкості двох тіл:
|
\( \vec{v}_{12}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}_{12}}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_1-\vec{v}_{2} \). |
(1.2) |
Справді, позаяк dt = dt′ і \( \mathrm{d}\vec{r}_{12}=\mathrm{d}\vec{r}_{12}^{\prime}\), то відносні швидкості
|
\( \vec{v}_{12}=\vec{v}_{12}^{\prime}\) . |
(1.3) |
В інерціальних системах відліку (ІСВ) інваріантом перетворень Галілея є також прискорення:
\( \vec{a}=\vec{a}^{\prime}\).
Це випливає з того, що інерціальні системи відліку не мають прискорень одна відносно одної .
Принцип відносності класичної механіки. Таким чином, розташування тіла та швидкість і прискорення його руху відносно якогось іншого тіла в усіх інерціальних системах відліку є однаковими. Але на загал саме ці фактори визначають силу взаємодії між тілами (див. розділ ІІ, п. 1.1). Отже, сила взаємодії між тілами теж є інваріантом перетворень Галілея, тобто, є однаковою в усіх інерціальних системах відліку: \( \vec{F}^{\prime}=\vec{F}\). Те саме можна сказати й про масу, оскільки вона є внутрішньою властивістю тіла й ніяк не пов’язана з його рухом. Тож m′ = m. Таким чином, інваріантом перетворень Галілея виявляється й основне рівняння класичної механіки – рівняння другого закону Ньютона (розділ ІІ, рівняння (2.3) і (2.5)). Це означає, що
в усіх інерціальних системах відліку (ІСВ) рух матеріальної точки визначається одним і тим самим основним рівнянням динаміки.
Звідси випливає принцип відносності класичної механіки або принцип відносності Галілея:
за однакових умов у всіх ІСВ всі механічні явища проходять однаково.
Тому
ніякими механічними дослідами всередині даної ІСВ неможливо встановити рухається вона, чи перебуває у спокої.
Таким чином, згідно з принцип відносності Галілея
всі інерціальні системи відліку є повністю еквівалентними щодо механічних явищ.
1.2. Постулати СТВ. Відносність простору і часу
Перетворення Галілея та принцип відносності класичної механіки, що випливає з них і законів Ньютона, довгий час розглядались як непорушний фундамент усієї класичної фізики. Однак у другій половині XIX сторіччя після створення Максвеллом класичної електродинаміки й відкриття електромагнітних хвиль, до яких належить і світло, з’ясувалося, що електромагнітні процеси не задовольняють перетворення Галілея. Зокрема, численними дослідами було неспростовно доведено, що швидкість світла у вакуумі, всупереч перетворенням Галілея (розділ І, формули (1.33) , (1.33а)), не залежить від швидкості руху ані джерела, ані приймача. Це та інші факти, в решті решт, призвели до радикального перегляду А. Ейнштейном вихідних положень (постулатів) механіки і створення нової науки – спеціальної теорії відносності (СТВ), які розглядаються далі.
Незалежність швидкості світла у вакуумі від руху джерела та приймача (“спостерігача”) означає, що вона є однакова в усіх системах відліку. Звідси випливає висновок, що не лише механічними, а й електромагнітними дослідами неможливо розрізнити рух і спокій будь-якої інерціальної системи відліку. На підставі цього А. Ейнштейн поширив принцип відносності на всі фізичні явища і прийняв його за один із постулатів (вихідних положень) нової механіки – принцип відносності Ейнштейна:
в інерціальних системах відліку всі фізичні процеси за однакових умов протікають однаково; всі закони природи та рівняння, що їх описують, є інваріантні, тобто не змінюються при переході від однієї інерціальної системи відліку до іншої.
Інакше кажучи,
всі інерціальні системи відліку є повністю рівноправними (еквівалентними): ніякими дослідами неможливо виділити жодну з них як головну.
Другий постулат СТВ стосується світла. Незалежність швидкості поширення світла від руху джерела та приймача не випливає як наслідок ні з яких інших положень, тому Ейнштейн прийняв її як другий постулат СТВ – принцип сталості швидкості світла:
швидкість світла у вакуумі не залежить від руху джерела світла і однакова по всіх напрямах.
Це означає, що
швидкість світла у вакуумі однакова в усіх системах відліку.
Отже швидкість світла посідає особливе місце в природі. На відміну від інших швидкостей, скажімо, швидкості звуку, що змінюються при переході від однієї системи відліку до іншої, швидкість світла у вакуумі є інваріантною величиною.
Прийняті Ейнштейном постулати СТВ стоять на міцному фундаменті експерименту – сьогодні невідомо жодного дослідного факту, який би їм суперечив. Разом із тим, аналіз постулатів Ейнштейна призводить до дуже несподіваних для класичної фізики висновків, про які йдеться далі.
Як уже відмічалося, класична фізика трактує час як абсолютний, тобто єдиний і однаковий для всього Всесвіту. Тому здається самоочевидним, що дві одночасні для даного спостерігача події є таким і для будь-якого іншого спостерігача (абсолютність одночасності). А звідси випливає й висновок про абсолютність проміжку часу між двома подіями. Але таке уявлення є несумісним із постулатами СТВ, у чому можна переконатися на наступному позірному експерименті[1].
Уявімо довгий стержень, посередині якого розташована лампочка Л, а на кінцях – фотоелементи Ф1 і Ф2 (рис. 6.2).
Стержень рухається відносно спостерігача, що знаходиться в точці О. Нехай лампочка в момент проходження повз т. О на мить спалахує (посилає світловий сигнал). Тоді в системі відліку стержня світловий сигнал доходить до фотоелементів за один і той самий час, оскільки він поширюється в обох напрямках з однаковою швидкістю й проходить однакову відстань. Отже, в системі відліку стержня спрацьовування фотоелементів є двома одночасними подіями. Але нерухомий спостерігач в точці О зафіксує зовсім інше. Для нього швидкість світла також однакова в обох напрямках, оскільки вона не залежить від руху джерела. Але відстані, які пройде світло до фотоелементів, будуть різними, позаяк фотоелемент Ф1 рухається назустріч світловому імпульсу, а Ф2 “тікає” від нього. Тож для нерухомого спостерігача фотоелемент Ф1 спрацює раніше, ніж Ф2. Таким чином, із постулатів СТВ впливає неспростовний висновок про відносність одночасності віддалених (таких, що відбуваються в різних точках) подій:
дві відалені події, що є одночасні в даній системі відліку, відбуваються в різні моменти часу в системах відліку, котрі рухаються відносно даної.
Відносність одночасності означає відносність самого плину часу в різних системах відліку. У цьому можна переконатись із ще одного позірного експерименту, запропонованого Ейнштейном. Нехай маємо вертикальний стержень АВ на кінцях котрого закріплено два горизонтальні дзеркала (рис. 6.3), між якими „бігає” короткий світловий імпульс.
Уявімо, що стержень рухається горизонтально зі швидкістю V, і визначимо час пробігу імпульсу від одного дзеркала до іншого й назад а) в системі відліку стержня K′ і б) в нерухомій системі відліку К, відносно якої стержень рухається. Очевидно, що в K′-системі цей час дорівнює
|
\( \Delta{t}_{0}=\frac{2l_{0}}{c}\), |
(1.4) |
де l0 = AB – відстань між дзеркалами в K′-системі відліку, в якій стержень є нерухомим, c – швидкість світла. Але в К-системі відліку, відносно якої стержень рухається, світловий імпульс відбивається від верхнього дзеркала в точці B1 і повертається до дзеркала нижнього в точці A2. Отже, за половину часу пробігу він проходить відстань l = AB1, яка пов’язана з відстанями AA1 та A1B1 очевидним співвідношенням (AB1)2 = (AA1)2 + (A1B1)2 . Так само очевидно, що AA1 = VΔt/2, де V – швидкість стержня, Δt – час пробігу світлового імпульсу від нижнього дзеркала до верхнього й назад у К-системі відліку. Що ж до відстані A1B1 у К-системі відліку, то вона, згідно з принципом відносності, як і в K′, дорівнює l0 [2].
Отже, можна записати:
|
\( {l}^2=l_0^2+\left(\frac{V\Delta{t}}{2}\right)^{2} \). |
(1.5) |
Швидкість світла в К-системі відліку, як і в K′, дорівнює с, отже \( {l}=c\Delta{t}/{2}\). Підставивши цей вираз в (1.5), дістанемо:
|
\( \left(\frac{c\Delta{t}}{2}\right)^{2}=l_{0}^{2}+\left(\frac{V\Delta{t}}{2}\right)^{2} \) \( \Rightarrow \) \( \Delta{t}=\frac{2l_0}{c\sqrt{1-(V/c)^2}} \). |
(1.6) |
Порівнюючи цей вираз із (1.4), знаходимо для двох ІСВ:
|
\( \Delta{t}=\frac{\Delta{t}_0}{\sqrt{1-(V/c)^2}} \). |
(1.7) |
Таким чином, одну подію (відбивання імпульсу від дзеркала А) від іншої події (повернення імпульсу на дзеркало А) в різних системах відліку відділяють різні проміжки часу, а це означає, що
час як такий є відносним: його плин у різних системах відліку є не однаковий.
Важливо чітко усвідомити фізичний зміст виразу (1.7). У K′-системі дзеркала є нерухомі, отже, час Δt0 виміряно нерухомим відносно подій годинником, а час Δt — годинником К-системи відліку, відносно якої “події рухаються” зі швидкістю V. При цьому, як видно з (1.7), Δt > Δt0, отже спостерігач К-системи відліку дійде висновку, що годинник K′-системи йде повільніше, ніж його власний. У цьому сенсі говорять про уповільнення часу в рухомих системах відліку, і задля однозначності та зручності висловлювань використовують таку термінологію. Систему відліку, в якій точки, де відбуваються дані події є нерухомі, називають власною системою відліку, а час, який показує нерухомий в цій системі відліку годинник (“власний” годинник) називають власним часом. Будь-яка інша система відліку, відносно якої точки, де відбуваються події, рухаються, називається лабораторною системою відліку, а проміжки часу між такими “рухомими” подіями, виміряні годинником лабораторної системи відліку, називають лабораторним часом. Виходячи з цього, можна сказати, що
власний час є найповільнішим.
Слід також нагадати, що тут слово “годинник” означає не якийсь фізичний прилад, а прийнятий принцип вимірювання проміжків часу. Тому розглянутий ефект уповільнення часу є чисто кінематичним і відображає об’єктивну властивість часу як такого, а саме, його відносність. Це добре видно з такої ситуації. Якщо два спостерігачі в двох різних ІСВ виконають описаний дослід з дзеркалами, то кожен з них абсолютно обґрунтовано буде вважати, що годинник колеги з іншої системи відліку йде повільніше, ніж його власний. Тож запитання, який з годинників насправді йде повільніше, є позбавлене змісту.
Розглянемо ще один позірний дослід. У системі відліку K′ паралельно до осі O′X′ розміщено нерухомий стержень АВ довжини l′ = l0, який разом із K′-системою рухається із швидкістю V відносно нерухомої К-системи відліку, рис. 6.4.
Поставимо завдання визначити довжину стержня АВ в К-системі відліку. Спостерігач К-системи може зробити це, вимірявши час прольоту стержня Δtст повз якусь фіксовану точку (наприклад, О) в К-системі відліку. Тоді
|
l = VΔtпр. |
(1.8) |
|
Видається “очевидним”, що величина l має збігатися з l0, але насправді це не так. Уявімо, що описану процедуру вимірювання контролює спостерігач K′-системи, для котрого стержень є нерухомим, а годинник К-системи рухається повз нього із швидкістю V. Отже, він скаже, що спостерігач К-системи вимірює час переміщення свого годинника Δtгод на відстань l0 між кінцями стержня. Тож
|
Δtгод = (l0/V) \(\Rightarrow \) l0 = VΔtгод.
|
(1.8а) |
А тепер звернімо увагу на те, що у виразах (1.8) і (1.8а) фігурують проміжки часу між тими самими двома подіями: суміщення годинника із одним (подія 1) та іншим (подія 2) кінцем стержня. При цьому в К-системі (вираз (1.8)) події відбуваються в одній точці і фіксуються нерухомим відносно неї годинником. Отже Δtст є власним проміжком часу між цими подіями:
Δtст= Δt0.
Натомість величина Δtгод вимірюється рухомим годинником, отже вона є лабораторним проміжком часу між подіями:
Δtгод = Δt.
Так само довжина l0 нерухомого в K′-системі відліку стержня є його власною довжиною. Відповідно, довжина l стержня в К-системі, в якій він рухається, є лабораторною довжиною. Відтак із зіставлення виразів (1.8) і (1.8а) виходить:
\(\frac{l}{l_0}=\frac{\Delta{t}_0}{\Delta{t}}\),
і з урахуванням співвідношення (1.7)
|
l = l0\( \sqrt{1-(V/c)^2}\) |
(1.9) |
Формула (1.9) показує, що довжина рухомого стержня (лабораторна довжина), у напрямку руху в \(\sqrt{1-(V/c)^2}\) раз менша, ніж його власна довжина. Отже
власні поздовжні розміри предмета є найбільшими.
Скорочення довжин у напрямку руху, як і вповільнення часу, є кінематичним ефектом. Менше значення поздовжньої довжини рухомого стержня, порівняно з нерухомим, пояснюється не виникненням у ньому якихось механічних напруг і деформацій, а відносністю самого простору – в різних системах відліку просторові масштаби (розміри одиниці довжини) є не однакові.
Слід іще раз наголосити, що в співвідношенні (1.9) величини l і l0 – то є поздовжні розміри тіла (стержня), тобто, розміри в напрямку руху. Що ж до поперечних розмірів, то вони не змінюються, позаяк в обох системах відліку відсутній рух тіла вздовж поперечних осей Y, Y′ та Z, Z′.
Розглянуті радикальні висновки, що випливають із постулатів Ейнштейна, ставлять два очевидні запитання: 1) чому класична механіка, що, в очевидь, спирається на принципово хибні уявлення про простір і час, дозволяє визначати рух тіл із винятково високою точністю, і 2) чи мають експериментальне підтвердження ефекти уповільнення часу (1.7) та скорочення масштабів (1.9)? Відповідь на перше запитання дає масштаб величини c = 3·108 м/с. Для макроскопічних тіл, які класична механіка тільки й розглядає, величина с є недосяжною. Навіть найшвидші макроскопічні тіла – космічні тіла і ракети – рухаються із швидкостями не більшими, ніж ~ 104 м/ с. При таких швидкостях (V/c)2 ~ 10–8 , і формули (1.7) і (1.9) з величезною точністю дають Δt = Δt0 і l = l0. Тому відносність простору та часу й численні пов’язані з цим релятивістські ефекти стають відчутними лише при гранично високих швидкостях, які, крім світла, притаманні тільки елементарним частинкам високих енергій. Що ж до уповільнення часу, то цей ефект (формула (1.7)) підтверджено на тільки опосередковано, а й безпосередніми вимірами.
Відносність простору та часу означає, що перетворення Галілея (1.30), (1.31), (1.32), які ґрунтуються на концепції абсолютного простору й абсолютного часу, є принципово помилковими й потребують ревізії. Далі розглядаються:
1.3.1. Формули перетворень Лоренца
1.3.2. Відстані і проміжки часу
1.3.1. Формули перетворень Лоренца
Правильні перетворення координат і часу, що задовольняють і постулати Ейнштейна, можна знайти в різний споіб, до прикладу, в такий.
Розглянемо дві “стандартні” інерціальні системи відліку K і K′, осі X та X′ яких співпадають, а осі Y, Y′ і Z, Z′ мають однакові напрямки (рис. 6.5).
За початок відліку часу в обох системах приймаємо момент, коли початки координат O і O′ й відповідні координатні осі обох систем співпадають. Нехай в К-системі в якійсь точці А з координатами (x, y, z) в момент часу t відбулася певна подія, приміром, спалахнула лампочка. Постає питання, які координати (x′, y′, z′) має ця точка і в який момент часу t′ відбувається ця подія для спостерігача K′-системи відліку, що рухається відносно К із швидкістю \(\vec{V}\).
|
\( {x}=\gamma{(x^{\prime}+Vt^{\prime})}\), |
(1.10) |
|
|
\({x}'=\gamma \left( x-Vt \right)\). |
(1.10а) |
де функціональний множник γ, яний підлягяє визначенню, має прагнути до одиниці при монотонному зменшенні швидкості V.
В обох співвідношеннях фігурує одна й та сама величина γ, тим самим вони задовольняють принцип відносності (І постулат СТВ), адже обидві системи відліку є повністю рівноправними й відрізняються тільки напрямком відносного руху (знаком проєкції \(\vec{V}\)). Через відносність часу, перетворення (t, t′) теж не можуть бути тривіальними, оскільки при t = t′ з перетворень (1.10) і (1.10а) виходить γ = 1, і вони переходять у перетворення Галілея. Загальний вигляд перетворень часу можна встановити, якщо підставити в (1.10а) замість координати х її вираз (1.10) і розв’язати отримане рівняння відносно t:
|
\({x'}=\gamma(\gamma(x'+Vt')-Vt) \) \( \Rightarrow \) \( {t}=\gamma{t}'-\frac{(1-\gamma^{2})x'}{V}\) |
(1.11) |
З урахуванням принципу відносності, зворотне перетворення має вигляд:
|
\({t'}=\gamma{t}+\frac{(1-\gamma^2)x}{V}\). |
(1.11а) |
У цьому можна переконатися, визначивши t′ безпосередньо з (1.11).
Шукані перетворення мають задовольняти ще й умову сталості швидкості світла с (ІІ постулат СТВ). Аби накласти цю умову розглянемо ще один позірний експеримент. Нехай в момент часу t = t’ = 0, коли точки O і O′ співпадали, спалахнула лампочка, закріплена в початку координат якоїсь із даних двох систем відліку. Оскільки швидкість світла в обох системах дорівнює с, поширення світлового сигналу вздовж осей X, X′ описується рівнянням x = ct, і x′ = ct′. Підставивши ці вирази в (1.10) і (1.10а), отримаємо: ct = γ(c + V)t′ i ct′ = γ(c - V)t. Нарешті, перемноживши ліві та праві частини цих виразів, знайдемо, що
|
\( \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(V/c)^2}}\), або \( \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}\), де \(\beta={V/c}\). |
(1.12) |
Підставляючи знайдену величину γ у (1.10), (1.10а) і (1.11), (1.11а) та враховуючи збіг поперечних координат, дістанемо перетворення координат і часу, що задовольняють постулати СТВ і називаються перетвореннями Лоренца:
|
\( {x}=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{x'+Vt'}{\sqrt{1-\beta^2}}\), y=y', z=z'; |
||
|
\( {t}=\frac{t'+x'V/c^2}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{t'+x'V/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\), |
(1.13) |
або
|
\( {x'}=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\beta^2}}\), y'=y, z'=z ; \( {t'}=\frac{t-xV/c^2}{\sqrt{1-(V/c)^2}}=\frac{t-xV/c^2}{\sqrt{1-\beta^2}}\). |
(1.13а) |
1.3.2. Відстані і проміжки часу
Із перетворень Лоренца випливає низка важливих наслідків. Зокрема, розглянуті рпніше ефекти скорочення довжин і уповільнення часу є прямо випливають із формул (1.13) і (1.13а). Переконаємовь у цьому.
Лоренцове скорочення довжин. Розглянемо на основі перетворень Лоренца дослід по визначенню довжини стержні в двох системах відліку, описаний в п.1.2.3. Нехай, як і там, стержень закріплено системі відліку K′, яка рухається із швидкістю V відносно нерухомої К-системи відліку:
Тоді власна довжина стержня l0 = l′, і дорівнює різниці координат кінців стержня:
|
\({l_{0}}={{{x}'}_{2}}-{{{x}'}_{1}}\). |
(1.14) |
Лабораторна довжина стержня в К-системі l = x2 - x1 теж дорівнює різниці координат його кінців, але тільки за умови, що вони виміряні одночасно. Відтак, замінивши в (1.14) штриховані величини нештрихованими і врахувавши, що t2 = t1, отримаємо співвідношення (1.9):
|
l = l0\( \sqrt{1-(V/c)^2}\) |
Цей ефект є прямим наслідком перетворень Лоренца, тому називається лоренцовим скороченням довжин (або масштабів).
Уповільнення часу. Аналогічно можна отримати й ефект уповільнення часу. Нехай у міжзоряній ракеті, котра віддаляється від Землі із швидкістю V (К′-система відліку), вібуваються дві події, приміром, спалахує й гасне лампочка, що розділені власним проміжком часу
|
Δt0 = Δt′ = \({{{t}'}_{2}}-{{{t}'}_{1}}\). |
(1.15) |
Тоді, зважаючи на те, що на землі обидві події спостерігаються в одній точці \({{{x}}_{1}}={{{x}}_{2}}\), і провівши заміну в (1.15) штрихованих величин на нештриховані за формулою (1.13), для лабораторного проміжку часу між указаними подіями отримаємо вираз (1.7):
|
\( \Delta{t}=\frac{\Delta{t}_0}{\sqrt{1-(V/c)^2}} \). |
Із перетворень Лоренца (1.13) і (1.13а) випливє також висновок про те, що проміжок часу між двома подіями в одній системі відліку залежить не тільки від проміжку часу між ними в іншій системі відліку, а й від відстані між точками, в яких відбулися ці події. У цьому легко пересвідчитись.
Нехай в К-системі відліку в двох точках на осі ОХ, які розташовані на відстані Δx = х2 – х1 у моменти, відповідно, t1 і t2 вібулися дві події, розділені заданим інтервалом часу Δt = t2 – t1. Аби визначити, чому дорівнює проміжок часу Δt′ = t2′ – t1′, що відділяє ці події в системі відліку К′, треба за допомогою перетворень (1.13а) виразити моменти часу t2′ і t1′ через задані величини t2 і t1 . Відтак після елементарних перетворень вийде:
\(\Delta {t}'=\frac{\Delta t-\left( {V}/{{{c}^{2}}}\; \right)\Delta x}{\sqrt{1-{{\left( {V}/{c}\; \right)}^{2}}}}\).
Із цього виразу видно, що в загальному випадку співвідношення проміжків часу між двома подіями залежить не лише від ефекту уповільнення часу, а й від відстані муж точками, в яких відбуваються ці події. Це є свідченням того, що
простір і час є органічно взаємопов’язані.
Тому слід говорити не про окремі простір і час, а про єдиний “простір-час”. Яскравим проявом цього є те, що попри відносність відстаней та проміжків часу, існує така їхня комбінація, котра є інваріантом перетворень Лоренца, тобто, абсолютною кінематичною величиною, що не залежить від інерціальної системи віліку, в якій розглядається. Ця величина називається просторово-часовим інтервалом s (коротко — інтервалом) між двома подіями і визначається виразом:
|
\({s}_{12}^2=c^2\Delta{t}_{12}^2-l_{12}^2=c^2(t_1-t_2)^2-\left((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2\right)\), |
(1.19) |
де (t1, x1, y1, z1) і (t2, x2, y2, z2) – просторово-часові координати подій.
Інваріантність інтервалу, (тобто те, що \({s}_{12}^2={s'}_{12}^2 \)), можна довести прямими обчисленнями після заміни у виразі (1.19) нештрихованих величин на штриховані на основі перетворень Лоренца (1.13). Інваріантні величини позначають як “inv”, тож можна записати:
|
\({s}_{12}^2=c^2\Delta{t}_{12}^2-l_{12}^2=\mathrm{inv}\). |
Зауважимо, що інваріантні величини мають велике теоретичне та практичне значення в різних розділах фізики. При цьому в кінематиці СТВ, окрім інтервалу, інваріантами перетворень Лоренца є власний проміжок часу і власна довжина l0, а також гранична швидкість, про яку говориться нижче.
В залежності від того, яка складова інтервалу переважає, інтервали поділяють на простороподібні (l12 > cΔt12), часоподібні (cΔt12 > l12) та світлоподібні (l12 = cΔt12).
При цьому, коли інтервал між двома подіями є простороподібним, то при будь-яких можливих відстанях Δl і проміжках часу Δt між подіями в даній К-системі відліку існує інша система відліку К′, в якій ці події відбуваються одночасно (Δt′12 = 0) на відстані одна від одної
\(\Delta {{{l}'}_{12}}=\sqrt{{{l}_{12}}^{2}-{{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}}\)
Аналогічно при часоподібному інтервалі між подіями в К-системі відліку існує К′-система відліку, в якій ці події відбуваються в одному місці (\({l'}_{12}=0 \)) з ітервалом часу
\(\Delta {{{t}'}_{12}}=\sqrt{{{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-{{l}_{12}}^{2}}\)
Зауважимо також, що у випадку простроподібного інтервалу між подіями (\({l}_{12}>c\Delta{t}_{12}\)), вони є незалежними і не можуть впливати одна на одну, позаяк такий вплив не може передаватись у просторі швидше, ніж із граничною швидкістю c, і за час Δt подолати відстань Δl. На відміну від цього, при часоподібному або світлоподібному інтервалі, коли \({c}\Delta{t}_{12}\ge{l}_{12}\), причинно-наслідковий зв’язок між подіями є можливим.
1.4. Перетворення швидкостей в СТВ. Гранична швидкість
Перетворення швидкостей. Установимо тепер формули перетворення швидкостей в СТВ, тобто, формули, котрі пов’язують між собою швидкості руху частинки в двох різних інерціальних системах відліку – нерухомій К-системі та в К′-системі, що рухається відносно К із швидкістю V уздовж осі ОХ. Нехай частинка в К-системі відліку рухається із швидкістю \(\vec{v}\), яка визначається компонентами
|
\({v}_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\) \( {v}_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\) \( {v}_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\) |
(1.15) |
Аналогічно швидкість частинки в K′-системі \(\vec{v}' \) визначається компонентами
|
\( {v}_x^{\prime}=\frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t}\) \( {{v'}_y}=\frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t}\) \( {v}_{z}^{\prime}=\frac{\mathrm{d}z^{\prime}}{\mathrm{d}t}\) |
(1.15а) |
Аби знайти зв’язок між швидкостями частинки в штрихованій і нештрихованій системі відліку, виразимо проміжок часу та переміщення вздовж осей в К′-системі відліку через відповідні величини в К-системі. Для цього продиференціюємо співвідношення (1.13):
\(\mathrm{d}{x}'=\frac{\mathrm{d}x-V\mathrm{d}t}{\sqrt{1-{{\left( {V}/{c}\; \right)}^{2}}}}\), \(\mathrm{d}y'=\mathrm{d}y \), \(\mathrm{d}z'=\mathrm{d}z \), \(\mathrm{d}{t}'=\frac{\mathrm{d}t-\frac{V}{{{c}^{2}}}\mathrm{d}x}{\sqrt{1-{{\left( {V}/{c}\; \right)}^{2}}}}\).
Після підстановки цих виразів у (1.15а) і заміни (V/c) = β матимаємо:
\({v'}_x=\frac{\mathrm{d}x-V\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t-\frac{V}{c^2}\mathrm{d}x}=\frac{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}-V}{1-\frac{V}{c^2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\),
\({{{v}'}_{y}}=\frac{\mathrm{d}y\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}{\mathrm{d}t-\frac{V}{{{c}^{2}}}\mathrm{d}x}\)=\(\frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\cdot \sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}{1-\frac{V}{{{c}^{2}}}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\)
\({v'}_z=\frac{\mathrm{d}z\sqrt{1-\beta^2}}{\mathrm{d}t-\frac{V}{c^2}\mathrm{d}x}\) = \( \frac{\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\cdot \sqrt{1-{{\beta }^{2}}}}{1-\frac{V}{{{c}^{2}}}\cdot \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}}\).
Урахувавши (1.15), отримаємо остаточно:
|
\( {v}_{x}^{\prime}=\frac{v_{x}-V}{1-\frac{v_{x}V}{c_{2}}}\), \({v}_{y}^{\prime}=\frac{v_{y}\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\frac{Vv_x}{c^{2}}}\), \( {v}_{z}^{\prime}=\frac{v_{z}\sqrt{1-\beta^{2}}}{1-\frac{Vv_{x}}{c^2}}\). |
(1.16) |
|
|
\({v_x}=\frac{{v'}_x+V}{1+\frac{V{v}_{x}^{\prime}}{c^2}}\), \({v_y}=\frac{{v}_{y}^{\prime}\sqrt{1-\beta^2}}{1+\frac{V{v^{\prime}}_x}{c^2}}\), \({v_z}=\frac{{v}_{z}^{\prime}\sqrt{1-\beta^2}}{1+\frac{V{v}_{x}^{\prime}}{c^2}}\). |
(1.16а) |
Ці формули виражають релятивістський закон перетворення швидкостей. При малих швидкостях (V << c і v << c) вони трансформуються в класичний закон додавання швидкостей (розділ І, (1.33), (1.33а)), виражений в координатній формі. В цьому зв’язку звернімо увагу на те, що y- i z- проєкції швидкості частинки в одній системі відліку залежать не тільки від однойменних проєкцій в іншій, а й від х-проєкції швидкості. Тому для релятивістської частинки неможливо виразити зв’язок між швидкостями безпосередньо у векторній формі.
Гранична швидкість. Визначення за формулами (1.16), (1.16а) величини (модуля) та напрямку швидкості частинки в одній системі відліку через ці характеристики, задані в іншій системі відліку, потребує громіздких викладок. Тому при аналізі загальних наслідків з релятивістського закону перетворення швидкостей для більшої прозорості розглядають випадок руху частинки паралельно до осей X, X′ систем відліку. В такому разі поперечні компоненти швидкості дорівнюють нулю, і величина та напрям швидкості частинки в обох системах відліку визначаються тільки однією проєкцією[8] \({v_x}\) або \({{v'}_x}\).
Розглянемо приклади застосування формул (1.16) і (1.16а) за вказаних умов.
Приклад 1. Нехай спостерігач у рухомій K′-системі відліку вимірює швидкість c′ світлового променя, що йде вздовж осі O′X′ від джерела, закріпленого в початку відліку О нерухомої К-системи відліку. В К-системі швидкість променя дорівнює с, тому, згідно з (1.16),
\( {c}^{\prime}=\frac{c-V}{1-\frac{Vc}{{{c}^{2}}}}=c \)
Отже, в обох системах відліку світловий промінь поширюється з однаковою швидкістю. Взагалі, в цьому немає нічого несподіваного, адже постулат сталості швидкості світла “було закладено” в самі перетворення Лоренца, з яких випливає цей результат.
Приклад 2. Із космічної ракети, що віддаляється від Землі зі швидкістю 0,8с, випустили в напрямку руху зонд із швидкістю 0,6с відносно ракети. Визначимо швидкість зонда v відносно Землі. Для цього пов’яжемо із Землею нерухому К-систему відліку, а з ракетою – рухому K′-систему. Тоді V = 0,8c i v′ = 0,6c. Підставляємо ці значення у відповідну формулу (1.16а) і отримуємо:
\({v}=\frac{0,6c+0,8c}{1+0,48}\approx0,95c \).
Отже, виходить v < c, тоді як згідно з класичним законом (1.33а) і “здоровим глуздом” мало би вийти 1,4 с.
Приклад 3. Нехай дві елементарні частинки 1 і 2 рухаються назустріч одна одній паралельно осі ОХ К-системи відліку з однаковою швидкістю \({v_1=v_2=nc}\). Визначимо відносну швидкість частинок v, наприклад, швидкість руху другої відносно першої. Для цього перейдемо в K′-систему відліку, котра рухається відносно К із швидкістю першої частинки \({V=v_1}\). Тоді в K′-системі перша частинка є нерухомою, тож швидкість другої частинки в цій системі відліку \({v'}_2={v}\) і є шуканою швидкістю другої частинки відносно першої. Відтак, підставивши в (1.16) проєкції заданих швидкостей, знайдемо:
|
\( {v}=v_{2x}^{\prime}=\frac{-nc-nc}{1-\frac{nc\cdot{(-nc)}}{c^{2}}}=-\frac{2n}{1+n^{2}}c=-\frac{2c}{\frac{1}{n}+n}\) . |
(1.17) |
Знак “–” відображає те, що частинка 2 рухається назустріч частинці 1.
Формальний аналіз виразу (1.17) показує, що відносна швидкість частинок \({v\le{c}}\) при будь-яких значеннях n. Справді, при малих швидкостях (n << 1) модуль відносної швидкості v ≈ 2nc і зростає при збільшенні n. Але при n >> 1 величина v ≈ 2c/n і зменшується при зростанні n. Отже, при деякому значенні n = nm відносна швидкість має максимум v = vmax . Значення nm і величину vmax не важко знайти методами вищої математики. А саме, треба взяти похідну від виразу в знаменнику (1.17) і прирівняти її до нуля:
\(\left(\frac{1}{n}+n\right)'=-\frac{1}{n^2}+1 \) \( \Rightarrow \) \( \frac{1}{n_m}=1\,\,\,\,\,\,\,\,n_m=1 \).
Підставивши це значення в (1.17) і отримуємо для модуля vmax = c .
Таким чином, максимальна можлива швидкість руху однієї частинки (одного тіла) відносно іншої частинки (іншого тіла) дорівнює величині с. Але ж саме поняття руху визначене (тобто, має зміст) тільки по відношенню до якогось іншого тіла (тіла відліку). Тому за будь-яких умов швидкість руху тіла
|
\({v}\le{c}\). |
(1.18) |
Інакше говорячи, в природі існує гранична швидкість. Це означає, що
швидкість будь-якого матеріального[3] об’єкта ні за яких умов не може бути більшою, ніж c = 3·108 м/с .
Це, зокрема, пояснює інваріантність швидкості світла у вакуумі: оскільки вона має граничну величину, то не може залежати від системи відліку.
- Що спонукало створення спеціальної теорії відносності?
- Сформулюйте постулати Ейнштейна.
- У чому полягає відміна між принципом відносності Ейнштейна та принципом відносності Галілея?
- Які висновки про властивості простору й часу випливають із постулатів Ейнштейна?
- На підставі яких міркувань можна твердити, що поперечні координати точки в різних системах відліку однакові?
- Що таке власна та лабораторна довжина стержня? Як вони пов’язані між собою?
- Що таке власний та лабораторний проміжок часу? Як вони пов’язані між собою?
- На основі чого можна зробити висновок про те, що простір і час не є незалежними одне від одного ?
- Чому говорять, що скорочення поздовжньої довжини тіла та скорочення проміжку часу між подіями є взаємними ефектами?
- Що таке релятивістський інтервал між подіями? Які бувають типи інтервалів?
- При якому типі інтервалу між подіями не може бути причинно-наслідкового зв’язку?
- Згідно з перетвореннями Лоренца, поперечні координати рухомої точки в різних ІСВ однакові (y = y′; z = z′) . Чому ж тоді не однакові поперечні проєкції швидкості (vy, v′y та vz, v′z ?
-
[1] Так називають удаваний дослід, який не суперечить законам фізики, але є технічно нездійсненним. У теорії позірний експеримент використовується як один із способів доведення.
-
[2] Сравді, коли б це було не так, то, зробивши мітку від верхнього кінця стержня, що пролітає, на нерухомій осі АВ К-системи і побачивши, що вона не співпадає з точкою В, ми б узнали, яка з двох систем відліку рухається, а яка перебуває в спокої. Але це неможливо, відповідно до принципу відносності.
- [3] На цьому слід спеціально наголосити: йдеться про рух матеріальних частинок або поширення випромінювання, тобто, про процеси, що супроводжуються перенесенням енергії і, тим самим, можуть бути використані для передачі сигналів (інформаці
-
2. Релятивістська механіка
Радикальний перегляд основ кінематики в СТВ вимагає аналізу та ревізії й основних положень класичної динаміки. Це, зокрема стосується поняття імпульсу, зв’язку між силою та прискоренням, поняття енергії, тощо.
Нижче мова піде про таке:
2.2. Основне рівняння релятивістської динаміки
Релятивістський імпульс. Важливе місце в механіці та інших розділах фізики посідає імпульс – величина, що в класичній механіці визначається добутком маси тіла на його швидкість. Значною мірою це зумовлено тим, що для імпульсу виконується закон збереження, за яким імпульс замкненої системи за будь-яких умов лишається незмінним. Цей закон трактує про поведінку замкненої сукупності тіл всередині заданої інерціальної системи відліку й ніяк не пов’язаний із переходом від однієї системи відліку до іншої та формулами перетворення координат. Тож закон збереження імпульсу виконується і в релятивістській механіці. Але, як показує аналіз, імпульс більш складно, ніж уважалося, залежить від швидкості й визначається формулою:
|
\( \vec{p}=\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-(V/c)^{2}}}\). |
(2.1) |
Таким чином, імпульс нелінійно залежить від швидкості частинки, але, як і в кінематиці, це стає помітним лише при релятивістських (сумірних із с) швидкостях. Тому, за необхідності, величину (2.1) називають релятивістським імпульсом. При малих швидкостях цей вираз переходить у класичну формулу \( \vec{p}=m\vec{v}\).
Релятивістська маса. Інколи вираз імпульсу релятивістської частинки записують у “звичному” вигляді, як
|
\( \vec{p}=m_{r}\vec{v}\), |
(2.1а) |
і число
|
\( {m}_{r}=\frac{m}{\sqrt{1-(V/c)^{2}}}\) |
(2.2) |
називають релятивістською масою частинки. В такому контексті власну масу частинки m називають масою спокою[1].
Це часто спрощує проміжні викладки, але слід одразу зазначити, що поняття релятивістської маси, яке збереглося історично, є формальним і не має визначеного фізичного змісту. Зокрема, величину mr не можна розглядати як міру інертності рухомого тіла.
2.2. Основне рівняння релятивістської динаміки
Із виразу релятивістського імпульсу (2.1) зрозуміло, що \( \mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t\ne{m}\vec{a}\), отже, для релятивістської частинки другий закон Ньютона у формі \( {m}\vec{a}=\vec{F}\) не виконується. Але, як доведено, основне рівняння динаміки в більш загальній формі (розділ ІІ, (1.3)) зберігає чинність і в СТВ:
|
\( \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\). |
(2.3) |
Це рівняння називається основним рівнянням релятивістської динаміки і, природньо, оперує релятивістським імпульсом (2.1). Розгорнуто воно записується так:
|
\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m_{0}\vec{v}}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}\right)=\vec{F}\). |
(2.3а) |
Рівняння (2.3) можна подати й через релятивістську масу:
|
\( \frac{\mathrm{d}(m_{r}\vec{v})}{\mathrm{d}t}=\vec{F} \). |
(2.3б) |
Рівняння (2.3) і (2.3б), начебто, такі самі, як і в класичній механіці, але це є лише видимість. Насправді для релятивістської частинки немає прямого зв’язку між величиною сили та прискоренням. В цьому легко переконатись, якщо виконати диференціювання в (2.3б), взявши до уваги, що mr теж залежить від часу:
|
\( {m}_{r}\vec{a}+\vec{v}\frac{\mathrm{d}m_{r}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}\), |
(2.4) |
де \( \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\) – прискорення частинки. При цьому, позаяк другий доданок у лівій частині рівняння (2.4) за напрямом не збігається з \( \vec{F}\) (див. рис. 6.6), то напрям прискорення частинки \(\vec{a}\) відрізняється від напрямку сили, що діє на неї.
Але є два винятки з такої неординарної поведінки релятивістської частинки.
1. Діюча сила поперечна: \(\vec{F}\bot \vec{v}\). Така сила не виконує роботи, тож рух є рівномірним і mr = const. У такому разі
|
\({{m}_{r}}\vec{a}=\vec{F}\) \( \Rightarrow \) \( \frac{m\vec{a}}{\sqrt{1-{{\left( {v}/{c}\; \right)}^{2}}}}=\vec{F}\)
|
(2.4а) |
2. Діюча сила поздовжня: \(\vec{F}\parallel \vec{v}\). У такому випадку рух частинки є прямолінійним і після диференціювання рівняння (2.3а) набуває вигляду:
|
\(\frac{m\vec{a}}{{{\left( 1-{{\left( {v}/{c}\; \right)}^{2}} \right)}^{{3}/{2}\;}}}=\vec{F}\)
|
(2.4б) |
У кожному цих двох випадків прискорення частинки має напрям діючої на неї сили, а рівняння (2.4а) і (2.4б) нагадують рівняння другого закону Ньютона \(m\vec{a}=\vec{F}\). Тому в них множники при прискоренні іноді називають поперечною \({{m}_{\bot }}\) та поздовжньою \({{m}_{\parallel }}\) масами і записують \(m{{a}_{\bot }}={{F}_{\bot }}\) і \(m{{a}_{\parallel }}={{F}_{\parallel }}\). В цьоиу сенсі можна говорити, що сила дорівнює добутку маси на прискорення. Проте це не означає, що виконується другий закон Ньютона, бо все одно прискорення не є прямо пропорційним діючій на частинку силі. Зокрема, з рівняння (2.4б) видно, що при дії сталої сили прискорення, через зростання поздовжньої “маси” частинки, невпинно зменшуватиметься, простуючи до нуля при наближенні швидкості до значення v = с. Отже, основне рівняння релятивістської динаміки теж доводить граничний характер швидкості с, який раніше було отримано в кінематиці СТВ.
Наостанок відмітимо, що при малих швидкостях руху релятивістські рівняння (2.3а), (2.4а) і (2.4б), як завжди, автоматично переходять у рівняння другого закону Ньютона.
Усі розглянуті досі результати СТВ стосуються понять і величин, які відомі й у класичній механіці. Але Ейнштейн при створенні СТВ відкрив і знаменитий закон зв’язку між енергією та масою, котрому немає аналогів у ньютонівській механіці. На такий зв’язок наводить аналіз співвідношення між кінетичною енергією та роботою сил у релятивістській механіці.
Кінетична енергія релятивістської частинки. Одне з основних положень механіки – теорема про кінетичну енергію, що встановлює зв’язок між нею та роботою сил (розділ IV, п. 2), зберігає чинність і в релятивістській механіці. Але в СТВ кінетична енергія визначається іншою, ніж у класичній механіці, формулою. Для її встановлення розглянемо роботу, яку виконує якась сила \( \vec{F}\) над релятивістською частинкою на переміщенні \( \mathrm{d}\vec{r} \) (рис 6.7).
Згідно з означенням роботи
|
\(\delta A=\vec{F}{d}\vec{r}=\vec{F}\vec{v}{d}t\) |
||
Відповідно до (2.3б), \(\vec{F}{d}t={d}({{m}_{r}}\vec{v})={{m}_{r}}{d}\vec{v}+\vec{v}{d}{{m}_{r}}\), де mr – релятивістська маса. Тому
|
\(\delta A=\vec{v}\left( \vec{v}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}{d}\vec{v} \right)={{v}^{2}}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}v{d}v\), |
(2.5) |
де враховано, що \({{\vec{v}}^{2}}={{v}^{2}}\) і \(\delta A=\vec{v}\left( \vec{v}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}{d}\vec{v} \right)={{v}^{2}}{d}{{m}_{r}}+{{m}_{r}}v{d}v\), (див. рис. 6.7).
Для визначення dmr спочатку перетворимо вираз (2.2):
|
\( {m}_{r}^{2}=\frac{m^{2}}{1-(v/c)^{2}}\) \( \Rightarrow \) \( {m}_{r}^{2}-m_{r}^{2}v^{2}/c^{2}\) \( \Rightarrow \) \( {m}_{r}^{2}c^{2}-m_{r}^{2}v^{2}=m^{2}c^{2}\). |
Відтак продиференцюємо отриманий результат:
|
\( {2}m_{r}c^{2}\mathrm{d}m_{r}-2m_{r}v^{2}\mathrm{d}m_{r}-2m_{r}^{2}v\mathrm{d}{v}={0}\). |
Звідси після ділення на 2m одразу дістанемо вираз усієї правої частини (2.5):
|
v2dmr + mrvdv = c2dmr. |
(2.6) |
Отже, з урахуванням (6.8), можна записати:
|
dK = δA = c2dmr. |
(2.7) |
Звідси випливає, що приріст кінетичної енергії частинки визначається приростом її релятивістської маси. Якщо частинка перебуває у спокої, то К = 0 і mr = m. Тому, інтегруючи (2.7) у границях від 0 до К і від m до mr, знаходимо:
|
\( \int\limits_{0}^{K}\mathrm{d}K=\int\limits_{m}^{m_{r}}c^{2}\mathrm{d}{m}_{r}\), \( \Rightarrow \) \( {K}=c^{2}(m_{r}-m) \). |
(2.7а) |
Нарешті, врахувавши (2.2), одержимо формулу кінетичної енергії релятивістської частинки:
|
\( {K}=mc^{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}-1\right) \). |
(2.8) |
При малих швидкостях (v << c) формула (2.8) теж переходить у формулу кінетичної енергії ньютонівської механіки. Щоб у цьому переконатися, розкладемо перший доданок (2.8) у степеневий ряд за формулою бінома Ньютона:
\( \frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^{2}}}=\left(1+(v/c)^{2}\right)^{-1/2}=1+\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{2}}{c^{2}}+\frac{3}{8}\cdot\frac{v^{4}}{c^{4}}+{...}\).
При \( {v}<< {c}\) можна обмежитися першими двома доданками, і тоді вираз (2.8) трансформується в класичну формулу
\( {K}=\frac{mv^{2}}{2}\).
(Застереження. При розв’язуванні задач інколи припускаються грубої помилки, думаючи що ця формула годиться й для релятивістської частинки, якщо під m розуміти релятивістську масу).
Із формули (2.8) випливає, що в релятивістській області при збільшенні швидкості частинки її кінетична енергія стрімко сростає так, що при v → с К → ∞. Це ще одне свідчення того, що жодну частинку неможливо розігнати до швидості с.
Взаємозв’язок енергії і маси. Якщо розкрити дужки в (2.7а), то кінетична енергія релятивістської частинки постає як різниця двох величин:
|
K = mrc2 – mc2. |
(2.9) |
Перша з них
|
E = mrc2 |
(2.10) |
стосується частинки, що рухається, і називається повною (релятивістською) енергією. Друга
|
E0 = mc2 |
(2.11) |
відноситься до тієї ж частинки в стані спокою і, відповідно, називається енергією спокою. При цьому можна подумати, що E0, подібно до релятивістської маси, є формальною величиною. Але з її уведенням кінетична енергія релятивістської частинки відповідно до (2.9) виражається дуже прозоро та природньо. А саме, кінетична енергія, як енергія руху, є різницею енергій частинки в стані руху E та в стані спокою E0:
|
K = E – E0 |
(2.12) |
Відтак Ейнштейн дійшов висновку, що енергія спокою є реальною фізичною величиною, котра визначає узагальнену внутрішню енергію частинки (тіла). Якщо частинка є складною, приміром, як ядро атома, то енергія спокою включає енергію взаємодії складових частинок ядра – нуклонів. Але не тільки це! Згідно з Ейнштейном, будь-яка частинка, навіть така, котра “ні з чого не складається”, теж має відповідну реальну енергію спокою, що здатна перетворюватися на інші види. При цьому зміна енергії спокою частинки супроводжується відповідною зміною її маси спокою:
|
\( \Delta{m}=\frac{\Delta{E}_{0}}{c^{2}}\). |
(2.13) |
Наприклад, при окисленні вуглецю (горінні) виділяється енергія, через що енергія молекули вуглекислого газу є менша, ніж сумарна енергія частинок, які беруть участь у реакції. Тому й маса спокою молекули вуглекислоти повинна бути менша, ніж сума мас спокою атома вуглецю та молекули кисню. Але в хімічних реакціях і взаємодіях макроскопічних тіл зміна маси спокою є настільки мізерною, що її неможливо виявити. Інша річ ядерні реакції, в яких взаємодіють ядра атомів або елементарні частинки надвисоких енергій. В таких процесах енергії, що виділяються та поглинаються, дозволяють не лише виявити, а й визначити на досліді різницю мас ядра та його складових частинок (так званий “дефект мас”). Зокрема, встановлено, що маса ядра будь-якого хімічного елемента менша за сумарну масу складових нуклонів у згоді з формулою (2.13). При цьому ефект є настільки значним, що дозволяє отримувати промислову енергію на атомних електростанціях. Тож формула (2.11) виражає фундаментальний закон природи – органічний зв’язок енергії з масою. Його глибинний зміст полягає в тому, що енергія є невід’ємною характеристикою матерії – будь-яка частинка чи тіло має відповідний (і дуже великий) запас енергії завдяки самому факту свого існування.
Зауважимо також, що завдяки співвідношенню (2.11), в ядерній фізиці та фізиці елементарних частинок масу прийнято вимірювати в одиницях енергії (МеВ).
Зв’язок між енергією та імпульсом. Імпульс (2.1) і повна енергія (2.10) релятивістської частинки залежать від швидкості, отже й від системи відліку. Однак існує певна комбінація цих величин, яка є релятивістським інваріантом, тобто має однакове значення в усіх інерціальних системах відліку. З формули (2.2) маємо
|
\( {m}_{r}^{2}=\frac{m^{2}}{1-(v^{2}/c^{2})}\) \( \Rightarrow \) \( {m}_{r}^{2}c^{2}=m_{r}^{2}v^{2}=m^{2}c^{2}\). |
Помноживши цей вираз на c2 і врахувавши (2.10) і (2.1а), одержимо:
|
\( {E^{2}}-p^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}\). |
(2.14) |
Оскільки в правій частині цього виразу стоять величини, що не залежать від системи відліку, ліва частина є релятивістським інваріантом, тобто, не змінюється при переході від однієї ІСВ до іншої:
|
\( {E^{2}}-p^{2}c^{2}=\mathrm{inv} \). |
(2.15) |
Із співвідношення (2.14) безпосередньо випливає корисна формула для обчислення повної енергії релятивістської частинки із заданим імпульсом:
|
\( {E}=c\sqrt{p^{2}+m^{2}c^{2}}\), |
(2.16) |
а з (2.14) і (2.12) можна знайти зв’язок між імпульсом і кінетичною енергією релятивістської частинки:
|
\( pc=\sqrt{{{E}^{2}}-{{m}^{2}}{{c}^{4}}}=\sqrt{{{\left( K+m{{c}^{2}} \right)}^{2}}-{{m}^{2}}{{c}^{4}}}=\sqrt{K\left( K+2m{{c}^{2}} \right)} \), |
звідки
|
\( p=\frac{1}{c}\sqrt{K\left( K+2m{{c}^{2}} \right)}\). |
(2.17) |
Зауважимо, що, відповідно до цього виразу, в ядерній фізиці та фізиці елементарних частинок імпульс прийнято вимірювати в одиницях енергії (МеВ), поділених на швидкість світла c, тобто – в МеВ/с.
Укажемо також, що з формул (2.1а) і (2.10) безпосередньо випливає співвідношення, яке визначає імпульс релятивістської частинки через її енергію та швидкість:
|
\( \vec{p}=\frac{E\vec{v}}{c^{2}}\). |
(2.18) |
Безмасові частинки. Сучасною наукою встановлено, що в природі існують так звані безмасові частинки – частинки, які не мають власної маси (“маси спокою”). Такими є фотони – елементарні частинки, що переносять електромагнітне випромінювання, зокрема, світло. З деякою імовірністю безмасовими є й нейтрино та деякі інші короткоживучі частинки, що народжуються в певних ядерних реакціях.
Для безмасової частинки т = 0, і з (2.16) випливає, що
|
\( {E}={pc}\) або ж \( {p}=\frac{E}{c}\). |
(2.19) |
Ця формула узгоджується з (2.18) тільки за умови, що v = c. Отже, єдиним можливим станом безмасової частинки є рух із граничною швидкістю. Тому, стикаючись з іншими частинками, безмасові частинки або відбиваються без зміни величини швидкості, або поглинаються, тобто, припиняють своє існування. При цьому вони передають свій імпульс тілу, з яким стикаються, згідно з (2.3), створюють відповідну силу тиску. Тиск світла вперше виміряв учений Лебедєв. Отримані ним у дослідах значення тиску світла узгоджуються з теоретичними величинами, розрахованими на основі механізму зіткнень фотонів з частинками опромінюваного тіла. Це є одним із експериментальних підтверджень розглянутої концепції безмасових частинок і їхніх властивостей.
- Як відомо, величина релятивістського імпульсу p = mrv не є прямо пропорційною до величини швидкості частинки. Чи означає це, що її маса залежить від швидкості?
- Частинка має імпульс p = mc (m— маса спокою). Чому дорівнює її швидкість?
- Основне рівняння динаміки і в класичній, і в релятивістській механіці має однаковий загальний вигляд \(\left( {d\vec{p}}/{dt}\; \right)=\vec{F}\). Чи означає це, що й рухи класичної та релятивістської частинки за однакових початкових умов будуть однакові? Чому?
- Кінетична енергія частинки із власною масою m складає К = (mс2/2). Чому дорівнює швидкість частинки?
- При якій швидкості кінетична енергія будь-якої частинки дорівнює її енергії спокою?
- Покажіть, що релятивістський вираз кінетичної енергії К = (mr – m)с2 при v << с переходить у відповідну формулу класичної механіки.
- Покажіть, що вираз релятивістського імпульсу через кінетичну енергію \({p}=\frac{1}{c}\sqrt{T(2E_0+T)}\) при v << с переходить у відповідний вираз класичної механіки.
- Що таке безмасова частинка? Чому дорівнює її імпульс?
- Чим відрізняються зіткнення безмасових частинок від зіткнень “звичайних частинок”?
[1] У навчальній літературі інколи для релятивістської маси використовують символ m, а для власної маси (маси спокою) — m0.